平面问题的极坐标解答课件

平面问题的极坐标解答*§4-1DifferentialEquationsofEquilibriuminPolarCoordinatesDealingwithelasticityproblems,whatformofcoordinatesystemwechoose，whichcan’taffectondescribingproblemessence,butrelatetothelevelofdifficultyonsolvingproblemdirectly。Ifcoordinateissuitable，itcansimplifytheproblemconsiderably。Forexample,forcircular、wedgedandsectorandsoon，solvedbyusingpolarcoordinatesaremoreconvenientthanusingrectangularcoordinates.Consideringandifferentialfieldintheplate

POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*§4-1极坐标中的平衡微分方程

在处理弹性力学问题时，选择什么形式的坐标系统，虽不会影响对问题本质的描绘，但将直接关系到解决问题的难易程度。如坐标选得合适，可使问题大为简化。例如对于圆形、楔形、扇形等物体，采用极坐标求解比用直角坐标方便的多。

考虑平面上的一个微分体平面问题的极坐标解答*Consideringequilibriumofanunitelement,therehavethreeequilibriumequations:Fig.4－1normalstressinthedirectioniscalledradialnormalstressdenotedby;normalstressinthedirectioniscalledtangentialnormalstressdenotedby;shearstressisdenotedby,stipulationofsignofeachstresscomponentaresimilartoonesinrectangularcoordinates.Bodyforcecomponentsofradialandhooparedenotedbyand,respectively.Fig.4-1.POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*图4－1沿方向的正应力称为径向正应力，用表示沿方向的正应力称为环向正应力，用表示，剪应力用表示，各应力分量的正负号的规定和直角坐标中一样。径向及环向的体力分量分别用及表示。如图4-1。平面问题的极坐标解答考虑图示单元体的平衡，有三个平衡方程：*From,canfindequalrelationshipofshear

stress：From,gives:From

,gives:Because

isverymicro,has,and,substitutes

forinto

uppertwoformulas,thus:POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*由，可以得出剪应力互等关系：由，有：由，有：平面问题的极坐标解答因为很微小，所以取，，并用代替，整理以上两式，得：*Thesearedifferentialformulasofequilibriuminpolarcoordinates.Twodifferentialformulasofequilibriumcontainthreeunknownfunctionsand,,soitisastaticallydeterminatequestion.thusmustconsiderdeformationconditionandphysicalrelationship.Aboveformulasdifferfromequilibriumequationsinplanarcoordinateswherestresscomponentsareexpressedbypartialderivative.Inpolarcoordinates,areasofwhichunitelementisperpendiculartotwosidefacesarenotequal,anddifferenceisincreasingwithradiusreducing,whichcanbeseenfromunderlineitemsintheformulas.

POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*这就是极坐标中的平衡微分方程。两个平衡微分方程中包含三个未知函数、和，所以问题是静不定的。因此必须考虑变形条件和物理关系。

上述方程和直角坐标系下的平衡方程有所不同，直角坐标系中，应力分量仅以偏导数的形式出现，在极坐标系中，由于微元体垂直于半径的两面面积不等，而且半径愈小差值愈大，这些反映在方程里带下划线的项中。平面问题的极坐标解答*I、GeometricFormulas—DifferentialRelationshipbetweenDisplacementsandDeformation§4-2GeometricandPhysicalFormulasinPolarCoordinatesInpolarcoordinates,stipulate:

