弹性力学 课件 马宏伟 第7-10章 温度应力的平面问题-能量原理和变分法

弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12温度应力的平面问题ThePlaneProblemofTemperatureStress温度应力问题的提法01位移法求解平面直角坐标系下的温度应力问题02平面直角坐标系温度应力问题的位移势函数03极坐标系下的问题应力问题04极坐标系下轴对称稳定应力问题求解05楔形坝体中的温度应力06温度应力问题的提法01Whatistheproblemoftemperaturestress(a)体心立方体(bcc)(b)面心立方体(fcc)(c)六角晶格

如Fe,V,Nb,Cr如Al,Ni,Ag,Cu,Au如Ti,Zn,Mg,Cd热胀冷缩01对于固体物质，基本单元是由质点（原子或离子）构成的点阵晶格，这些质点在晶格点阵中围绕其平衡位置非简谐振动。当固体受热时，质点振动加剧，由于非简谐效应，质点的平衡位置发生移动，从而导致相邻质点间的平均距离增大，固体体积变大。反过来，当温度降低时，由于质点振动减弱，质点之间的平均距离减小，固体体积减小。这就是物体的热胀冷缩。线膨胀系数03温度应力02基本概念产生的条件：温度改变+受到约束作用，物体不能自由变形。自由物体不产生温度应力。含义：当弹性体的温度改变时，由于受到约束作用，造成不能自由膨胀与收缩，由此而产生的应力。——称为温度应力或变温应力考虑一自由物体温度升高T后，对于任意微段，可用线膨胀系数来描述材料在温度下的变形能力，定义为

，表示单位长度温度升高1oC时的伸长量，量纲为

。本章不特殊说明时，T表述变温。变温下应变变化04基本概念对于各向同性材料，各方向上的线膨胀系数相同，因此，温度变化引起的应变分量为温度应力问题的物理方程可由考虑纯力作用下的变形叠加温度作用下的变形，为（这里，T表示变温）平衡方程和几何方程不受温度变化的影响05基本概念——平衡方程——几何方程热传导问题051822年傅里叶（JeanBaptisteJosephFourier,1768-1830）发表了《热的解析理论》（TheAnalyticalTheoryofHeat），建立了热传导定律，热传导方程写为求解上述方程需要初始条件和边界条件，它们合称为边值条件。初始条件：初始时刻温度变化分布某些特殊情况下，温度均匀变化，也写为——这里，T表示温度场，求出t时刻温度场，与初始温度场作差，得变温场。从下一节开始T在不做特殊说明下，都表示变温。边界条件：初始时刻温度变化分布第一类边界条件，某边界面上第二类边界条件，某边界面上特殊情况

第三类边界条件，某边界面上第四类边界条件，某边界面上位移法求解平面直角坐标系下的温度应力问题02Displacementmethodforsolvingthermoelasticityprobleminaplanecartesiancoordinate1.平面问题的位移法01平面应力问题当图示等厚薄板，在同时受到外力和变温T作用，设温度和外力均不随板厚z方向变化，此时仍有：其代入物理方程，有：（6-16）

（c）xyyztba02平面应变问题图示无限长柱体，在同时受到外力和变温T

作用，设温度和外力均不随板厚z

方向变化，即：T=T（x，y）。

其代入物理方程，有（7-5）（7-4）比较平面应力情形式（7-4）1.平面问题的位移法2.按位移求解温度应力的基本方程(平面应力)已有条件：物理方程（应力－应变）仍需补充：几何方程（应变－位移），平衡方程（应力分量－体力分量），边界条件

总体思路：将所有的未知数都用位移分量来表示。2.按位移求解温度应力的基本方程(平面应力)（7-7）将其代入平衡方程（设fx=fy=0）用位移表示的平衡方程几何方程代入物理方程3.按位移求解温度应力的基本方程(平面应力)用位移表示的边界条件

（7-7´）几何方程代入物理方程

（7-7）3.按位移求解温度应力的基本方程(平面应力)讨论：（1）将式（7-7）与式（4-14）比较

（4-14）3.按位移求解温度应力的基本方程(平面应力)讨论：（2）将式（7-7´）与式（4-15）比较

（7-7´）

（4-15）3.按位移求解温度应力的基本方程(平面应力)讨论：（3）由以上比较，得到结论：在一定的位移边界条件下，弹性体中由于变温引起的位移，等于温度不变而受有下列假想载荷作用时的位移（a）体力分量：（f）（b）面力分量：（e）或法向面力：（g）（4）温度应力的实验模拟：可由上述替换，通过加载荷的方法，代替加热。把一个热学与力学的耦合问题，转变为一个单纯的力学问题。（5）对于既有温度应力，又有其它载荷引起的应力时，需将两者叠加即可。平面直角坐标系温度应力问题的位移势函数03displacementpotentialfunctionofthermoelasticityprobeleminPlanecartesiancoordinate1.按位移求解的基本方程

——位移表示的平衡方程——位移表示的应力边界条件2.求解过程（1）求方程（7-7）的一组特解。（1）求出微分方程（7-7）的任一组特解，这组解只要求满足微分方程（7-7），而不必满足边界条件。（2）不计变温T，求出微分方程（7-7）的任一组补充解，然后将两组解叠加，使其满足全部边界条件。

（6-18）代入位移势函数

简化得到基本步骤2.求解过程

简化得到注意到，

、

均为常数，若取函数

满足下列微分方程：则平衡方程能满足。（7-9）再由（7-5），用位移特解表示的应力分量为：表明能作为一组特解。式（7-9）亦可表示为：（7-10）2.求解过程（2）不计变温T，求方程（7-7）的一组补充解。

对应于补充解应力分量（由应力分量式（7-6）得到）为：2.求解过程它必须满足位移边界条件；它必须满足应力边界条件。总的位移分量：总的应力分量：说明：①当温度变化函数T已知时，方程（7-9）：通常比较容易求解。但必须先求出温度变化场T。

（7-9）（3）叠加特解和补充解，以满足问题的全部边界条件。

2.求解过程而通常用第三章中，应力函数解法来求解。把补充解的应力直接设为：（4-20）应力函数选取方法可参考第三章的应力函数选取内容。（3）叠加特解和补充解，以满足问题的全部边界条件。

