《高等数学 》课件-第5章

5.1定积分的概念5.2微积分基本公式5.3定积分的积分法5.4广义积分5.5定积分的应用5.6用MATLAB计算积分第5章定积分及其应用

5.1定积分的概念

5.1.1引例

在初等数学中，已经学过计算一些规则多边形及圆形的面积，至于计算由多条曲线所围成的平面图形的面积，则没有提到过.

任意多条曲线围成的平面图形，总可以用一些互相垂直的直线把它分解成若干个曲边梯形，参见图5-1.所以求这种封闭曲线的面积问题就归结为求曲边梯形的面积问题.

图5-1所谓曲边梯形是指三边为直线(其中有两边相互平行)，一边为曲线所围成的图形.例如在直角坐标系中，由曲线y=f(x),直线x=a、x=b及x轴所围成的图形AabB,如图5-2(a)所示.

任意曲线所围成的平面图形面积的计算，依赖于曲边梯形面积的计算.因此，在这里讨论曲边梯形面积的计算问题.图5-2实例5-1曲线梯形的面积.

如图5-2(a)所示的曲线梯形,由曲线y=f(x)[f(x)>0],直线x=a、x=b与x轴所围成，其面积怎样求呢？我们设想：把该曲边梯形沿着x轴方向切割成许多窄窄的小曲边梯形，如图5-2(b)所示，把每个小曲边梯形近似看做一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值.分割越细，误差越小，于是当所有的小曲边梯形宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.上述思路的具体实施可分为下述四步：

(1)分割.任取分点a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b,

把区间[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi](i=1,2,…,n),小区间长度记为Δxi=xi-xi-1(i=1,2,…,n).

(2)取近似值.在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi,则得小曲边梯形面积ΔAi的近似值为

ΔAi≈f(ξi)Δxi,i=1,2,…,n

(3)求和.把n个小矩形面积相加就得到曲边梯形面积A的近似值：

(4)取极限.当分割无限加细，则子区间的最大长度λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}趋近于零(λ→0)时，上述和式的极限就是曲边梯形面积的精确值，即实例5-2变速直线运动的路程.

设某物体作直线运动，已知速度v=v(t)是时间间隔[T1,T2]上的连续函数，且v(t)≥0,要计算物体在时间段[T1,T2]所走的路程s.

如果是匀速直线运动，则路程s=v(T2-T1).若v(t)是变速，则路程就不能用匀速直线运动的公式来求得，解决这个问题的思路和步骤与求曲边梯形面积相似.

(1)分割.任取分点T1=t0<t1<t2<…<tn-1<tn=T2,把[T1,T2]分成n个小区间，每个小区间长为

Δti=ti-ti-1,i=1,2,…,n

(2)取近似.把每个小区间[ti-1,ti]上的运动视为匀速，任取一时刻ξi∈[ti-1,ti],以速度v(ξi)代替时间[ti-1,ti]上各个时间的速度，作乘积v(ξi)Δti,显然该小段时间所走路程Δsi可近似表示为Δsi≈v(ξi)Δti(i=1,2,…,n)；

(3)求和.把所有这些近似值相加，就得到总路程s的近似值，即

(4)取极值.当时，上述总和的极限就是s的精确值，即5.1.2定积分的定义

上面两个实例尽管实际意义不同，但是解决的方法是完全一样的，都归结为求“和式的极限”.在科学技术上还有许多问题也都归结为这种特定和式的极限,为此概括出如下的定义.

定义5.1设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点

a=x0<x1<x2<…<xi<xi-1<…<xn-1<xn=b

把区间[a,b]分成n个小区间，在[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi),作乘积

f(ξi)Δxi,i=1,2,…,n并求和

记

(i=1,2,…,n).如果当λ→0时，上述和式的极限存在，且此极限与区间[a,b]的分法以及点ξi的取法均无关，则称函数f(x)在区间[a,b]上是可积的；并称此极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作,即

其中,f(x)称为被积函数；f(x)dx称为被积表达式；x称为积分变量；[a,b]称为积分区间；a、b分别称为积分下限和积分上限.说明:

(1)定积分是一个和式的极限，其结果是一个定值，它只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关.即

(2)若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积.