---radialnormalstrain---hoopnormalstrain---shearstrain(changeofrightanglebetweenradialandhooplinessegment)---hoopdisplacement---radialdisplacementFig.4-2POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*一、几何方程—位移与形变间的微分关系§4-2极坐标中的几何方程及物理方程平面问题的极坐标解答在极坐标中规定:---径向正应变---环向正应变---剪应变(径向与环向两线段之间的直角的改变)---径向位移---环向位移图4-2*NormalstrainofradiallinesegmentPA,have：NormalstrainofhooplinesegmentPB,have：AngleofrotationofradiallinesegmentPA,have：(1)Assumeonlyhavingradialdisplacementbutnohoopone.Fig.4-2.Discussdifferentialrelationshipbetweendisplacementsanddeformationinpolarcoordinateswithsuperimposemethod.POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答径向线段的正应变为：环向线段的正应变为：径向线段的转角为：用叠加法讨论极坐标中的形变与位移间的微分关系。（1）假定只有径向位移，而无环向位移。如图4-2所示。*(2)Assumeonlyhavinghoopdisplacementbutnoradialone.Fig.4-3.Fig.4-3Thusshearstrain,have:NormalstrainofradiallinesegmentPA,have：NormalslopeofhooplinesegmentPB,have：AngleofrotationofhooplinesegmentPB,have：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答（2）假定只有环向位移，而无径向位移。如图4-3所示。图4-3径向线段的正应变为：环向线段的正转角为：环向线段的转角为：可见剪应变为：*Ifexistsradialandloopdisplaces,fromsuperpositionmethodhave：Sucharegeometricformulasinpolarcoordinates.Thusshearstrain,have:AngleofrotationofhooplinesegmentPB,have

：AngleofrotationofradiallinesegmentPA,have：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答

如果同时存在径向和环向位移，则由叠加法得：这就是极坐标中的几何方程。径向线段的转角为：环向线段的转角为：可见剪应变为：*(2)Inplanarstrain’ssituation:Substitute

andforandinaboveformula,respectively.II、PhysicalEquations(1)statesofplanarstress：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答（2）平面应变情况：

将上式中的换为，换为。二、物理方程（1）平面应力情况：*§4-3StressFunctionsandConsistentEquationsinPolarCoordinatesTogetstressesandconsistentequationsdenotedbystressfunctionsinpolarcoordinates，usingrelationshipbetweenpolarandrectangularcoordinates：have：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*§4-3极坐标中的应力函数与相容方程平面问题的极坐标解答

为了得到极坐标中用应力函数表示的应力和相容方程，利用极坐标和直角坐标的关系：得到：*（a）（b）POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS（c）*平面问题的极坐标解答（a）（b）（c）*gets：Whenθ=0,thecomponentsinpolarcoordinatesequaltheonesinorthogonalcoordinates.Substitutingthesevaluesintoequationsofstresscomponents（normalbodyforce）：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答得到：

在θ=0时，极坐标的各分量和直角坐标各分量相同。将上面各式代入应力分量的表达式（常体力）：*Usingpolarcoordinatestoevaluateplanarproblems(bodyforceiscountless),canfindstressfunctionfromconsistentfunction,thengetsstresscomponents,checksifstresscomponentssatisfyboundarycondition,andalsosatisfydisplacementmono-valueconditionsifitismulti-jointbody.Thusfromconsistentequationinplanarcoordinates：

getsconsistentequationinpolarcoordinates：Itcanprovethatthesestresscomponentscansatisfydifferentialequationsofequilibriumwhenbodyforceiszero.From（a）+(b),gets：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答

用极坐标求解平面问题时（体力不计），就只须从相容方程求解应力函数，然后求出应力分量，再考察应力分量是否满足边界条件，多连体还要满足位移单值条件。可以证明，当体力为零时，这些应力分量确能满足平衡微分方程。由（a）+（b），得：于是由直角坐标的相容方程：得到极坐标中的相容方程：*§4-4CoordinatesTransformsforStressComponentsInacertainstresssituation,ifhasknownstresscomponentsinpolarcoordinates,stresscomponentsinplanarcoordinatesarefoundbyusingsimplerelationshipequation.Viceversa.Assumingthatstresscomponents、、havebeenknown,trytodeterminethestresscomponents、、inplanarcoordinates.Fig.4-4Fig.4-4,fetchingtinytriangleAinelasticbody,stressesofeachsidearedenotedlikethefigure.Trianglethicknesstakesoneunit.POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*§4-4应力分量的坐标变换式平面问题的极坐标解答

