不等式6道习题详细计算过程A3

不等式六道练习题详解过程步骤一.证明不等式：8xˣ≥x⁴+2x²+5※.函数单调性证明法对不等式证明进行分析，证明：8xˣ≥(x⁴+2x²+5)，即证明：ln8xˣ≥ln(x⁴+2x²+5),由两边同时取对数，变形为：ln8+xlnx-ln(x⁴+2x²+5)≥0,设f(x)=ln8+xlnx-ln(x⁴+2x²+5)，并取x＞0，可知：f(1)=ln8+0-ln(1+2+5)=ln8-ln8=0.对x求导有：f'(x)=lnx+1-(4x³+4x)/(x⁴+2x²+5),=lnx+[(x⁴+2x²+5-4x³-4x)/(x⁴+2x²+5)]，=lnx+[(x-1)(x³-3x²-x-5)/(x⁴+2x²+5)]，本处要用到一个重要不等式，对于任意的不相等正数a,b，有不等式(a-b)/(lna-lnb)≤(a+b)/2成立。本题取a=x，b=1，则有：(x-1)/(lnx-ln1)≤(x+1)/2,化简为：lnx≥2(x-1)/(x+1),代入有：f'(x)≥2(x-1)/(x+1)+[(x-1)(x³-3x²-x-5)/(x⁴+2x²+5)],=(x-1)[2*(x⁴+2x²+5)+(x+1)*(x³-3x²-x-5)]/[(x+1)(x⁴+2x²+5)],=(x-1)(3x⁴-2x³-6x+5)/[(x+1)(x⁴+2x²+5)],=(x-1)(3x⁴-2x³-x-5x+5)/[(x+1)(x⁴+2x²+5)],=(x-1)[(x-1)(3x³+x²+x)-5(x-1)]/[(x+1)(x⁴+2x²+5)],=(x-1)²(3x³+x²+x)-5]/[(x+1)(x⁴+2x²+5)],=(x-1)²(3x³+x²-4+x-1)/[(x+1)(x⁴+2x²+5)],=(x-1)²[(x-1)(3x²+4x+4)+x-1]/[(x+1)(x⁴+2x²+5)],=(x-1)³[(3x²+4x+4)+1]/[(x+1)(x⁴+2x²+5)],=(x-1)³(3x²+4x+5)/[(x+1)(x⁴+2x²+5)],1.当x≥1时，f'(x)≥0，2.当0＜x＜1时，f'(x)＜0，所以当x=1时，f(x)有最小值，即：ln8+xlnx-ln(x⁴+2x²+5)≥f(1)=0,综上，8xˣ≥x⁴+2x²+5得证。二.比较A=9.5868×3.23437，B=9.5867×3.23438的大小通过用逐差法、比商法等两种方法，介绍本题中两个数A和B的大小。思路一：逐差法A-B=9.5868×3.23437-9.5867×3.23438=(9.5867+0.0001)×3.23437-9.5867×(3.23437+0.00001)=9.5867×3.23437+0.0001×3.23437-9.5867×3.23437-9.5867×0.00001=0.0001×3.23437-9.5867×0.00001=0.00001*(32.3437-9.5867)>0所以A>B,即：9.5868×3.23437>9.5867×3.23438。思路二：比商法A/B=9.5868×3.23437/9.5867×3.23438=(9.5867+0.0001)(3.23438-0.00001)/9.5867×3.23438=[9.5867×3.23438+0.00001×(32.3438-9.5867-0.0001)]/9.5867×3.23438=1+0.00001×(32.3438-9.5868)/9.5867×3.23438∵32.3438-9.5868>0,∴A/B>1,即：9.5868×3.23437>9.5867×3.23438。三.证明不等式：142xˣ≥x⁴+69x²+72※.函数单调性证明法对不等式证明进行分析，证明：142xˣ≥(x⁴+69x²+72)，即证明：ln142xˣ≥ln(x⁴+69x²+72),由两边同时取对数，变形为：ln142+xlnx-ln(x⁴+69x²+72)≥0,设f(x)=ln142+xlnx-ln(x⁴+69x²+72)，并取x＞0，可知：f(1)=ln142+0-ln(1+69+72)=ln142-ln142=0.对x求导有：f'(x)=lnx+1-(4x³+138x)/(x⁴+69x²+72),=lnx+[(x⁴+69x²+72-4x³-138x)/(x⁴+69x²+72)]，=lnx+[(x-1)(x³-3x²+66x-72)/(x⁴+69x²+72)]，本处要用到一个重要不等式，对于任意的不相等正数a,b，有不等式(a-b)/(lna-lnb)≤(a+b)/2成立。