(3)在定义5.1中，我们假设a<b,而对于a=b及a>b的情况补充如下规定：

(4)根据定积分的定义，设a<b,且对于任意x∈(a,b)都有f(x)≤g(x),那么

(5)根据定积分的定义，5.1.1小节中的两个实例都可以表示为定积分的形式:

曲边梯形面积A是曲边函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，即

变速直线运动的路程s是速度函数v(t)在时间间隔[T1,T2]上的定积分，即5.1.3定积分的几何意义

从定积分的定义知道，如果在[a,b]上f(x)≥0,则定积

表示由连续曲线y=f(x)与直线x=a、x=b、y=0所围成的曲边梯形的面积A1，如图5-3(a)所示,即

如果在[a,b]上f(x)<0,因为和式的各项都小于零，所以,这时它等于由曲线y=f(x)与直线x=a、x=b、y=0所围成的曲线梯形的面积A2(参见图5-3(b))的相反数，即图5-3如果函数f(x)在[a,b]上有正有负，那么，定积分

等于曲线y=f(x)与直线x=a、x=b、y=0围成各部分图形面积的代数和(位于x轴上方的取正，位于x轴下方的取负).

如图5-4所示，有

其中,A1、A2、A3分别表示图5-4中所示阴影部分的面积.图5-4例5-1用定积分表示图5-5中所示各阴影部分的面积.

解根据定积分的几何意义，得

(1)在图5-5(a)中，.

(2)在图5-5(b)中，.

例5-2利用定积分的几何意义求下列定积分的值：图5-5解(1)如图5-6(a)所示，定积分.

(2)如图5-6(b)所示，由定积分的几何意义可知，

等于图中两直角三角形面积A1、A2的代数和，其中A1取负号,A2取正号.又因为A1=A2=

,故图5-6

(3)如图5-6(c)所示，定积分表示以原点为圆心、1为半径的圆面积的(图中带交叉斜线的阴影部分),故

而等于该圆面积的(图中带单斜线与带交叉斜线两部分组成的半圆)，故于是，得5.1.4定积分的性质

为了理论与计算的需要，我们介绍定积分的基本性质.在下面的论述中，假定有关函数都是连续的.

性质5.1函数的代数和可逐项积分，即

性质5.2被积分函数的常数因子可提到积分号外面，即k为常数性质5.3(积分区间的分割性质)若a<c<b,则

注:对于a、b、c三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，比如a<b<c,则

仍有性质5.4(积分的比较性质)若f(x)≤g(x),x∈[a,b],则

上述几条性质，均可由定积分定义证得(证明从略).

性质5.5(积分估值性质)设M与m分别是f(x)在[a,b]上的最大值与最小值，则

证明因为m≤f(x)≤M(题设),由性质5.4得

；再将常数因子提出，并利用

即可得证.性质5.6(积分中值定理)如果f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b],使得

证明将性质5.5中不等式除以b-a,得设,即m≤μ≤M.由于f(x)在[a,b]区间上是连续函数，所以它能取到介于其最小值与最大值之间的任何一个数值(连续函数的介值定理).因此在[a,b]上至少有一点ξ,使用f(ξ)=μ,即

从而有积分中值定理有明显的几何意义：曲线y=f(x)在[a,b]底边上所围成的曲边梯形面积，等于同一底边而高为f(ξ)的一个矩形面积,如图5-7所示.

从几何角度容易看出，数值表示连续曲线y=f(x)在[a,b]上平均高度，也就是函数f(x)在[a,b]上的平均值，这是有限个数的平均值概念的拓广.实训5.1

1.填空题.

(1)定积分中,积分上限是————,积分下限是————,积分区间是————.

(2)由曲线y=lnx与直线x=1、x=e及x轴转成的曲边梯形的面积，用定积分表示为—————.

2.根据定积分的几何意义，求下列各式的值.