在一定的应力状态下，如果已知极坐标中的应力分量，就可以利用简单的关系式求得直角坐标中的应力分量。反之，如果已知直角坐标中的应力分量，也可以利用简单的关系式求得极坐标中的应力分量。

设已知极坐标中的应力分量、、。试求直角坐标中的应力分量、、。图4-4

如图4-4，在弹性体中取微小三角板，各边上的应力如图所示。三角板的厚度取为一个单位。*Makebc’length

ds,thusthelengthsofabandacareand,respectively.Substitutingfor,has：Inlikemanner,fromequilibriumcondition,has:FetchothertinytriangleB,Fig.4-4,intermsofequilibriumcondition,gets：AccordingtoequilibriumconditionoftriangleA,,cangetequilibriumequation：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答

根据三角板的平衡条件，可得平衡方程：用代替，得：同理，由平衡条件，可得：另取微小三角板，如图4-4，根据平衡条件，得到：令bc边的长度为，则边及边的长度分别为及。*Usingsimpletriangleformula,upperformulascanbeoverwritten：Combiningabovesolutions,canobtainthetransformsofthestresscomponentsfrompolarcoordinatestorectangularcoordinates：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答利用简单的三角公式，上式可改写为：

综合以上结果，得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换式为：*§4-5AxiallySymmetricStressanditsDisplacementIfstresscomponentsareonlythefunctionofradius,suchascircularringwithinsideandoutsidepressure,itiscalledaxialsymmetryproblem.Usinginversesolutionmethod,assumesthatstressfunctiononlyisthefunctionofradialcoordinate:Simplifyingconsistentformula:Thisisafour-stairordinarydifferentialequation,whichisthegeneralsolution:POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*§4-5轴对称应力和相应的位移平面问题的极坐标解答

如果应力分量仅是半径的函数，如受内外压的圆环，称为轴对称问题。

采用逆解法，假定应力函数仅是径向坐标的函数:相容方程简化为:这是一个四阶常微分方程，它的通解为:*Normalstressesareonlythefunctionsofandnothingto,andshearstressarezero.stresscomponents’symmetryaretoarbitraryplanebymeansofz’shaftwhichcalledaxialsymmetrystress.Substitutingabovestressexpressionsintorelationshipformulasofstressandstrain,canfindstrainexpressions,andthenwhicharesubstitutedgeometricformulasofdisplacementandstrainwithintegrated,getsthedisplacementcomponentsinaxialsymmetrystresssituation:Atthistime,getsstressexpressions:POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答

正应力分量仅是

的函数，与无关，并且剪应力为零，应力分量对称于通过z轴的任一平面，称为轴对称应力。

将上述应力的表达式代入应力应变关系式中，可以得到应变的表达式,再代入位移与应变积分后的几何方程,得到轴对称应力状态下的位移分量:

这时，应力分量的表达式为:*

POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMSForstrainprobleminplane，weshouldsubstitute

andfor

and,respectively.*平面问题的极坐标解答

对于平面应变问题，须将上面公式换为，换为。*§4-6CircularRingorCylinderunderUniformLoadingPressureTunnelFig.4-5,insideradiusisa,outsideradiusisb;interiorpressureisqa,outerpressureisqb.Thisisaaxiallysymmetricproblem.Accordingtouppersection,thesolutionhas:Fig.4-5Boundary

conditions:I、UniformPressureActingonCircularRingorCylinderPOLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*§4-6圆环或圆筒受均布压力.压力隧洞平面问题的极坐标解答

如图4-5，圆环的内半径为a，外半径为b，受内压力qa，外压力qb。为轴对称问题。根据上节有解为:图4-5边界条件为:一、圆环或圆筒受均布压力*Therehavetwoequationswhilehavethreeundeterminedconstants,soneedsupplementoneequationfromdisplacementmono-valueconditionofmulti-jointbody.Intheexpressionofhoopdisplacement：FromuppertwoequationscangetAandC,andsubstitutingintotheexpressionofstresscomponents,getlamikey：Fromboundaryconditions,get:POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMSThefirstitemismultiplevalue,andatthesamer,θ=θ1andθ=θ1+2π,hoopdisplacementdifferenceis,whichisimpossible,thus,fromdisplacementmono-valuedconditionmusthaveB=0.so:*平面问题的极坐标解答