说明：2.求解过程（3）叠加特解和补充解，以满足问题的全部边界条件。说明：③对于平面应变问题，三个材料常数须作相应的替换。但对应于位移特解的应力分量仍可式（7-10）求得，即位移势函数

所满足的方程（7-9）变为：

（7-10）2.求解过程对于有变温作用的弹性力学问题求解思路：特解＋补充解②补充解应力函数法：③叠加将上述结果叠加，以满足边界条件。①特解引入位移势函数：例题：图示矩形薄板，发生如下变温：其中：T0

为常数。试求其应力分布。解：①求特解比较,得求位移势函数

判断右边只是y的函数，所示设得，所以，求特解应力分量：相应的应力分布：（7-10）（c）代入2.求解过程②求补充解补充解为对应其次方程得通解，此解作为特解的补充，其叠加后应满足无面力边界条件。因此，需要在边界上加与上述特解相反的面力，如图。

该问题中，当a、b大小相差不大时，其精确解难于求得，通常由数值方法求解。

应力分量为2.求解过程（3）叠加以满足边界条件显然，后三个边界条件是满足的，而第一个边界不能满足。借助于圣维南原理，应有：

边界条件：

（d）

2.求解过程（3）叠加以满足边界条件温度应力问题求解步骤小结

代回应力表达式，有：应力分布如图①由温度场的条件，确定温变函数T。

④叠加特解与补充解两部分应力（或位移），使其满足问题的边界条件。③不计温变T，求解平衡方程（6-18）的补充解（位移）或对应的力。可应用第三章的应力函数法。应力边界条件，由特解在边界上的面力加以负号来确定。极坐标系下的问题应力问题04Solvingthermoelasticityproblemusingpolarcoordinates1.极坐标下温度应力平面问题的基本方程01物理方程设物体具有变温：总应变=温度变化引起的应变+温度应力引起的应变（平面应力情形）（用应力表示应变的物理方程）（用应变表示应力的物理方程）1.极坐标下温度应力平面问题的基本方程02平衡方程，几何方程不变——平衡方程——几何方程位移法求解：设存在位移势函数

，

做如下推导

代入

导出

代入物理方程，得

1.极坐标下温度应力平面问题的基本方程代入平衡方程，得

代入

其中，

(7-14)根据式(7-14)，可得由上式确定的应力分量可作为温度应力的一组特解：此时，只满足了温度应力问题的基本方程，边界条件还没有满足。再叠加补充解满足边界条件。极坐标系下轴对称温度应力问题求解05Solvingaxisymmetricthermoelasticityprobleminpolarcoordinatesystem1.轴对称温度应力问题的求解

相应的位移特解：

对于轴对称问题，有

式中B为积分常数。2.轴对称温度应力问题的求解对应特解的应力分量为：说明：（1）对于平面应变问题，有：（2）若上述结果不能满足全部的边界条件，则需求对应于位移平衡方程的补充解，然后将两者的应力叠加以满足全部的边界条件。b.z方向的应力：a.材料常数须作如下替换：

替换为

替换为E替换为（6-32）一般由应力函数法求解这里：积分上限为

，但下限可以任意选取。取不同的下限，结果智慧相差一个常数，这个常数又可以通过A来调整。边界条件为：（a）（b）取r=a，得相应于位移特解的应力分量：对应于补充解的应力分量为：因为是轴对称问题，边界上面力为常量，故选满足相容方程的应力函数为（c）由上式中第一式可见，边界条件（a）不能满足，需求补充解。问题的提出分析第一步：特解第二步：补充解图示圆环，内半径为a

，外半径为b，发生轴对称的变温，即第三步：叠加将特解与补充解的应力分量两者叠加得总应力，有满足边界条件，并注意到：

（d）第一步：特解第二步：补充解第三步：叠加再将其代回应力分量式（d）,有对于长圆筒，则为平面应变问题。第一步：特解第二步：补充解（f）

E替换为

替换为

第三步：叠加

由式（h）给出的是维持平面应变的应力。这种情况仅在无限长圆筒或在两端受完全约束的有限长圆筒中才可能发生。（h）

第一步：特解第二步：补充解常量

可求得常数D

为:楔形坝体中的温度应力06Temperaturestressinwedge-shapeddambody问题的提出对于混凝土坝体，其温度场受混凝土硬化放热以及水温、气温变化的影响。分布复杂且随时间变化。一般情况下，该问题的求解比较困难。但对于简单的变温分布，可用函数求解。试求解如图坝体，假定变温在中心轴上为T=T0，在两边为T=0，

y

x解：第一步，位移势函数确定特解

y

x解：第一步，位移势函数确定特解

得位移势函数为：对应于特解的应力：利用p134(6-29)

y

x分析特解导致边界上的应力为：第二步，位移补充解（依据上述边界条件确定应力势函数）由特解在边界给出的均匀面力，为满足实际问题的边界条件（无面力），应取应力函数（考虑到对称性）：

应力分量为：解：第一步，位移势函数确定特解

y

x

边界条件：求解，得：所以：

第三步：叠加应力分量，并考虑边界条件所以：

其变温及温度应力分布如图所示：坝体内的最大拉应力为：第三步：叠加应力分量，并考虑边界条件另外一种温度场

y

x解：第一步，位移势函数确定特解

h其位移势函数

可设为：代入位移势函数，并写出应力分量为：

y

x

由此确定得边界条件为：

解：第一步，位移势函数确定特解

y

x

由极坐标下的应力分量式（4-5）可求得对应补充解的应力：补充解的应力函数可设为：由相容方程：可确定应力函数为考虑到对称性，应有：B=D=0，于是有：

第二步，利用应力势函数求补充解

y

x

应用边界条件：

第三步，叠加并满足边界

y

x

变温及温度应力的分布如图。

最大拉应力发生在边界上：第三步，叠加并满足边界说明（1）以上是针对平面应力问题进行分析的，因而仅近似适用于具有伸缩缝的坝段。对于没有伸缩缝的长坝属平面应变问题，须将以上结果中的材料常数作相应的替换：

