贵州省黔东南州2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷（含答案）

贵州省黔东南州2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．sin75°=A．6−24 B．3+242．已知复数z=3+i1−iA．2 B．2 C．1 D．13．已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则(2aA．−2 B．1 C．2 D．4．已知复数z=iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．在△ABC中，A=π4，AB=2，AC=4A．5 B．22 C．3 D．6．已知向量a，b，且|a|=1，|bA．1 B．3 C．7 D．57．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=3，2C=A+B，sinB=2A．332 B．32 C．38．设a=2sin42°cos42°，A．c<b<a B．c<a<b C．a<c<b D．a<b<c二、多选题9．已知复数z=3+4i，则下列说法正确的有（）A．复数z的实部为3 B．复数z的共轭复数为3−4iC．复数z的虚部为4i D．复数z的模为510．下列化简正确的是（）A．siB．tanC．sinD．211．已知向量a=A．a与b能作为一组基底B．与a+bC．a与b的夹角的正弦值为2D．若c=(x，12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，有如下判断，其中正确的判断是（）A．若A>B，则sinB．若acosA=bcosC．若△ABC为锐角三角形，则sinD．若cos2A+三、填空题13．已知复数a−2ii=b+3i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则ab=14．设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a=−3e1−15．已知2cosα−cosβ=3216．已知正方形ABCD的边长为2，点M满足AM=12(AB+AD)，则|四、解答题17．已知向量a=(2，−1)（1）求|2a（2）求向量a+2b与18．已知a=(−1，3)，b=(2，−4)，m=（1）m（2）m19．已知π<α<3π2，cosα=−（1）求sin(α+（2）求tan(2α−β)20．（1）已知α，β都是锐角，cosα=35，sin(α−β)=（2）已知θ为锐角，φ为钝角，tanθ=12，tanφ=−321．如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时15km的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75km，且与海岸距离为45km的海上B处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.（1）小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？（2）求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角.22．在面积为S的△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2S(sin（1）求C的值；（2）若ABC为锐角三角形，记m=S

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：sin==故答案为：C

【分析】利用两角和的正弦公式计算即可.2．【答案】A【解析】【解答】方法一：z=3|z|=(方法二：|z|=|3故答案为：A﹒

【分析】根据复数的除法运算和模的概念，计算即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：以a，b交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：则a=(2，1)，b=(2，−1)，故答案为：B.

【分析】以a，b交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标表示即可求解.4．【答案】A【解析】【解答】由题，z=i故答案为：A

【分析】根据复数的除法计算z=1+5．【答案】A【解析】【解答】根据题意得：cosA=AC2+AB2故答案为：A.

【分析】利用余弦定理求出BC=106．【答案】D【解析】【解答】设向量a，b的夹角为θ，则|a当且仅当cosθ=−1时即a，b共线反向时等号成立，∴|故答案为：D.

【分析】利用数量积及余弦函数的性质可求模的最大值.7．【答案】A【解析】【解答】因为2C=A+B，则A+B+C=π，所以3C=π得：C=π又sinB=2sinA由正弦定理可得：ba=sin有余弦定理可得：c2即9=a2+4a2则△ABC的面积为S=1故答案为：A.

【分析】由2C=A+B结合三角形的内角和得C=π3，由正弦定理可得b=2a，再由余弦定理可得a=38．【答案】B【解析】【解答】根据正余弦和正切的二倍角公式有，a=2sin42°cos42°=sin84°，b=2tan32°1−故答案为：B

【分析】根据二倍角公式化简a=sin84°，b=tan9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：复数z=3+4i的实部为3，虚部为4，A项正确，C项错误；复数z=3+4i的共轭复数为3−4i，B项正确；复数z=3+4i的模为32故答案为：ABD.