在这里只有两个方程，而有三个待定常数，需要从多连体的位移单值条件补充一个方程。在环向位移表达式：

这样从上面两个方程中可解出A和C，代入应力分量表达式，得到拉密解答：于是:由边界条件得到:中，第一项是多值的，在同一r处，θ=θ1和θ=θ1+2π时，环向位移相差，这是不可能的，因此，从位移单值条件必须有B=0。*Next,separatelydiscussthecasesthatinsidepressureandoutsidepressureindividuallyoperate.（1）Whenonlyhasinsideuniformpressureacting(),suchashydrauliccylinder,uppersolutionsbecome:Fig.4-6POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答

下面分别讨论内压力和外压力单独作用的情况。（1）只作用均匀内压时（），例如液压缸，上面解答化为：图4-6*ThestressdistributeapproximatelyasFig.4-6.Whenhaveinfinitelamellawithcircularaperture,orinfiniteelasticbodywithcircularaperture,atthistime,uppersolutionsbecome:（2）Whenonlyhaveoutsidepressure(),suchashydraulicplunger,uppersolutionsbecome：ThestressdistributeapproximatelyasFig.4-7.Fig.4-7POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答应力分布大致如图4-6所示。当时，得到具有圆孔的无限大薄板，或具有圆形孔道的无限大弹性体，这时上面的解答成为：（2）只有外压时（），例如液压柱塞，上面解答化为：应力分布大致如图4-7所示。图4-7*II、PressureTunnelFig.4-8Fig.4-8,cylinderwithinsideuniformpressureqisburiedininfiniteelasticbody,andcylinder’smaterialisdifferfrominfiniteelasticbody’s.Trytodiscusseachstressanddisplacementsituationseparately.Bothbelongtoaxiallysymmetricstressproblem,soadoptsemi-inversesolutionmethod.Assumethestressexpressionsofcylinder：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答二、压力隧洞图4-8

如图4-8所示，受均匀内压力作用的圆筒埋在无限大弹性体中，圆筒和无限大弹性体的材料不同。试分别讨论两者的应力和位移情况。

两者都属于轴对称应力问题，采用半逆解法。设圆筒的应力表达式为：*Assumethestressexpressionsofinfiniteelasticbody：(1)Oninnersurfaceofcylinder：

thushave:(2)Ininfiniteelasticbodyfarawayfromthecylinderhardlyhasstresses.Thushave：(3)Onthecontactsurfaceofcylinderandinfiniteelasticbody,oughttohave：（1）（2）POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMSAccordingtostressconditionsevaluateunderminedconstantsA、C、、.*平面问题的极坐标解答设无限大弹性体的应力表达式为：由应力边界条件求待定常数、、、。（1）在圆筒的内表面：由此得：（2）在无限大弹性体内距离圆筒很远处几乎没有应力。由此得：（3）在圆筒和无限大弹性体的接触面上，应当有：（1）（2）*Thushave：Threeequationsarenotenoughfordeterminingfourconstants.Next,considerthedisplacement.Becausecylinderandinfiniteelasticbodyareallmulti-jointbody,andwhichbelongtoplanarstrainproblem,socanobtaintheradialdisplacementexpressionsofbothobjects.Cylinder:infiniteelasticbody：Simplifyuppertwoequations,have：（3）POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答由此得：三个方程不足以确定四个常数，下面来考虑位移。