5.2微积分基本公式

定积分作为一种特定和式的极限，直接按定义来计算是一件十分复杂的事.下面通过对定积分与原函数关系的讨论，导出一种计算定积分的简便、有效的公式——牛顿-莱布尼茨公式.

设物体以速度v=v(t)作直线运动，计算[T1,T2]时间内的路程s.

从定积分概念出发，由前面已讨论的结果可知[T1,T2]所经过的路程为若从不定积分概念出发，则

其中,s′(t)=v(t).于是[T1,T2]时间内物体所走路程就是s(T2)-s(T1).

综合上述两个方面，得到

这个等式表明,速度函数v(t)在[T1,T2]上的定积分等于其原函数s(t)在区间[T1,T2]上的改变量.那么，这一结论有没有普遍的意义呢？若有，则将大大地简化了定积分的计算.5.2.1变上限的定积分

我们先来介绍一类函数——变上限积分函数.

设函数f(x)在[a,b]上连续，x∈[a,b],于是积分是一个定数，这种写法有一个不方便之处，就是x既表示积分上限，又表示积分变量.为避免混淆，我们把积分变量改写成t,于是这个积分就写成了.显然，当x在[a,b]上变动时，对应于每一个x值，积分

就有一个确定的值，因此是变上限x的一个函数，记作Φ(x),即

通常称函数Φ(x)为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图5-8所示.如等均属变上限积分函数.,

a≤x≤b图5-8定理5.1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则变上限积分Φ(x)=xaf(t)dt在区间[a,b]上可导，且其导数

该定理证明从略.

由Φ′(x)=f(x)知，Φ(x)是f(x)的一个原函数，从而有如下推论：

推论连续函数的原函数一定存在.

这样就解决了上一章留下来原函数的存在问题.,

a≤x≤b

5.2.2牛顿-莱布尼茨公式

定理5.2设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，又F(x)是f(x)的任一原函数，则有

证明由定理5.1知，变上限积分

也是f(x)的一个原函数，于是

Φ(x)-F(x)=C0,C0为一常数

即我们来确定常数C0的值.令x=a,有=F(a)+C0,得C0=-F(a).因此有=F(x)-F(a).

再令x=b,得所求积分为

因为积分值与积分变量的记号无关，所以仍用x表示积分变量，即得其中F′(x)=f(x),上式称为牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式，也称为微积分基本公式.该公式可叙述为：定积分的值

等于其原函数在积分上、下限处值的差.该公式在定积分与原函数这两个本来似乎并不相干的概念之间建立起了定量关系，从而为定积分计算找到了一条简捷的途径.它是整个积分学中最重要的公式.

为计算方便，上述公式常写成下面的形式：例5-4计算定积分.

解因为是x3的一个原函数，所以按牛顿-莱布尼茨公式，有

例5-5计算定积分

解由于arctanx是的一个原函数，所以例5-6计算定积分.

解将被积函数中的绝对值符号去掉，变成分段函数

于是例5-7计算定积分

解因为是的一个原函数，所以该题的计算是错误的.这是因为函数在区间[-1,1]有一个无穷间断点x=0,牛顿-莱布尼茨公式的条件不成立.值得指出的是，有了牛顿-莱布尼茨公式后，求定积分的问题就转化为求原函数的问题了,但在应用此公式时，一定要注意验证公式成立的条件是否满足，否则就不能保证所得结论是正确的.实训5.2

1.计算下列各定积分.

5.3定积分的积分法

与不定积分的基本积分方法相对应，定积分也有换元法和分部积分法.利用这两种方法，可简化定积分的计算.

5.3.1换元积分法

一般地，定积分的换元法可叙述如下：

设f(x)在[a,b]上连续，而x=φ(t)满足下列条件：

(1)x=φ(t)在[α,β]上有连续的导数；

(2)φ(α)=a,φ(β)=b,且当t在[α,β]内变化时，x=φ(t)在[a,b]上变化，并不超出[a,b]，则有换元公式定积分应用换元法时，应注意：换元必须换限，原上限对应新上限，原下限对应新下限，千万不能张冠李戴.

定积分与不定积分相比较，相同之处是换元，不同之处是定积分换元要换限，不必回代.