替换为

替换为E替换为说明在已知温变场T

情况下，②由特解给出的边界面力及问题的性质，用应力函数法求出补充解对应的应力。③将特解应力与补充解对应的应力叠加，求得问题的总应力，最后总应力满足问题的边界条件，即可得问题的解。①由方程（6-28）：求位移势函数

，和对应于特解的应力、由此引起的边界面力。（2）求解步骤：谢谢观看Thanksforwatching东莞理工学院制作:马宏伟，张伟伟弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12空间问题及其解答Spaceproblemsandtheirsolutions直角坐标系下的弹性力学问题01柱坐标系下的弹性力学问题02球坐标系下的弹性力学问题03空间问题的位移势函数的引用04勒夫位移函数05伽辽金位移函数06半空间体表面受法向分布载荷问题07两球体之间的接触压力08空间问题的应力求解法09直角坐标系下的弹性力学问题01Elasticmechanicsproblemsincartesiancoordinatesystem——6个应力分量；空间问题基本方程空间问题的基本未知量：——6个应力分量；——6个形变分量；——3个位移分量；（1）平衡微分方程——6个应力分量；空间问题基本方程（2）几何方程（3）物理方程——6个应力分量；位移法求解空间问题1.写出物理方程，用应变分量代替应力分量其中

为第一应变不变量，或称其为体积应变。2.将空间问题几何方程代入上式，得——6个应力分量；位移法求解空间问题3.此时

再将上式代入平衡方程,得上式中，只含有三个位移分量，共三个方程，理论上在边界条件的限定下，就可以得到问题的唯一解。——6个应力分量；例题1设有一无限大厚弹性板放置在一刚性平面上，如图所示，板厚度为

，弹性体密度为

，上表面受大小为

的均布载荷，试求该弹性体的弹性力学解。分析体力，由于本题中体力由重力产生，得解:由于弹性体在无限大范围内受均布载荷作用，因此任一竖直平面都可以是该问题的对称面，因此按位移写出的平衡方程，得——6个应力分量；例题1将体力、位移代入按位移写出的平衡方程中，有积分，得其中，A和B为任意常数。将位移分量代入应力分量的表达式——6个应力分量；例题1边界条件求解上表面边界条件将A、B的解代回位移分量和应力分量的表达式，得位移分量为上表面：下表面：将其代入下表面边界条件,得——6个应力分量；例题1应力分量为最大位移发生在弹性体的上表面此外，垂直截面上的应力

和

与水平平面上的应力

之比是一个完全由泊松比

决定的常数这在土力学中被称为侧压力系数。柱坐标系下的弹性力学问题02Elasticmechanicsproblemsincylindricalcoordinatesystem柱坐标系01柱坐标是在极坐标的基础上发展起来的，相当于将极坐标面向

方向拓展，在极坐标里确定一点的位置坐标为

，在柱坐标里则为

如图所示。常见空间轴对称结构02长征五号运载火箭圆柱形压力容器椭球形压力容器xyzOρ

z空间轴对称弹性力学问题，除了要求弹性体几何上轴对称，还必须要求其所受的载荷和约束也是轴对称的。如图所示，混凝土浇筑管道，在管道外表面3600受相同的位移约束，满足轴对称，当管道内受均匀内压时，其载荷也关于对称轴对称，此时，求解管道的应力、应变，就可简化为轴对称问题。混凝土浇筑管道浇筑管道截面示意图空间轴对称弹性力学问题

对于空间轴对称问题，因为弹性体的几何结构、载荷、约束均为轴对称，其变形也必然为轴对称。轴对称问题的位移分析

如图所示，设

P

和

是关于

y轴对称的点，则设P点有图示方向环向位移时，

点的环向位移方向应为图中虚线所示。

但空间轴对称还是绕轴对称，即绕

z轴旋转任意角度后，满足空间轴对称的量将完全重合，将

P点绕

z

轴旋转至

，显然根据绕轴对称，

点的环向位移应为图中实线所示。

这一矛盾说明环向位移只能为0，即

。此外，由于轴对称，

和

w

也与

无关，它们只是

的函数。轴对称问题下的几何方程（1）只有径向（

方向）位移时xyzOPABC参考图中所示的构型

P-ABC，设

PB变形前长

，变形后长

（设径向位移量为

）,因此设P点位移

，则A点位移

因此

轴对称问题下的几何方程xyzOPABC设P点位移

，则C

点位移

因此PC长度为

从P点到A点,由于只有径向位移，PA不发生偏转。从P点到B点，只是

坐标增加

因此PB也不发生偏转。因此由于P点和B点在方向位移相等，变形前后，PB都垂直于面PAC，而PC只在面PAC中变形,因此设P点位移

，则C

点位移

PC

将发生偏转，因此

轴对称问题下的几何方程（2）只有轴向（z

方向）位移时考虑切应变，有考虑线应变，有（3）叠加

当同时存在径向位移和轴向位移时，叠加上述两种情况下的应变分量，得到空间轴对称问题总的几何方程，为xyzOPABC轴对称问题下的物理方程空间轴对称问题，只需要考虑4个应变分量。因此，广义胡克定律变为将前三式相加，得称为体积应变。称为体积应力。将广义胡克定律写成以位移分量表示的形式为此时，体积应变也用位移分量表示为轴对称问题下的平衡方程xyzOPABC

dρρdzzdrdρdzPCAfρfzyxO

d

fρ(ρ+dρ)d

ρd

dρ空间轴对称问题，取如图所示的微元体，该微元体由两个柱面、以及两个通过对称轴的平面组成，高度为

，两个柱面之间的距离为

，两个过对称轴的平面所成角度为

。轴对称问题下的平衡方程ρdρdzPCAfρfzyxO

d

fρ(ρ+dρ)d

ρd

dρ列出极径方向（方向）的平衡方程略去高阶无穷小量轴对称问题下的平衡方程列出轴向（z

方向）的平衡方程，有略去高阶无穷小量——为恒等式。总结以上讨论，得空间轴对称问题的平衡微分方程为：ρdρdzPCAfρfzyxO

d

fρ(ρ+dρ)d

ρd

dρ轴对称问题下的平衡方程将物理方程代入平衡方程，可得到用位移表示的平衡方程，有空间轴对称问题的平衡微分方程为：——为极坐标系下的拉普拉斯算子。ρdρdzPCAfρfzyxO