由于圆筒和无限大弹性体都是多连体，并属于平面应变问题，可以写出两者的径向位移的表达式。圆筒：无限大弹性体：将以上两式简化后得：（3）*Onthecontactsurface,bothoughttohavethesamedisplacementas：Thushave：Becausethisequationoughttofoundonarbitrarypointofcontactsurface,inotherwords,itallfoundwhatevervaluetakes,sothefreeitemofbothsidesofequationmustequal,thushave：Simplifying,get：Ofwhich：（4）POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答在接触面上，两者应具有相同的位移，即：因此有：因为这一方程在接触面上的任意一点都应当成立，也就是在取任何数值时都应当成立，所以方程两边的自由项必须相等。于是有：简化后，得：其中：（4）*Simultaneousequations（1）、（2）、（3）、（4）evaluate、、、,thensubstitutingtheexpressionsofstresscomponents,get：When,thestressesdistributeapproximatelyFig.4-8.POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答联立方程（1）、（2）、（3）、（4）求出、、、，代入应力分量的表达式，得：

当时，应力分布大致如图4-8所示。*§4-7PureBendingofCurvedBeamFornarrowrectanglesection

ofcircularshaft

withento-radiusaandextra-radiusb,bendingmomentsactonbothendswithequalsizeandcontraryorientation,whichisaxialsymmetryproblem.have：Shearstressesontheboundaryareallzero：Fig.4-9POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*§4-7曲梁的纯弯曲平面问题的极坐标解答

内半径为a，外半径为b的狭矩形截面的圆轴曲梁，在两端受大小相等、方向相反的弯矩，为轴对称问题。有：边界剪应力都为零：图4-9*Onbothinsideandoutsidefaces,normalstressesrequire:Thusget：Boundaryconditionontheendsofbeamrequire:Thus:POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答

在梁的内外两面，正应力要求:从而可得：在梁端的边界条件要求:则:*Substitute’sexpression：intoandfromboundaryconditiongets：Therearethreeformulasandthreeundeterminedconstants.FindingA、BandC，substituteintoexpressionsofstresscomponent，getsguoluowen’skey:Init,have：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答将的表达式：代入，并由边界条件得：

在这里有三个方程和三个待定常数，解出A、B和C，代入应力分量表达式，得到郭洛文解答:其中：*§4-8StressandDisplacementofDiscinUniformRotationI、StressesandDisplacementofUniform-ThicknessDiscinUniformRotationAssumethatuniform-thicknessdiscrotatewithuniformangularvelocityroundaxisofrevolution.thedisccanbethoughtinequilibriumcaseunderbelowbodyforceacting：Becausethereisaxiallysymmetricobjectsactedbyaxiallysymmetricbodyforce,stressdistributionisalsoaxiallysymmetric.thus：stresscomponents,and,areonlyr’sfunctions,and.Sohavedifferentialequationsofequilibrium:Make:(1)POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*§4-8圆盘在匀速转动中的应力及位移平面问题的极坐标解答一、等厚度圆盘在匀速转动中的应力及位移

设有等厚度圆盘，绕其回转轴以匀角速度旋转。圆盘可以认为是在下面的体力作用下处于平衡状态：

由于这里是轴对称的物体受轴对称的体力，所以应力分布也是轴对称的。即：应力分量及都只是的函数，而

。所以有平衡微分方程：令：(1)*Here,becausediscisonlyactedbyconstraintofaxisofrevolutionwhichisaxiallysymmetric.thus：radialdisplacement,andhoopdisplacement.Thengeometricequationsaresimplified：Eliminating,getconsistentequation：Solveequations：Substitutephysicalequation,thencomposesimultaneousequationswithEqu.(1),thusgettheconsistentequationdenotedbystressfunction：AssociatewithEqu.(1),get：(2)POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答

在这里，由于圆盘只受回转轴的约束，而这种约束是轴对称的，所以它的弹性位移也是轴对称的。即：径向位移，而环向位移。于是几何方程简化为：消去，得到相容方程：解方程得到：将物理方程代入，再联立式(1)，得到由应力函数表示的相容方程：联立式（1），得：(2)*OfwhichAandBarearbitraryconstants.Boundaryconditionofedgeofdisc：Init,aistheradiusofdisc.substitutingintoEqu.(2),have：MakeB=0,substituteintoEqu.(2),thengettheexpressionsofstresscomponents：Maximumstressisonthecenterofdisc：Radialdisplacement：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答其中和是任意常数。