例5-8求解设=t,则x=t2,于是有例5-9求

解设,则x=ln(1+t2),

,于是有5.3.2分部积分法

定积分的分部积分法叙述如下：

设u=u(x)和v=v(x)在[a,b]上有连续导数，则有

即把先积出来的那一部分代入上、下限求值，余下的部分继续积分，这样做比完全把原函数求出来，再代入上、下限计算要简便.实训5.3

5.4广义积分

前面讨论的定积分是以有限区间与有界函数为前提的，但是在实际问题中，往往需要突破这两个限制，把定积分概念从这两个方面加以推广，形成了广义积分.相应地，前面讨论的定积分也称为常义积分.5.4.1无穷区间上的广义积分

定义5.2设函数f(x)在[a,+∞]上连续，取b>a,我们把

称为f(x)在[a,+∞]上的广义积分，记为

若该极限存在，则称广义积分收敛；若该极限不存在，则称广义积分发散.类似地，有广义积分

f(x)在(-∞,+∞)上的广义积分定义为

其中，c为任意实数.当上式右端两个广义积分都收敛时，广义积分才是收敛的，否则它是发散的.实训5.4

5.5定积分的应用

5.5.1平面图形的面积

根据定积分的几何意义，可以求出下面几种类型平面图形的面积.

(1)由连续曲线y=f(x)与直线x=a、x=b(a<b)及x轴所围成的平面图形面积.

①若f(x)≥0,则所围成的平面图形面积为参见图5-9.

②若f(x)≤0,则所围成的平面图形面积为

参见图5-10.图5-9图5-10③若f(x)在积分区间[a,b]内既有取正值的部分，也有取负值的部分，则所围成的平面图形面积为

或,参见图5-11.

综上所述，由连续曲线y=f(x)与直线x=a、x=b(a<b)及x轴所围成的平面图形的面积为.

类似地，由连续曲线x=φ(y)与直线y=a、y=b(a<b)及y轴所围成的平面图形的面积为,参见图5-12.图5-11图5-12

(2)由连续曲线y=f(x)、y=g(x)与直线x=a、x=b(a<b)所围成的平面图形面积.

设曲线y=f(x)位于曲线y=g(x)的上方，则其面积为,或

(参见图5-13).

公式对于图5-14所示的情况也成立.事实上，如果函数值在区间[a,b]内不全为正，可将x轴往下平移一段，使区间[a,b]内的曲线都位于x轴的上方.这里将两个函数同增加一个常数d,它们的差[f(x)+d]-[g(x)+d]=f(x)-g(x)不变，从而得证.

图5-13图5-14

(3)由连续曲线x=φ(y)、x=ψ(y)与直线y=a、y=b(a<b)所围成的平面图形面积.

设曲线x=φ(y)位于曲线x=ψ(y)的右侧，则其面积为

,或

(参见图5-15).图5-15例5-19求在区间[0,π]上由曲线y=sinx、y=cosx、x=0、x=π之间所围成的平面图形面积.

解曲线y=sinx与y=cosx的交点坐标为,如图5-16所示,于是所求面积为

在计算平面图形的面积时，恰当地选择积分变量有利于问题的解决.图5-16例5-20求由曲线2y2=x与所围成的平面图形面积.

解先画出它的草图，如图5-17所示.解方程组得两条曲线的交点坐标M(2,-1)、N(8,2).选y为积分变量，于是面积图5-17注意：如果选x为积分变量，则所求面积

这时所求面积需要分块计算，显然计算较繁.例5-21求由曲线与y=x、x=3所围成的平面图形面积.

解先画出它的草图，如图5-18所示，易求得交点M的横坐标x=1.选x为积分变量，于是面积A为

如果选y为积分变量，那么它的表达式就比上式复杂.图5-18例5-22求椭圆所围成的图形面积.

解因为所围图形关于x轴、y轴对称，如图5-19所示，所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的4倍，即

令x=asint,由定积分的换元法，得图5-195.5.2旋转体的体积

一平面图形绕此平面内一条直线旋转一周而形成的立体称为旋转体；这条直线称为旋转体的旋转轴.

