第六章 圆 第1节 与圆有关的概念及性质 学案（含答案）2025年中考数学人教版一轮复习

第1节与圆有关的概念及性质回归教材·过基础【知识体系】【考点清单】知识点1圆的有关概念及性质常考圆的定义动态:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作圆,其固定的端点O叫作圆心,线段OA叫作半径.静态:到定点的距离等于定长的所有点的集合叫作圆同心圆圆心相同、半径不等的圆叫作同心圆等圆能够重合的两个圆叫作等圆(半径相等)半圆圆分成两条相等的弧,每一条弧都叫作半圆弧圆上任意两点间的部分叫作圆弧,简称弧,大于半圆的弧叫作优弧,小于半圆的弧叫作劣弧弦连接圆上任意两点的线段叫作弦直径经过圆心的弦叫作直径弦心距圆心到弦的距离叫作弦心距圆心角顶点在①的角叫作圆心角

圆周角顶点在圆上,并且两条边都与圆相交的角叫作圆周角圆的性质对称性;旋转不变性易错警示在运用圆周角定理时,一定要注意“在同圆或等圆中”的条件一条弦对应两条弧,对应两个圆周角且这两个圆周角互补一条弧只一个圆心角,但却对应着无数个圆周角知识点2垂径定理及其推论轮考1.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.2.推论:平分弦(不是直径)的直径②于弦,并且平分弦所对的两条弧.知识点3弧、弦、圆心角之间的关系常考1.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧③,所对的弦④.2.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等.3.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等.知识点4圆周角定理及其推论常考1.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对圆心角的⑤.2.圆周角定理的推论(1)推论一:同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.(2)推论二:半圆(或直径)所对的圆周角是⑥,90°的圆周角所对的弦是直径.(3)推论三:圆内接四边形的对角⑦.知识点5圆的内接多边形常考1.定义:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫作这个圆的内接多边形,这个圆叫作这个多边形的外接圆.2.三角形的外心:三角形⑧的圆心叫作这个三角形的外心.3.外心的性质:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.三角形的外心是三角形三边⑨的交点.4.确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定一个圆.5.圆内接四边形的对角互补.技巧提示圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角).【基础演练】1.如图,四边形ABCD内接于☉O,过点B作BE∥AD,交CD于点E.若∠BEC=50°,则∠ABC的度数是()A.50° B.100° C.130° D.150°2.如图,AD是☉O的直径,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB,连接CD,交OB于点E,∠BOC=42°,则∠OED的度数是()A.61° B.63°C.65° D.67°3.(2024·泉州模拟)如图,在四边形ABCD中,AC=AD,∠ABD=90°,过A,B,D三点的圆与CD交于点E.(1)求证:E是CD的中点.(2)若CD=2BC,求证:∠BCD=2∠ADB.真题精粹·重变式考向1圆周角定理及其推论1.(2020·福建)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=CD,A为BD的中点,∠BDC=60°,则∠ADB等于()A.40°B.50°C.60°D.70°热点训练2.如图,等边△ABC的顶点A在☉O上,边AB,AC与☉O分别交于点D,E,F是弧DE上一点,且与点D,E不重合,连接DF,EF,则∠DFE的度数为()A.115° B.118° C.120° D.125°考向2圆性质综合运用3.(2019·福建)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=AC,BD⊥AC,垂足为E,点F在BD的延长线上,且DF=DC,连接AF,CF.(1)求证:∠BAC=2∠DAC.(2)若AF=10,BC=45,求tan∠BAD的值.热点训练4.如图1,四边形ABCD内接于☉O,AC为直径,DE⊥AB交AB于点E,交☉O于点F.(1)延长DC,FB相交于点P,求证:PB=PC.(2)如图2,过点B作BG⊥AD于点G,交DE于点H,连接BD.若AB=3,DH=1,∠OHD=80°,求∠EDB的度数.考向3垂径定理及其应用热点训练5.如图,若AB是☉O的弦,OC⊥AB,垂足为C,OD∥AB,OC=12OD,则∠ABD的度数为()A.90°B.95°C.100°D.105°参考答案回归教材·过基础考点清单①圆心上②垂直③相等④相等⑤一半⑥直角⑦互补⑧外接圆⑨中垂线基础演练1.C2.B3.证明:(1)如图,连接AE.∵A,B,D三点共圆,且∠ABD=90°,∴AD为直径,∴∠AED=90°,即AE⊥CD.又∵AC=AD,∴CE=DE,即E是CD的中点.(2)如图,连接BE.∵CD=2BC,CE=DE,∴CB=CE,∴∠CEB=∠CBE,则∠BCD=180°-∠CEB-∠CBE=180°-2∠CEB.又∵∠AEB=∠AEC-∠CEB=90°-∠CEB,∴∠BCD=2∠AEB.∵AB=AB,∴∠AEB=∠ADB,∴∠BCD=2∠ADB.真题精粹·重变式1.A2.C3.解析:(1)证明:∵BD⊥AC,∴∠AED=90°.在Rt△AED中,∠ADE=90°-∠CAD.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=∠ADE.在△ABC中,∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-2∠ADE=180°-2(90°-∠CAD)=2∠CAD.(2)∵DF=DC,∴∠BFC=12∠BDC=1由(1)得∠DAC=12∴∠BFC=∠FBC,∴CB=CF.又∵BD⊥AC,∴AC是线段BF的中垂线,AB=AF=AC=10.又∵BC=45,设AE=x,则CE=10-x,∴AB2-AE2=BC2-CE2,100-x2=80-(10-x)2,解得x=6,∴AE=6,CE=4,BE=8.∵∠DAE=∠CBE,∠ADE=∠BCE,∴△ADE∽△BCE,∴DE=AE·CEBE=6×4如图,作DH⊥AB,垂足为H,则DH=BD·sin∠ABD=11×35=33BH=BD·cos∠ABD=11×45=44∴AH=AB-BH=10-445=6∴tan∠BAD=DHAH=336=4.解析:(1)证明:∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°.又∵DE⊥AB,∠DEA=90°,∴∠DEA=∠ABC,∴BC∥DF,∴∠F=∠PBC.又∵四边形BCDF是圆内接四边形,∴∠F+∠DCB=180°.又∵∠PCB+∠DCB=180°,∴∠F=∠PCB,∴∠PBC=∠PCB,∴PC=PB.(2)如图,连接OD.∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°.又∵BG⊥AD,∴∠AGB=90°,∴∠ADC=∠AGB,∴BG∥DC.又∵BC∥DF,DH=1,∴四边形BCDH为平行四边形,∴BC=DH=1.在Rt△ABC中,AB=3,tan∠ACB=ABBC=3∴∠ACB=60°,∴BC=12在等腰△DOH中,∠DO