盘边的边界条件：其中是圆盘的半径。代入式（2），得：取，代入式（2）得应力分量的表达式为：最大应力在圆盘的中心：径向位移：*Onthecenterofdisc（）,.maximumelasticdisplacementoccursontheboundaryofdisc（）：II、StressandDisplacementofvariablethicknessdiscinuniformrotationAssumethatthicknessofdiscis,andstresscannotchangewithvaryingthickness,sodifferentialequationofuniform-thicknesscanapproximatelyapplyinunitthicknessdisc.Thuscangetdifferentialequationofequilibriumintotalthickness：Make:canhave：Takethetransformationlaw：Init,Cisconstant,isarbitrarypositivenumber.Thentheupperequationbecomes：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答在圆盘的中心（），。最大弹性位移发生在圆盘的边缘（）：二、变厚度圆盘在匀速转动中的应力及位移

假定圆盘的厚度为，而应力不沿厚度变化，则等厚度圆盘的微分方程可以近似地应用于每单位厚度的圆盘。于是可得全厚度内的平衡微分方程为：令：可得：

取厚度的变化规律为：其中是常数，为任意正数。则上式成为：*Solvingtheequationhave：inwhichAandBarearbitraryconstants,and：Thuscandeterminestresscomponents：Intermsofboundarycondition,get：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答解方程，得：其中和是任意常数，而：由此可得出应力分量：由边界条件，求得：*Inordertomakethatstressesarenotinfiniteonthecenterofdisc(r=0),take(B=0).Thuscanfindthestresscomponents:andhave：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答为了应力在圆盘的中心（）处不成为无限大，取。从而得应力分量为：且，有：*§4-9StressConcentrationclosebyCircularApertureForaplatewithaperture,thestressontheedgeofapertureisbyfarlargethanthatofwhichisimperforate,andalsobyfarlargethanthatofabitdistanceawayfromaperture,whichiscalledstressconcentrationontheedgeofaperture.Theextentofstressconcentrationrelatestotheshapeofaperture.Fig.4-10Generally,concentrationextentfortheedgeofcircularapertureisthelowest.Here,discusstheproblemofstressconcentrationontheedgeofcircularaperturesimply,andmorecomplexproblemonstressconcentrationontheedgeofapertureusecomplexvariablefunctiongenerally,whichisdiscussedinchap.5.POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*§4-9圆孔的孔边应力集中平面问题的极坐标解答

板中开有小孔，孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力，称为孔边应力集中。应力集中的程度与孔的形状有关。一般说来，圆孔孔边的集中程度最低。这里简略讨论圆孔孔边应力集中问题，较为复杂的孔边应力集中问题一般用复变函数方法，在第五章中进行讨论。图4-10*Assumethathasasmallcircularaperturewithradiusafarawayfromtheborderofrectangularsheetmetal,andbothleftandrightsidesofwhichareactedbyuniformtensionwithconcentrationextentq,Fig.4-10.Takeacertainlengthbasradiuswhichisbyfarlargethana,andworkoutacirclewiththecenterofapertureasthecenterofthecircle,thenintermsoftransformationformulabetweenrectangularandpolarcoordinates,gettheboundaryconditionsofgreatcircle：Evaluatethestressraisedbyfaceforce(a).Make.have：Abovefaceforcecandecomposetwosections,ofwhichthefirstsectionis：(a)Thesecondsectionis：(b)I、BothLeftandRightSidesofRectangularSlabActedbyUniformTensionwithConcentrationExtentqPOLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答