d

fρ(ρ+dρ)d

ρd

dρ轴对称问题下的边界条件柱坐标系的边界条件为：l为表面外法线与

方向夹角的余弦，m为表面外法线与

方向夹角的余弦，n为表面外法线与z方向夹角的余弦。下面以圆柱体和圆锥体为例，写轴对称问题的边界条件。轴对称问题下的边界条件xyzO在顶面上，

时，

在底面上，

时，

在圆柱面上，

时，

对于圆柱体，其边界条件为对于圆锥体，其边界条件为xyzO在圆锥体锥面上，

时，在底面上，

时，以上即为空间轴对称问题的应力边界条件。球坐标系下的弹性力学方程03ElasticMechanicsProblemsinSphericalCoordinateSystem在工程中，有许多球对称问题，例如球形储气罐，球形爆炸容器等。工程中的球对称问题0201球坐标含义：在球坐标内，一点的坐标表示为

其中，

表达一点在空间的方位，如图所示，

称为天顶角，表示该点与原点的连线（径向连线）与

z

轴正向的夹角；

表示径向连线在xoy

平面内的投影与

x轴正向的夹角，称为方位角；r

相当于极坐标中的，仍然表示该点在离开坐标原点的距离（径向距离）。几何方程xyzOPBCA设在球体上任取一点P，并以该点为基准，分别沿

方向做增量

PAB平面投影PAC

平面投影PBC

平面投影设P点位移为

，r方向的应变为

方向的应变为几何方程PAB

平面投影PAC

平面投影PBC

平面投影PA和PB不发生偏转，因此

方向的应变为可见记为PA与PC、PB和PC均不发生偏转，因此整理上面式子，得此即为球对称问题的几何方程。物理方程写成

，整理得将几何方程代入平衡方程drrrdφdφrdφ(r+dr)dφ

考虑到，当dφ

很小时，sindφ/2≈dφ/2，同时，将两边同除以r2drdφ

2，略去高阶无穷小，有将应力分量代入例题2空心圆球：内径为a，外径为b；载荷：内表面受均布压力qa

作用

；外表面受均布压力qb

作用

；体力不计。——球对称问题求：应力分量和位移分量。当体力不计，fr

=0时，球对称问题位移形式的平衡方程为解:——Euler齐次变系数常微分方程求解如下：ab例题2消去对应特征方程：应力分量：边界条件例题2将

A、B

代回位移分量表达式，得球体的径向位移为将

A、B

代回应力分量表达式，得球体的径向位移为当只有内压q

，且令b→∞，式中解还可推广为无限大弹性体含有半径为

a的球形空腔，受内压时的解，有空间问题的位移势函数的引用04Applicationofdisplacementpotentialfunctionforspatialproblems确定位移势函数的基本方程01

假定：

（无体力）。

此时，位移平衡微分方程为：

引入函数：

使得：

式中：G

为剪切弹性模量，

满足上述条件的函数，称为位移势函数。此时，有：确定位移势函数的基本方程01将式代入位移平衡方程，有这就是位移势函数需要满足的泛定方程。其中的C是任意常数。确定位移势函数的基本方程01（1）取常数C=0，则有：即：

应为一调和函数。（2）即无体积变化。（3）应力分量计算：（当

=0时）当这样，对于一个空间问题，如果找到适当的调和函数

(x,y,z)，使得位移分量和应力分量能够满足边界条件，就得到该问题的正确解答。轴对称问题的位移势函数01其中假定：此时，位移平衡微分方程为：选取位移势函数：

使位移分量表示成：将其代入平衡方程，可得到位移势函数应满足的微分方程，推导过程如下：轴对称问题的位移势函数01代入综合两式可知柱坐标拉普拉斯算子：轴对称问题的位移势函数01从形式上看，柱坐标系下应力函数与直角坐标系下相同，注意的是直角坐标系下的拉普拉斯算子：柱坐标系下的拉普拉斯算子：取常数C=0，则有：即：

应为一调和函数。应力分量表达式为勒夫位移函数05Solutionofplaneproblems-Displacementmethod为了求解空间轴对称问题，勒夫（Love，1863-1940）引用一个位移函数

，把位移分量表示为确定Love位移函数的方程：表明：

应为重调和函数。应力分量的表达式为：边界条件要求：设有半空间体，体力不计，在其表面受有法向集中力F，如图所示。例题3解:同时，在O点附近应满足平衡条件：（1）引入勒夫位移函数

取

（2）代入位移分量式和应力分量式，有例题3（3）边界条件讨论：

——满足——不满足使得

与（4）选取轴对称问题的位移势函数令将上式代入位移分量式和应力分量式中，得例题3（5）将两者结果叠加，使其满足边界条件求出待定常数。叠加后的位移分量和应力分量为由边界条件

有

例题3将

代入平衡条件，得联立两式（6）将A1,A2代入，结果为此为著名的布西内斯克（Boussinsq,J.）解伽辽金位移函数06Galerkindisplacementfunction伽辽金（Galerkin）位移函数——适用于一般的空间问题，为Love位移函数的推广。引入三个位移函数：把位移分量表示为其中将式代入用位移表示的平衡微分方程（无体力）：将式代入用位移表示的平衡微分方程（无体力）：将其代回平衡微分方程第一式，得同理可得此为位移函数所应满足的条件。说明：三个位移函数都应当是重调和函数。将位移函数代入物理方程，求得应力分量：