设由连续曲线y=f(x),直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周，得到一旋转体(参见图5-20)，求此旋转体的体积Vx.

任取x∈[a,b]，用过点x且垂直于x轴的平面去截此旋转体，得到的截面是一个以|y|=|f(x)|为半径的圆面，因此，截面面积为A(x)=π·[f(x)]2,于是旋转体的体积公式为类似地可求得由曲线x=g(y)与直线y=c、y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而形成的旋转体体积公式为(参见图5-21).图5-20图5-21例5-23求由椭圆分别绕x轴和y轴旋转而形成的旋转体体积(参见图5-22).

解绕x轴旋转时，得

绕y轴旋转时，得

当a=b时，得球体的体积为图5-22图5-23例5-24求由y=x2、y=x所围成的平面图形绕y轴旋转而形成的旋转体体积(参见图5-23).

解该旋转体的体积等于曲边梯形ONPB绕y轴旋转而形成的旋转体体积V1减去直角三角形OPB绕y轴旋转而形成的圆锥体体积V2.

解方程组得交点O(0,0)和P(1,1).由旋转体的体积公式得故旋转体的体积

Vy=V1-V2=*5.5.3其他应用举例

1.求功

例5-25由胡克定律知，把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长量成正比.现用1N的力能使弹簧伸长0.01m,求把弹簧拉长0.1m所做的功.

解设弹簧的一端固定，建立如图5-24所示的坐标系，原点O为该弹簧不受力时另一端位置.由胡克定律知F(x)=kx,其中k为弹性系数，由已知条件得1=k·0.01,则k=100N/m.图5-24现用微元法解此问题.由题意，将弹簧拉长到位置P，

在OP上取一微小段dx,在这小段上弹力可近似地看做常数，于是把弹簧由x拉长到x+dx所做的功为

dW(x)=F(x)dx=100xdx

所以，把弹簧拉长0.1m所做的功为

2.求侧压力

例5-26一个横放的半径为r的圆柱形水桶，里面盛有半桶油，试计算桶的一个端面所受的压力(设油的密度为ρ).

解如图5-25所示,建立直角坐标系,圆方程为

x2+y2=r2

选取x为积分变量，积分区间为[0,r],任取[x,x+dx],则侧压力微元为所以端面所受的压力为图5-25*3.经济学中的应用举例

例5-27已知生产某产品x(单位：百台)的边际成本和边际收入分别为C‘(x)=3+和R′(x)=7-x(万元/百台)，其中C(x)和R(x)分别是总成本和总收入函数.

(1)若固定成本C(0)=1万元，求总成本函数、总收入函数和总利润函数.

(2)当产量为多少时，总利润最大？最大利润是多少？解(1)总成本为固定成本与可变成本之和，即总收入函数为

因产量为零时无收入，所以R(0)=0,且总利润为总收入与总成本之差，故有总利润

(2)由于,因此可得驻点x=3.据实际意义知，当x=3百台时，最大利润为

实训5.5

1.求由下列各曲线所围成的图形的面积.

(1)y=sinx(0≤x≤2π),y=0；

(2)y=2x2,y=x2,与y=1；

(3)y=x3-5,y=x；

(4)y=lnx,y=ln2,y=ln7,x=0.

2.求下列曲线所围成的图形绕指定轴旋转所得的旋转体的体积.

(1)y=,x=1,x=4,y=0绕x轴；

(2)y=x2,y=0,x=1绕x轴；

(3)y2=x,x2=y,绕y轴；

(4)x2+(y-2)2=1,分别绕x轴及y轴.

3.半径为r的半球形水池中充满了水，若把水池里的水吸净，需做多少功？

4.一块高为a、底为b的三角形薄片，直立地沉没在水中，它的顶在下，底齐于水面，试计算它所受的压力.

*5.已知某产品的边际成本和边际收入分别为Ct(Q)=Q2-4Q+6和R′(Q)=105-2Q,且固定成本为100,其中Q为销售量，

C(Q)和R(Q)分别