设有矩形薄板，在离开边界较远处有半径为的小圆孔，在左右两边受均布拉力，其集度为，如图4-10。

以远大于

的某一长度为半径，以小孔中心为圆心作圆，根据直角坐标与极坐标的变换公式，得到大圆的边界条件：求面力（a）所引起的应力。令：。得：上述面力可以分解成两部分，其中第一部分是：(a)第二部分是：(b)一、矩形板左右两边受集度为q的均布拉力*Dueto,cantakeapproximately,thusget:Evaluatethestressescausedbyfaceforce(b).Usinginversesolvingmethod：assumethatisonefunctionofrmultiplyingwith,whileisanotherfunctionofrmultiplyingwith.Have:Andtherelationbetweenstressfunctionsandstresscomponentshave：Thuscanassume：Substitutingintoconsistentequation,have：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答由于，所以可近似地取，从而得到解答：求面力（b）所引起的应力。采用半逆解法：假设为的某一函数乘以，而为的另一函数乘以。即：又应力函数和应力分量之间的关系为：因此可以假设：代入相容方程，得：*Cutoff,thensolvingordinarydifferentialequation,have：Thusgetstressfunction：Thusgetstresscomponents：Fromtheboundarycondition：getequation：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答删去，求解常微分方程，得：从而得应力函数：从而得应力分量：由边界条件：得到方程：*EvaluateA、B、C、D,andmake,get：Substituteknownquantityintotheexpressionsofstresscomponents,thusgetqierxi’key：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答求解、、、，令，得：将各已知量代入应力分量表达式，即得齐尔西的解答：*II、AllSidesofRectangularSlabActedbyUniformTensionIfrectangularsheetslabisactedbyuniformtensiononleftandrightsides,andbyuniformtensiononupperandlowersides,Fig.4-11,canalsogetstresscomponentsfrompriorsolution.Firstmakeqinthesolutionequal,thenmakeqinthesolutionequal,substitutefor,finally,superimposingtwosolutionshave：Fig.4-11POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答二、矩形板四边受均布拉力

如果矩形薄板在左右两边受有均布拉力，并在上下两边受有均布拉力，如图4-11，也可由前面解答得出应力分量。首先命该解答中的等于，然后命该解答中的等于，将用代替，最后将两个结果相叠加。得到：图4-11*§4-10ForceontheTopandtheFacesofWedgeFig.4-12Awedgewithcentralanglehasinfinitelowerend1.ConcentratedForcePActingontheTopAssumethatconcentratedforceactsonthetopofawedge,andhasananglewithcenterlineofthewedge.Fetchsectoronunitwidthtostudy,andassumethatforcePactsontheunitwidth.Stresscomponentsofarbitrarypointinawedgearedeterminedbyα、β、P、r、θ,thus,theexpressionsofstresscomponentsonlycontainthesevalues.POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*§4-10楔形体在楔顶或楔面受力平面问题的极坐标解答图4-12

楔形体的中心角为，下端为无限长。1.顶部受集中力P

设楔形体在楔顶受有集中力，与楔形体的中心线成角。取单位宽度的部分来考虑，并令单位宽度上所受的力为。

楔形体内一点的应力分量决定于α、β、P、r、θ，因此，应力分量的表达式中只包含这几个量。*Within,theamountsofα、β、θarenon-dimension,thusexpressionsofstresscomponentsoughttobedenotedbyPN/rwhereNcomposedofα、β、θisnon-dimension.Fromtheexpressionsofstressfunctioncanbeseenthatrinstressfunctionistwoexponentpowersthantheonesofeachstresscomponent,thuscanassume:Substitutingintoconsistentequation,has：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答代入相容方程后得：其中α、β、θ是无量纲的量，因此根据应力分量的量纲，应力分量的表达式应取PN/r的形式，其中N是α、β、θ组成的无量纲的量。由应力函数的表达式可以看出应力函数中r的幂次应当比各应力分量的幂次高出两次，因此可设：*Evaluatingthisdifferentialequation,gets：Thusgets：Within,havenoeffectonstresses,takes:POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答求解这一微分方程，得：不影响应力，取：其中于是得：*Boundaryconditionsofrightandleftfacesofawedge：Abovestresscomponentssatisfysuchboundaryconditions.concentratedforcePisdisposedasStVenantprinciple,andwhenfetcharbitrarycircularcylindricalsurfaceab,thestressesofthissectionandPcompositesequilibriumforcesystem：Substitutingtheexpressionof,thengetMichlekey：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答楔形体左右两面的边界条件：