对于一般空间问题，只须找到三个恰当的重调和函数

使位移分量、应力分量满足所有的边界条件，即得到问题的正确解。应力边界条件要求：设有半空间体，体力不计，在其表面受有切向集中力

F

，如图所示。以力

F

的作用点为坐标原点O，作用线为

x轴，z

轴指向半空间体的内部。例题4解:F

此外还有由应力边界条件转换而来的平衡条件：例题4F

取长度坐标为零次幂的调和函数为位移势函数：（1）选取伽辽金（Galerkin）位移函数和位移势函数：取长度坐标为一次幂的重调和函数为伽辽金位移函数：（2）求出相应的应力分量与位移分量并叠加：（3）由边界条件确定常数A1、A2、A3例题4F

（4）代回应力与位移分量式，得最终结果。位移分量：例题4F

应力分量：伽辽金位移函数也可选为：半空间体表面受法向分布载荷问题

07Theproblemofnormaldistributedloadonthesurfaceofahalf-spacebody例题5M

点的沉陷为以均布法向荷载

q

作用在半径为a的圆面积上的情形为例，如图所示，求出半空间体边界上距圆心为

r

的一点

M的沉陷。解:因而

M点的总沉陷为注意弦

mn

的长度为

，并在对

进行积分时考虑对称性，有

例题5由于

，有将其代入式中,有式中：

为

的最大值，即圆的切线与OM间的夹角。例题5当M点位于圆的边界时，

，

有若M点是在荷载面积之内，如图所示，M

点的沉陷仍为注意弦

mn

的长度为

，而

由

，所以有例题5当M点位于圆心时，r=0，有利用比较式,可见最大沉陷是荷载圆的边界沉陷的

倍。例题5当集中力作用时，有：求应力分量，和位移计算类似，由叠加法计算求得。将式中的F

用

代替，并对

r积分，有求水平面内的应力分量

：在对称位置，取四个微面积：1、2、3、4，每一微面积均为：rd

dr,例题5由公式可知将式中的F

用

代替，有再考虑微面积：3、4的两个载荷

，有例题5将两式相加，有再考虑微面积：3、4的两个载荷

，有将式子对变量r

积分，

对

积分，,即例题5剪应力发生在与z轴成45°的斜面上，其值为：将上式对变量z求导，并让其为零，可求得：即该点取得整个弹性体中最大剪应力，其值为：若取

=0.3，

z=0.637a处，两球体之间的接触压力08Contactpressurebetweentwospheres研究两弹性体在接触点由于接触压力引起的应力与变形。——接触问题，也称赫兹（Hertz.H，1885）问题）。特点：（1）接触处的接触压应力为未知量；（2）边界条件是未知的，由接触压力引起的变形决定的；——状态非线性问题。假定：（1）假定接触面表面为理想光滑面，摩擦力可不计；（2）接触处的变形为小变形，局部性的，接触面的边界尺寸远小于弹性体的几何尺寸。研究思路：利用半空间体边界上作用法向力的结果，近似分析接触问题。——限于分析两球体间的接触问题。接触问题及其特点设两球体的半径分别为：R1、R2，当无压力作用时，两球体仅为一点O接触。

考虑距接触点公法线为r的两点：M1、M2，它们距公切面的距离分别为z1、z2，则几何关系有由此可求得：若点M1、M2

离接触点O很近，则z1<<2R1

、z2<<2R2,于是，近似有：M1、M2

两点间的距离：

当两球体以一力F相压时，在接触点附近将发生局部变形，出现一边界为圆形的接触面。

在小变形情况下，接触面半径远小于R1、R2，故可利用半空间体的成果进行分析。

命

z1

轴上及

z2

轴上的两点A、B，设它们在两球相压时趋近的距离为

，当

M1

恰好与

M2

接触时，有

此时，

M1

和

M2

之间并没有接触力，若

M1

和

M2

之间存在接触力时，

M1

和

M2仍需各自产生

w1

及

w2

的位移，此时

将式

代入，有其中

式中：将式

代入，有

利用前章节半空间体受分布压力时的位移计算公式，M1点的变形位移为：式中E1、1分别为下球体的材料常数；q为接触面上的压力。对上球体类似可以写出相似的表达式。于是得到：赫兹（Hertz.H）假定：

假定接触面边界上的压力按接触面边界的半球面分布。证明如下：由图中可知，压力大小的比例因子为：q0/a。沿弦mn的压力变化规律如虚线所示的半圆。因此沿弦mn的积分：其中：A为该半圆的面积，即,将其代入式(h)中，有(h)左边积分后，得比较两边常数项和r2的系数，有由此表明：按Hertz给出的关于q分布的假定，能使式得到满足。以下确定q0、a：

由此得，最大接触压力值为：

最大分布压力值等于平均压力F/a2的1.5倍。利用式：

以及

代入式

，得

设两球体间的总压力为F，则以a为半径的半球体的体积等于F。即

(8-33)最大接触压力值为：若取：,,可得（1）由此可确定：接触处的最大压应力：q0,发生在接触面中心。最大拉应力：

发生在接触面边界上。讨论：最大剪应力：

距接触点0.47a。（2）上述分析也适用于下列情形：（3）q0与接触载荷

F间成非线性关系，这是接触问题的一个重要特点。对于球体放置在平面上的情况，如图8.20（a）所示，只须在以上的公式中命

；对于球体放置在球座内的情况，如图8.20（b）所示，只须在以上的公式中

取为负值（

自然也成为负值）。空间问题的应力求解法09Effortsshouldbemadetofindsolutionstospatialproblems概述基本方程：基本未知量：——6个未知量：（1）平衡方程：（2）几何方程：概述（3）物理方程：按应力求解空间问题的思路：

在15个方程中，消去位移未知量：u、v、w，形变未知量：

x、

y、

z、

yz、

zx、

xy，得只含有应力未知量：

x、

y、

z、

yz、

zx、

xy

的方程，求解其方程得应力解，然后再求出其余未知量。空间问题的变形协调方程相似的，还可得到另外两个相似的方程，因此，可得将几何方程中的

对

二阶导数与

对

的二阶导数相加，得——同平面内变形协调方程。（用应变表示的相容方程）空间问题的变形协调方程将几何方程中的切应力表达式分别对x、y、z求导：并由此得同理，可得另外两个协调方程——不同平面内的变形协调方程（相容方程）空间问题的应力相容方程