【分析】根据复数的定义及性质可判断A、C项，根据共轭复数的定义可判断B项，根据复数模的计算公式可判断D项.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于A：sin对于B：tan45°=对于C：sin15°对于D：tanπ4=故答案为：BCD

【分析】利用二倍角公式公式及和差角公式计算可得.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A，因为a=(−2，1所以a与b能作为一组基底，A符合题意；对于B，因为a=所以a+所以与a+b同向的单位向量的坐标为对于C，因为cos〈所以a与b的夹角的正弦值为22对于D，因为c=所以(−2+x)2故答案为：ACD．

【分析】对于A两个不共线的向量可以作为平面的一组基底；对于Ba+b=(−312．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A：在△ABC中，若A>B，则a>b，则2RsinA>2Rsin对于B：∵acosA=bcos∴sin2A=sin2B，∴A=B，或∴△ABC为等腰或直角三角形，故不正确．对于C：当△ABC为锐角三角形时，A+B>π2，∴sinA>sin(对于D：若cos2A+即sin2C>sin2B+即C为钝角，故△ABC是钝角三角形，D符合题意；故答案为：ACD.

【分析】A：由大角对大边，及正弦定理判定；利用正弦定理及二倍角公式判断B；根据正弦函数的性质及诱导公式判断C；根据余弦定理判断D.13．【答案】6【解析】【解答】由题意得a−2ii所以−2=b−a=3，即b=−2所以ab=6.故答案为：6

【分析】根据复数的乘除法运算法则a−2ii=−2−ai，结合复数相等的概念得−2=b−a=314．【答案】−【解析】【解答】解：因为a=−3e1所以存在实数t，使得b=ta，即e1因为向量e1，e2是平面内的一组基底，所以−3t=1−t=−λ故答案为：−

【分析】依题意可得存在实数t，使得b=ta，即15．【答案】−【解析】【解答】由(2cos(2sin两式相加有5−4(cos可得cos(α−β)=−故答案为：−5

【分析】将两式同时平方，然后相加，利用两角和差的余弦公式进行求解即可．16．【答案】2；2【解析】【解答】因为AM=12(AB+AD以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x，设E(x，y)，则0≤x≤2，0≤y≤2，又D(0，2)，所以AM=(1，1)所以DE·故答案为：2；2.

【分析】（1）先判断出M为AC，所以|MB|=2；

（2）以A为坐标原点，AB17．【答案】（1）解：∵a=(2，−1)∴2a2a∴|2a（2）解：设a+2b与a−b的夹角为a+2b=(4a−b=(1∴cosθ=∴向量a+2b与a−【解析】【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求模长即可；

（2）根据平面向量的坐标运算求夹角的余弦值．18．【答案】（1）解：因为a=(−1，3)，b=(2，−4)，m=所以m=n=因为m//n，所以整理为k2解得k=−1或2；（2）解：因为m⊥所以(−2k−1整理为7k解得：k=−9±3【解析】【分析】（1）由题意得m→=(−2k−1，4k+3)19．【答案】（1）解：∵π<α<3π2，∴α为第三象限角，故∵cosα=−45，∴sin(α+（2）解：由（1）得cosα=−45，sinα=−3又角β的终边过点P(7，3)，故β为第一象限角，∴tan(2α−β)=【解析】【分析】（1）根据已知可判断α为第三象限角可求得sinα=−35，利用两角和的正弦公式求解即可；

（2）由（1）可得tanα=34，利用二倍角的正切公式得20．【答案】（1）解：因为α，β都是锐角，即0<α<π2∴−∴又sin(α−β)=∴∴（2）解：由tanθ=12，tan∵θ为锐角，φ为钝角即0<θ<π2∴∴θ+φ=【解析】【分析】（1）由0<α<π2，0<β<π2，得−π2<α−β<π2，由同角三角函数的基本关系推出sin21．【答案】（1）解：如图，设小艇以每小时vkm的速度从B处出发，沿BD方向行驶，t小时后与运动员在D处相遇，在△ABD中，AB=75，AD=15t，BC=45，故sin∠BAD=由余弦定理求得BD则v2整理得：v2当1t=425时，即t=25即小艇至少以每小时9km的速度从B处出发才能追上运动员.（2）解：当小艇以每小时9km的速度从B处出发，经过时间t=25故BD=9×254=56又sin∠BAD=35，由正弦定理得BD故∠ABD=90°.即小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角为90°.【解析】【分析】（1）设小艇以每小时vkm的速度从B处出发，沿BD方向行驶，t小时