上述应力分量满足该边界条件。集中力P按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力和P合成平衡力系：将的表达式代入，可求出C、D，最后得到密切尔解答：*2.CoupleMactingonthetopofawedgeFig.4-13Assumethatcoupleactsonthetopofawedge,andmomentofcoupleofunitwidthisM,Fig.4-13.Thesameasaboveanalysis,thestresscomponentissuchformasMN/r2,andstressfunctionisnothingtor.Substitutingintoconsistentequation,have：Evaluatethisdifferentialequation,andget：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答2.顶部受有力偶M作用图4-13

设楔形体在楔顶受有力偶，而每单位宽度内的力偶矩为M

，如图4-13。

根据和前面相似的分析，应力分量应为MN/r2的形式，而应力函数应与r无关。代入相容方程后，得：求解这一微分方程，得：*Boundaryconditionsofrightandleftfacesofawedge：Abovestresscomponentssatisfythefirstequationautomatically.Accordingtothesecondequation,get:Considercoupleasanti-symmetryforce,andnormalstressandstressfunctionas’soddfunction,thusA=D=0,then：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答楔形体左右两面边界条件：上述应力分量自动满足第一式，根据第二式，可得：

力偶可看成反对称力，正应力和应力函数应当是的奇函数，从而A=D=0,于是：*ConcentratedcoupleMisdisposedasStVenantprinciple,andwhenfetcharbitrarycircularcylindricalsurfaceab,thestressesofthissectionandMcompositesequilibriumforcesystem：FinallygetEnglishkey：Thus：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答

集中力偶M按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力与M成平衡力系：最后得到英格立斯的解答：于是：*Fig.4-14Assumethatuniformpressureqactsononefaceofawedge.Fig.4-14.StresscomponentoughttobetheformasqN,andstressfunctionoughttobetheformasqNr2:Substitutingintoconsistentequation,have：Evaluatingthisdifferentialequation,have:3.uniformpressure

qactingononefacePOLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答图4-14

设楔形体在一面受有均布压力,如图4-14。

应力分量应为qN的形式，而应力函数应为qNr2的形式：代入相容方程后，得：求解这一微分方程，得:3.一面受均布压力q*Boundaryconditions:Evaluatingtheconstants,getLevi’skeyforstresscomponents：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答边界条件为:求解常数，得应力分量的李维解答：*§4-11NormalConcentratedForcesontheBoundaryforSemi-planeBody（1）Orderthatcentralangleofawedgeequaltoaflatangle,thenconnectingtwosidesofthewedgetobeastraightedge,thewedgebecometobesemi-planebody.Fig.4-15.I、StressComponentsFig.4-15Usingcoordinatetransformcangetthestresscomponentexpressions(2)inrectangularcoordinates：(2)POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMSOntheboundaryofplanarbodyisactedbyPwhichisperpendiculartoit,andformichell’skeymake.SogetEqu.(1)：*§4-11半平面体在边界上受法向集中力平面问题的极坐标解答利用坐标变换可得到直角坐标中的应力分量式（2）：（1）（2）

命楔形体的中心角等于一个平角，这楔形体的两个侧边就连成一个直边，而楔形体就成为一个半平面体，如图4-15。一、应力分量

当平面体在边界上受有垂直于边界的力时，在密切尔解答中令、。于是得式（1）：图4-15*Orreplacingpolarcoordinateswithrectangularcoordinates,get：II、DisplacementComponentsAssumethatisplanarstresssituation.Substitutingstresscomponentsintophysicalequations,getdeformationcomponents：Thensubstitutingdeformationcomponentsintogeometricequations,have：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面问题的极坐标解答或将其中的极