将物理方程代入上式应变协调方程，并整理可以得到：通过以上类似的微分运算，还可导出无数个变形协调方程，它们都是形变分量需满足的方程。但是，可以证明，如果6个应变分量满足了上式就可以保证位移分量的存在，即可用几何方程完全确定所有的位移分量。（注：对多连体问题，还需满足位移单值条件。）空间问题的应力相容方程利用平衡方程，进一步化简，得米歇尔(JohnHenryMichell,1863-1940)相容方程：在常体力情况下，相容方程变为：——贝尔特拉密（E.Beltrami）方程谢谢观看Thanksforwatching东莞理工学院制作:马宏伟，张伟伟弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12等截面直杆的扭转扭转问题中的应力和位移01扭转问题的薄膜比拟法02椭圆截面杆的扭转03矩形截面杆的扭转04薄壁杆的扭转05扭转问题中的应力和位移01Polynomialsolution问题的提出：（1）等截面直杆，截面形状可以任意；（2）两端受有大小相等转向相反的扭矩M；求：杆件内的应力与位移？

1.扭转应力函数求解方法：按应力求解；半逆解法（3）两端无约束，为自由扭转，不计体力

；材料力学结果：（1）（∵自由扭转）（2）侧表面：扭转问题的未知量：——

由材料力学中某些结果出发，求解。扭转问题的基本方程平衡方程：考虑扭转问题的应力、体力特点：（a）——扭转问题的平衡方程代入平衡方程，得：考虑相容方程：扭转问题应力函数应满足的相容方程代入边界条件：（1）侧面：（2）端面：（1）侧表面：0000000000

（1）侧表面：0000000000表明：在杆件的侧面上（横截面的边界上），应力函数

Φ

应取常数。对单连体（实心杆）可取：对于多连体（空心杆）问题，Φ在每一边界上均为常数，但各个常数一般不相等，因此，只能将其中的一个边界上取Φs=0，而其余边界上则取不同的常数，如：Ci——由位移单值条件确定。（2）上端面：00000000由圣维南原理转化为：（a）（b）（c）求解(a)式，有：同理，对式（b），应有：对式（c）：yCD分部积分，得：yCD同理，第二部分有：将其代入式（e）：所以：结论：等直杆的扭转问题归结为解下列方程：泛定方程：定解条件：应力分量：——应力函数法由物理方程，得：代入几何方程，有（f）

2.扭转的位移与变形积分前三式，有：代入几何方程后三式，有：只是x,y的函数f1和

f2都是z的一次函数

f2是

x

的一次函数f1是

y

的一次函数又由：得：从中求得：代入f1、f2和u、v得：其中：u0、v0、

x、

y、

z

和以前相同，代表刚体位移。若不计刚体位移，只保留与变形有关的位移，则有将其用极坐标表示：由将位移分量代入上式，有：由此可见：对每个横截面（z=常数）它在xy面上的投影形状不变，而只是转动一个角度

=Kz。K

——单位长度杆件的扭转角

。将其代入：有：将两式相减，得：将其对照式：可见：实际问题中，K可通过实验测得。小结：平衡微分方程：相容方程：（b）（a）2.扭转问题应力的求解Φ（x，y）——扭转应力函数应力函数的确定——侧面边界条件——杆端边界条件——相容方程1.扭转问题按应力求解的基本方程——应力函数法应力的确定K

——单位长度杆件的扭转角3.扭转问题杆件位移与变形——杆件的抗扭刚度或：——扭转杆件的变形——扭转杆件的位移扭转问题的薄膜比拟法02Calculationofdisplacementcomponents1.薄膜比拟概念比拟的概念：如果两个物理现象，具有以下相似点：（1）泛定方程；（2）定解条件；

则可舍去其物理量本身的物理意义，互相求解确定。扭转问题的薄膜比拟：——由普朗特尔（Prandtl.,L.）提出

薄膜在均匀压力下的垂度z

，与等截面直杆扭转问题中的应力函数Φ，在数学上相似（泛定方程相似、定解条件相似）。因此，可用求薄膜垂度z

变化规律的方法来解等截面杆扭转问题。——扭转问题的薄膜比拟方法。——为扭转问题提供了一种实验方法

设一均匀薄膜，张在水平边界上，水平边界与某受扭杆件截面的边界具有相同的形状和大小，薄膜在微小的均匀压力下，各点发生微小的垂度z。有关薄膜假定：

不能受弯矩、扭矩、剪力作用，只能受张力FT

（单位宽度的拉力）作用。

取薄膜的一微小部分（abcd矩形），其受力如图，ab边上拉力：ab边上拉力在

z轴上投影：cd边上拉力：cd边上拉力在

z轴上投影：ad边上拉力：ab边上拉力在

z轴上投影：bc边上拉力：bc边上拉力在

z轴上投影：2.薄膜比拟方法在

z

方向上外力：两边同除以dxdy，整理得：或：边界条件：

式

和

变为：（a）由平衡条件：表9.1薄膜垂度函数与扭杆应力函数对照表

扭杆应力函数薄膜垂度函数满足的微分方程

（相容方程）也可变形为：边界条件

（侧面边界条件）

（薄膜边界条件）（端面边界条件）构造z的双重积分V表示薄膜与底面形成几何体的体积

当薄膜与扭杆横截面具有相同的边界时，变量：与决定于同样的微分方程与边界条件，因而，两者应有相同的解答。并有：（9-12）3.扭矩M、截面上的剪应力与薄膜体积、斜率的关系薄膜与边界平面间的体积为：由式（c）:（c）得到:代入上式，有:由式：得到：（d）

或扭矩M与薄膜体积的关系截面剪应力与薄膜斜率的关系

由可得：其中：表示薄膜垂度z

沿y方向的斜率。同理，有得结论：当薄膜受均布压力q作用时，使得：

由于x、y轴方向是可以取在扭杆横截面上任意两互相垂直的方向，因而可得到如下推论：

(1)该扭杆的应力函数

，等于该薄膜的垂度z。(2)该扭杆所受的扭矩M，等于该薄膜发生垂度后形成体积的2倍，即2V。(3)该扭杆横截面上某一点处的切应力(沿x方向)，等于薄膜上对应点处的沿y方向上斜率