本题取a=x，b=1，则有：(x-1)/(lnx-ln1)≤(x+1)/2,化简为：lnx≥2(x-1)/(x+1),代入有：f'(x)≥2(x-1)/(x+1)+[(x-1)(x³-3x²+66x-72)/(x⁴+69x²+72)],=(x-1)[2*(x⁴+69x²+72)+(x+1)*(x³-3x²+66x-72)]/[(x+1)(x⁴+69x²+72)],=(x-1)(3x⁴-2x³+201x²-6x+72)/[(x+1)(x⁴+69x²+72)],设g(x)=3x⁴-2x³+201x²-6x+72,进行配方有：g(x)=3(x⁴-2x³/3+x²/9)+201x²-x²/3-6x+72=3(x²-x/3)²+602x²/3-6x+72=3(x²-x/3)²+602/3*(x²-18x/602+9²/602²)+72-27/602,=3(x²-x/3)²+602/3*(x-9/602)²+(72*602-27)/602,可知g(x)＞0，则：1.当x≥1时，f'(x)≥0，2.当0＜x＜1时，f'(x)＜0，所以当x=1时，f(x)有最小值，即：ln142+xlnx-ln(x⁴+69x²+72)≥f(1)=0,综上，142xˣ≥x⁴+69x²+72得证。四.含自然数2201有关的三组数大小比较本文介绍与自然数2201有关的三组数大小比较的具体方法和步骤。第一组:比较2201^2202与2202^2201的大小具体过程如下：设:y=lnx/x,且x≥3,则:y'=(1-lnx)/x^2,∵x≥3，∴1-lnx<0,即:y为单调减函数。对于本题：∵2201<2202,∴ln2201/2201>ln2202/2202，即：2202*ln2201>2201*ln2202，ln2201^2202>ln2202^2201，所以：2201^2202>2202^2201。第二组:比较2201*2202与2203*2200的大小使用代数式差法比较：2201*2202-2203*2200=2201*(2201+1)-(2201+2)(2201-1)=2201^2+2201-(2201^2+2201-2)=2201^2+2201-(2201^2+2201)+2=2>0.所以：2201*2202>2203*2200。第三组:比较3^2201与2^2202的大小具体过程如下：设:y=3^n-2^(n+1),且n≥2,则利用数学归纳法有：(1)当n=2时，y(2)=3^2-2^3=1>0(2)假设n=k时，有y(k)=3^k-2^(k+1)>0成立，则当n=k+1时需证明3^(k+1)-2^(k+2)>成立，左边=3^(k+1)-2^(k+2)=3[3^(k+1)-2^(k+1)]+4*2^(k+1)-2^(k+2),=3[3^(k+1)-2^(k+1)]+2*2^(k+1),>0+2*2^(k+1)>0,得证。即有：3^2201>2^2202。五.解不等式|x-213|-|x-137|>95通过零点去绝对值法，介绍绝对值不等式|x-213|-|x-137|>95的计算步骤。解：找到绝对值的两个零点137,213,将数轴分成三部分，去绝对值讨论如下：(1)当x≥213时，此时两个绝对值均为正数，有：x-213-x+137>95,即-76>95;此时矛盾，不等式无解。(2)当x≤137时，此时两个绝对值均为负数，有：213-x+x-137>95,即76>95；此时矛盾，不等式无解。(3)当137<x<213时，此时两个绝对值一正一负，有：213-x-x+137>95,即:213+137-2x>95,2x<255,x<255/2，此时矛盾，不等式无解。综上：不等式无解。六.解不等式练习题1.利用不等式的性质解下列不等式：(1)x-19＞36；(2)26x＜25x+11；(3)eq\f(4,5)x＞40;(4)-13x＞89.2.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1)x+83＞-109；(2)72x＜17x-18；(3)eq\f(1,42)x＜eq\f(293,294);(4)-120x＞40.3.用不等式表示下列题意并写出解集，并在数轴上表示解集：(1)y的2倍大于或等于90；(2)x与289的差不大于0；(3)y与31的和不小于24；(4)x的eq\f(5,6)小于或等于-16.解不等式练习题参考答案：1.(1)x＞55；(2)x＜11；(3)x＞50；(1)x＜-eq\f(89,13).2.(1)x＞-192：-1920x(2)x＜-eq\f(18,55)：0-eq\f(18,55)x0-eq\f(18,55)x(3)x＜eq\f(293,7)：0eq\f(293,7)x(4)x＜-eq\f(1,3)：0x-eq\f(1,3)3.(1)不等式为：2y≥90，不等式解集为：y≥eq\f(45,1)。0eq\f(45,1)x(2)不等式为：x-289≤0，不等式解集为：x≤289。0289