第六章 圆 第2节 与圆有关的位置关系 学案（含答案）2025年中考数学人教版一轮复习

第2节与圆有关的位置关系回归教材·过基础【知识体系】【考点清单】知识点1点与圆的位置关系点与圆的位置关系图形d与r的大小点A在圆O内d=OA<r点B在圆O上d=OB=r点C在圆O外d=OC>r知识点2直线与圆的位置关系常考1.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系相交相切相离图形d与r的大小d<rd=rd>r公共点名称交点切点无直线名称割线切线无2.切线的性质与判定性质定理圆的切线垂直于过切点的半径推论1.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点2.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心切线的判定1.和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线2.如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径,那么这条直线是圆的切线3.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线3.切线长定理(1)切线长:如图,过圆外一点P,有两条直线PM,PN分别与☉O相切,点P和切点之间线段的长叫作这点到圆的切线长.(2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.知识点3三角形的内心和外心1.三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫作三角形的外心.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等.2.三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心.三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等,且在三角形内部.【基础演练】1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8.以点A为圆心,r为半径作圆,当点C在☉A内且点B在☉A外时,r的值可能是()A.6 B.8 C.10 D.122.如图,这是“光盘行动”的宣传海报,图中筷子与餐盘可看成直线和圆,它们的位置关系是()A.相切 B.相交 C.相离 D.平行3.平面内,☉O的半径为5,若直线l与☉O相离,则圆心O到直线l的距离可能是()A.6 B.5 C.4 D.34.(2024·三明二模)如图,在△ABC中,AB=AC,边BC与☉A相切于点D,边AB,AC与☉A分别交于点M,N.求证:DM=DN.真题精粹·重变式1.(2024·福建)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为AB的中点,则∠ACM等于()A.18°B.30°C.36°D.72°2.(2021·福建)如图,AB为☉O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与☉O相切,切点分别为C,D.若AB=6,PC=4,则sin∠CAD等于()A.32 B.23 C.343.(2019·福建)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,点C在☉O上,且∠ACB=55°,则∠APB等于()A.55°B.70°C.110°D.125°4.(2023·福建)如图,已知△ABC内接于☉O,CO的延长线交AB于点D,交☉O于点E,交☉O的切线AF于点F,且AF∥BC.(1)求证:AO∥BE.(2)求证:AO平分∠BAC.5.(2020·福建)如图,AB与☉O相切于点B,AO交☉O于点C,AO的延长线交☉O于点D,E是BCD上不与点B,D重合的点,sinA=12(1)求∠BED的度数.(2)若☉O的半径为3,点F在AB的延长线上,且BF=33,求证:DF与☉O相切.核心突破·拓思维考点切线的判定如图,在△ABC中,CA=CB,O为AB上一点.以O为圆心,OB长为半径的☉O过点C,交AB于另一点D,若D是OA的中点,求证:AC是☉O的切线.由CA=CB⇨可得∠A=∠B⇨可证△AOC≌△BDC⇨∠ACO=∠BCD=90°⇨即可得AC是☉O的切线核心方法证明直线与圆相切常见情形(1)已知半径,证垂直;(2)已知垂直,证半径;(3)半径、垂直都不知,作垂线试一试.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,∠A=60°.点E在AB延长线上,BE=OB.过点E作ED⊥AC,交AC的延长线于点D.求证:DE是☉O的切线.如图,△ABC为☉O内接三角形,∠B=2∠A,点M为直径AB上一点,过点M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,EF=FC.(1)求证:CF是☉O的切线.(2)设☉O的半径为2,且AC=CE,求AM的长.参考答案回归教材·过基础基础演练1.B2.B3.A4.证明:连接AD,如图所示.∵BC与☉A相切于点D,∴AD⊥BC.∵AB=AC,∴∠BAD=∠CAD,∴DM=DN.真题精粹·重变式1.A2.D3.B4.证明:(1)∵AF是☉O的切线,∴AF⊥OA,即∠OAF=90°.∵CE是☉O的直径,∴∠CBE=90°,∴∠OAF=∠CBE.∵AF∥BC,∴∠BAF=∠ABC,∴∠OAF-∠BAF=∠CBE-∠ABC,即∠OAB=∠ABE,∴AO∥BE.(2)∵∠ABE与∠ACE都是EA所对的圆周角,∴∠ABE=∠ACE.∵OA=OC,∴∠ACE=∠OAC,∴∠ABE=∠OAC,由(1)知∠OAB=∠ABE,∴∠OAB=∠OAC,∴AO平分∠BAC.5.解析:(1)如图1,连接OB.图1∵AB与☉O相切于点B,∴∠ABO=90°.∵sinA=12∴∠A=30°,∴∠BOD=∠ABO+∠A=120°,∴∠BED=12(2)证明:如图2,连接OF,OB.图2∵AB是切线,∴∠OBF=90°.∵BF=33,OB=3,∴tan∠BOF=BFOB=3∵∠BOD=120°,∴∠BOF=∠DOF=60°.在△BOF和△DOF中,OB=OD∴△BOF≌△DOF(SAS),∴∠OBF=∠ODF=90°,∴DF与☉O相切.核心突破·拓思维例证明:如图,连接OC,CD.∵CA=CB,∴∠A=∠B.∵BD是直径,∴∠BCD=90°.∵D是OA的中点,∴AD=OD.又OB=OD,∴AO=BD,∴△AOC≌△BDC(SAS),∴∠ACO=∠BCD=90°,∴OC⊥AC.∵C为半径OC的外端点,∴AC是☉O的切线.变式1证明:如图,过点O作OF⊥DE于点F.∵ED⊥AC,∴∠D=90°.又∵∠A=60°,∴∠E=30°,∴OF=12∵BE=OB,∴OB=12∴OF=OB,则点F在☉O上,∴DE是☉O的切线.变式2解析:(1)证明:如图,连接OC.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又∵∠B=2∠A,∴∠B=60°,∠A=30°,∵EM⊥AB,∴∠EMB=90°.在Rt△EMB中,∠B=60°,∴∠E=30°.又∵EF=FC,∴∠ECF=∠E=30°.又∵∠ECA=90°,∴∠FCA=60°.∵OA=OC,∴∠OCA=∠A=30°,∴∠FCO=∠FCA+∠ACO=90°,∴OC⊥CF,∴F