，而沿方向的切应力

，等于薄膜上对应点处沿x方向的斜率的相反数

。则得：（1）（2）（3）椭圆截面杆的扭转03SimplysupportedbeamssubjectedtouniformlydistributedloadsxyOab1.问题的描述椭圆截面直杆：长半轴为a，短半轴为b，受扭矩M

作用。求：杆中的应力与位移。2.问题的求解求应力函数Φ根据：及椭圆截面方程：可假设：（a）（b）式中：m为待定常数。将其代入方程：得到：（c）利用方程：（c）利用方程：（d）式中：代入式（d）,有：可求得：（e）xyOab（e）（c）将其代入式（e）,得：（f）至此，Φ

满足所有的条件：求剪应力（1）剪应力分量：（2）合剪应力：xyOab求剪应力（1）剪应力分量：（2）合剪应力：（3）最大、最小剪应力：对上式求极值，当

当a=b时，与材料力学中圆截面结果相同。xyOab求杆的形变与位移xyOabABCD由得到：——杆件单位长度的扭转角单位长度的扭转角位移分量由可求得：（f）xyOabABCD比较两式，得：对其分别积分，得：式中：w0为常数，代表刚体位移。若不计刚体位移，则有：表明：（1）扭杆的横截面并不保持平面，而翘曲成曲面。（2）曲面的等高线在xy面上的投影为双曲线，其渐近线为x、y轴。（3）仅当a=b时（圆截面杆），才有w=0，横截面保持平面。矩形截面杆的扭转04WedgebodyissubjectedtogravityandliquidpressureyxOAa/2a/21.问题：图示矩形截面杆：a、b、M

（1）

（2）两种情形：a>>b；求：杆的应力与位移。2.问题的求解（1）a>>b情形：——狭长矩形一般情形；求应力函数Φ∵a>>b，由薄膜比拟可以推断，应力函数Φ

绝大部分截面几乎不随x变化，即不受短边约束的影响，对应的薄膜几乎为一柱面。∴可以近似地取：而：变为：对上式积分，有：利用边界条件：可求得：（a）利用式：积分求得：（b）（c）求剪应力（1）剪应力分量：（2）最大剪应力：yxOAa/2a/2杆件的变形单位长度扭转角：由式：此时应力函数Φ

可表示为：（d）（2）任意情形（a/b=任意值

）：求应力函数Φ基本方程与边界条件：此时应力函数Φ

为一般函数：求解思路：对狭长矩形结果，进行修正。将Φ分解成两部分，即：其中：Φ

1为狭长矩形的应力函数，即：（e）（f）（g）yxOAa/2a/2（g）调整函数F，使其满足边界条件：将式（g）代入方程：得到：因为：∴有：（h）表明：F

应为一调和函数。原问题转化为：（i）

由问题的对称性，F应为x、y的偶函数。满足上述条件的函数只能是：（j）yxOAa/2a/2现在放松条件a>>b,应力函数增加一个F,如将式（j）代入式（i）第二式，得：原问题转化为：（i）满足上述条件的函数只能是：（j）将上式右边为级数，并比较两边系数，有yxOAa/2a/2代入函数F，有最后确定应力函数

为：（k）yxOAa/2a/2求最大剪应力：

由薄膜比拟可以断定，最大剪应力发生在矩形横截面长边的中点（如点A：x=0,y=

b/2）,其大小为：（l）单位长度扭转角K：应用式：yxOAa/2a/2（m）代入式（l）,得最大剪应力公式：（n）将上述两公式表示成：式中：、1仅与a/b

有关，可列表查得。yxOAa/2a/2系数、1表：a/b

1a/b

11.00.1410.2083.00.2630.2671.20.1660.2194.00.2810.2821.50.1960.2315.00.2910.2912.00.2290.24610.00.3120.3122.50.2490.258∞0.3330.333正方形截面杆（a=b）翘曲后截面变形的等高线如图：实线表示向上翘曲（凸）；虚线表示向下翘曲（凹）。薄壁杆的扭转05Seriessolution1.开口薄壁杆件扭转分类：（1）开口薄壁杆件；（2）闭口薄壁杆件。——仅讨论其自由扭转。假定：（1）由于杆件壁厚b很薄，可近似视其为狭长矩形的组合；（2）曲的狭长矩形与同长度、宽度的直狭长矩形差别不大。扭转剪应力与变形：

设ai、bi

分别为扭杆横截面的第i个狭长矩形的长度和宽度，Mi为该矩形面积上承受的扭矩（为整个横截面上扭矩的一部分），

i代表该矩形长边中点附近的剪应力，K代表该扭杆的单位长度扭转角，则狭长矩形的结果，有扭转剪应力与变形：

设ai、bi

分别为扭杆横截面的第i个狭长矩形的长度和宽度，Mi为为该矩形面积上承受的扭矩（为整个横截面上扭矩的一部分），

i

代表该矩形长边中点附近的剪应力，K

代表该扭杆的单位长度扭转角，则狭长矩形的结果，有（a）（b）由式（b）得：（c）该矩形长边中点附近的剪应力及杆件的扭转角：整个横截面上的扭矩为：（d）比较式（c）与式（d），有：将上式代回式（a）（b），有：

由于每个狭长矩形的扭转角相同，所以整个横截面的抗扭刚度为：

说明：（1）式

给出的狭长矩形中点处的应力值精度较高；但两个狭长矩形的连接处误差较大，可能发生远大于中点处的应力。——应力集中。（2）连接处应力随连接圆角的半径

而变化，图中给出胡斯（J.H.Huth）用差分法计算得到的结果。2.闭口薄壁杆件扭转扭转剪应力：——由薄膜比拟方法分析。方法说明：

在薄壁杆横截面的外边界上张一薄膜，使得薄膜在外边界上的垂度为零；

为使薄壁杆横截面的内边界上的垂度为常量，假想在薄膜上粘一无重不变形的平板，平板的大小、形状与横截面的内边界相同；

由于杆壁的厚度

很小，可以预料，沿壁的厚度方向薄膜的斜率可视为常量，如图所示。

于是，杆壁厚度为

处的剪应力大小（等于薄膜的斜率）为：（e）

由杆横截面上的扭矩M与薄膜、杆横截面所围的体积间关系，有：（f）

式中：A为横截面内外界所围面积的平均值。

由此得：

将其代入式（e），有：显然，其最大值发生在壁厚最小处，即：扭转变形——单位长度扭转角K考虑平板CD的平衡：

在杆壁中线取一微小长度ds，该微段薄膜对平板的拉力为：Tds，它在z轴方向的投影：平板所受的压力（z轴方向）为：由z轴方向力的平衡，即由式（f）可得：而:由此可得：因而，可求得：对于均匀厚度的闭口薄壁杆，

为常量，上式即变为：式中：s为杆壁中线的全长。

说明：

（1）在截面的凹角处，局部的最大应力

max可能发生远大于式

给出的应力值。

（2）局部最大应力随凹角处的圆弧半径

的增大而减小。杆的抗扭刚度：谢谢观看Thanksforwatching东莞理工学院制作:马宏伟，张伟伟弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12能量原理和变分法Theenergyprincipleandthemethodofvariation弹性体的应变能和应变余能01虚功原理与最小势能原理01位移变分法01平面问题的位移变分法01最小余能原理01应力变分法01平面问题的应力变分法01弹性体的形变势能01Elasticspotentialenergyofthedeformablebody基本概念01材料在单向拉伸作用下的能量上式称为应变能密度。若以应力为自变量，可求应变余能密度，如若材料为线弹性材料时，有：若弹性体只在两个互相垂直方向有剪切应力，且切应变时，则应变能为

每单位体积内具有的形变势能为:02基本概念材料在三向应力状态下的应变能根据能量守恒，叠加各情况后，得应变能密度一般情况下，弹性体受力并不均匀，应变能密度也不均匀，为坐标得函数，所以，弹性体所储备的应变能为利用物理方程转变为应变分量来表示，得基本概念02材料在三向应力状态下的应变能02基本概念02材料在三向应力状态下的应变能02

利用几何方程，把应变能用位移表示：基本概念02材料在三向应力状态下的应变余能02应变余能密度

在应力-应变关系为线性时同样是考虑应变余能密度为位置坐标的函数，则整个弹性体的应变余能为考虑物理方程，将所有的应变均用应力表示，得应变余能密度的表达式整个弹性体的应变余能表达式基本概念02微分关系依据应变能与应力、应变的积分关系，可得：对于余能，类似可得：虚功原理与最小势能原理02Virtualworkprincipleandminimumpotentialenergyprinciple02虚功原理01位移：外力：体力面力将上式进行归项后，得设有一弹性体在一定的外力作用下处于平衡状态，并发生虚位移：外力在虚位移上做功为虚功，设无能量损失，全部转换为应变能，有——此即为位移变分方程

或者

拉格朗日变分方程对于弹性体而言，虚位移

、

、

不是常数，而是位置的函数，因此位移变分方程是以位移函数为自变量的泛函。02变分方程的意义02如图所示的简支梁，梁在一定的载荷下挠曲线方程如图中实线所示（简便起见，只考虑其y方向位移），位移设为

。假定位移产生改变，变为

，位移变分为位移变分方程简化为

相当于当自变量函数(挠曲线)改变时应变能的变化量，这很像函数的微分关系。微分和变分的对比“微分”的概念移植到泛函中来，仍以图示的简支梁为例，将泛函中自变量函数（挠曲线函数）的“增量”记为，称其为位移变分；应变能函数的增量为，称其为应变能的变分。02虚位移原理03微分、积分、变分运算可交换次序

将应变能视为应变的变分（相当于求多元函数的全导数）：代入

(10-8)———虚位移原理，也称为虚功原理或虚功方程。方程左边为应力在虚应变上所做的虚功。虚位移原理表示：在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功就等于应力在与该虚位移相应的虚应变上所做的虚功。由于外力的大小和方向可以当作保持不变，体力和面力分量可作为常数写到变分算子内，有——弹性体的总势能02虚位移原理03在给定的外力作用下，实际存在的位移应使总势能的变分成为零。最小势能原理：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移中间，实际存在的一组位移应使总势能成为极值。如果考虑二阶变分，则得到对于稳定平衡状态，这个极值是极小值。又由于弹性力学的解具有唯一性，总势能的极小值就是最小值。因此，上述原理称为最小势能原理。02位移变分方程03微分、积分、变分运算可交换次序将应变能视为应变的变分（相当于求多元函数的全导数）：

(10-10)

按照几何方程，写出应变分量的变分为式(10-10)的右边共有9项，现在来对每一项进行分部积分，以第一项为例，有式(10-10)右边的9项都做分部积分后，共得18项

(10-11)02位移变分方程03将式(10-11)代入(10-7),并使用高斯积分定理，有(10-11)(10-7)代入高斯积分定理:若P、Q、R为三个函数，它们的体积积分与面积分满足关系：当面力已知位移变分法03Displacementvariationmethod设某弹性力学问题的位移分量具有如下表达形式：位移分量的变分可以写为代入位移变分方程:应变能的变分为把

视为“公因式”合并归项后，有因系数不全为0由于

之间相互独立，因此上述求导运算后，各式只含有对应系数的一次项，可以求得全部系数。这一方法被称为里茨法。位移变分方程:设下述位移满足位移边界条件和应力边界条件其变分形式为代入伽辽金变分方程因系数不全为0考虑物理方程、几何方程，得到用位移分量表示各式也只含有对应系数的一次项，可以求得全部系数。这一方法被称为伽辽金法。平面问题的位移变分法04Displacementvariationmethodforplaneprobelems02平面问题的位移变分方程01位移表示的应变能方程（10-4）平面应变问题，w=0设出位移表达式代入里茨法伽辽金法02例题102设有宽度为a而高度b为的薄板，左边及下边受连杆支承，右边及上边分别受有均布压力

及

，不计体力，试求薄板的位移?解：设位移分量为满足边界条件

，

。应力边界条件未知采用