2017-2018学年北京市朝阳区普通中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

2017-2018学年北京市朝阳区普通中学九年级（上）月考数学试

卷（10月份）

一、选择题

1.（3分）如图，已知圆心角N8OC=78°,则圆周角/BAC的度数是（）

C.39°D.12°

2.（3分）如图，。。是0。直径，弦A8_LC。于凡连接8C,DB,则下列结论错误的是

（）

A.AD=BDB.AF=BFC.OF=CFD.ZDBC=90°

3.（3分）如图，AA是0O的弦，AC与OO相切于点3,连接04、OB.若N4AC=70°,

则NA等于（）

4.（3分）如图，48、4c与。。相切于3、C,NA=50°,点。是圆上异于8、C的一动

点，则NBPC的度数是（）

A.65°B.115°C.65°和115°D.130°和50°

5.（3分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CQ,点。是弧CO的圆心），其

中。。=6（）0米，E为弧CD上一点,且OE_LC。，垂足为F,0F=30汰几米，则这段弯

路的长度为（）

B.IOOTI米C.4(X)ir米D.300Tl米

6.（3分）如图，圆。与正方形ABC。的两边A3、4Q相切，且OE与圆0相切于E点.若

则。E的长度为何？（)

C.V30D喘

7.（3分）如图，半径为5的OA中，弦AC,EQ所对的圆心角分别是NBAC,ZEAD.已

,则弦8C的弦心距等于（）

B.华

C.4D.3

8.（3分）如图，四边形A6CD是菱形,ZA=60°,AB=2,扇形6E/的半径为2,圆心

角为60。，则图中阴影部分的面积是()

AR

A.等一的B.爸-当C.『日D.『加

9.（3分）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交4AC、AB于。、E两点,连接BD、

DE.若平分N4BC,则下列结论不一定成立的是（）

A

A.BDLACB.AC-=2AB^AE

C.△人OE是等腰三角形D.BC=2AD

10.（3分）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边

长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（）

A.5：4B.5：2C.泥：2D.V5：V2

二、填空题

II.（3分）如图，在半径为13的。。中，0C垂直弦AB于点力，交。。于点C,AB=24,

则CD的长是_______.

12.（3分）已知。。的半径为1,点P与圆心。的距离为d,且方程』-2x+d=0无实数根,

则点P在。O.

13.（3分）已知扇形的半径为6“〃，圆心角为150°,则此扇形的弧长是cm,扇形

的面积是cm2（结果保留7T）.

14.（3分）如图，A8是。。的直径，。是圆心，8c与0。相切于8点，C。交。。于点。,

且BC'=8,CD=4,那么。O的半径是.

A

15.（3分）如图，0C是0。的半径，A8是弦，且。C_LA&点尸在上，N4PC=26°,

则NBOC=

16.（3分）如图，两圆圆心相同，大圆的弦4B与小圆相切，48=8,则图中阴影部分的面

积是.（结果保留IT）

17.（3分）正六边形ABCQEb的边长为2cm，点。为这个正六边形内部的一个动点，则点

P到这个正六边形各边的距离之和为C//E

18.（3分）如图，矩形ABCD中，48=4,8c=3,边C。在直线/上，将矩形A8C。沿直

线/作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点4位置时，则点A经过的路线长为.

19.（3分）如图，已知CO的直径AB=6,E、/为AB的三等分点，M、N为右上两点,

ZNFB=6（!a,贝q£M+尸N=.

20.（3分）如图，点C在以A8为直径的半圆上，AB=8,NC8A=30°,点。在线段A8

上运动，点E与点。美十AC对称，DF工DE于点D，并交EC的延长线十点F.卜列结

论：①CE=CE②线段石产的最小值为2的；③兰4。=2时，EF与半圆相切；④若

点尸恰好落在黄上，则4。=2加；⑤当点。从点A运动到点8时，线段EF扫过的面

积是1673-其中正确结论的序号是____.

ADO

三、解答题

21.如图，圆内接四边形ABDC,A8是。。的直径，OD_L8c于£

（1）请你写出四个不同类型的正确结论:

(2)若BE=4,AC=6,求

D

22.如图，在△A8C中，从。是8c边上的中线，以A3为直径的交8C于点。，过。

作MNJ_AC于点M,交43的延长线于点N,过点8作3G_LMN于G.

(1)求证：/XBGDsXDMA；

(2)求证：直线MN是。。的切线.

23.如图，口718。。中，AB=2,以点A为圆心，A8为半径的圆交边8C于点£,连接。E,

AC,AE.

(1)求证：丝△QCA.

(2)若力E平分NAQC且与。人相切于点£求图中阴影部分(扇形)的面积.

24.如图1,△A4C中，C4=C4,点。在高C〃上，OQ_LC4于点。，OE上CB于点E,

以。为圆心，0。为半径作OO.

(1)求证：0)0与CB相切于点E；

(2)如图2,若00过点儿且AC=5,AB=6,连接七从求的面积和tan/BHE

的值.

25.如图，已知等边△ABC,AB=\2,以4B为直径的半圆与8c边交于点。，过点。作

DF±AC,垂足为F,过点小作垂足为G,连结GD.

(1)求证：。”是。。的切线；

(2)求代;的长；

(3)求tanN产GD的值.

2017・2018学年北京市朝阳区普通中学九年级（上）月考数学试

卷（10月份）

参考答案与试题解析

一、选择题

1.（3分）如图，已知圆心角NBOC=78°,则圆周角NBAC的度数是（）

A.156°B.78°C.39°D,12°

【分析】观察图形可知，已知的圆心角和圆周角所对的弧是一条弧，根据同弧所对的圆

心角等于圆周角的2倍，由圆心角N8OC的度数即可求出圆周角NR4C的度数.

【解答】解：:圆心角N8。。和圆周角NBAC所对的弧为菽，

・・・N/MC=2N3OC=』X78°=39°.

22

故选：C.

【点评】此题要求学生掌握圆周角定理，考查学生分析问题、解决问题的能力，是一道

基础题.

2.（3分）如图，OC是00直径，弦A8J_C力于R连接8C,DB,则下列结论错误的是

（）

A.AD=BDB.AF=BFC.OF=CFD.N/)BC=90°

【分析】根据垂径定理可判断A、&根据圆周角定理可判断。，继而可得出答案.

【解答】解：是。。直径，弦48_LCQ于"，

；・点。是优弧4/3的中点，点C是劣弧A3的中点，

A、AE=BD，正确，故本选项错误；

R、AF=BF,正确，故本选项错误；

C、OF=CF,不能得出，错误，故本选项符合题意；

D、ZDBC=90°,正确，故本选项错误；

故选：C.

【点评】本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关健是熟练掌握垂径定理、圆

周角定理的内容，难度一般.

3.（3分）如图，是00的弦，与OO相切于点以连接04、OR.若N/18C=70°,

则NA等于（）

【分析】由BC与。0相切于点B,根据切线的性质，即可求得NO8C=9（）°,又由/ABC

=70°,即可求得N0BA的度数，然后由04=0B,利用等边对等角的知识，即可求得

NA的度数.

【解答】解：・・・8C与0。相切于点B,

C.OBYBC,

工NO4c=90°,

VZ/IBC=70°,

・・.NOBA=NO8C-N4BC=90°-70°=20°,

*：OA=OB,

・・・NA=NO84=20°.

故选：B.

【点评】此题考查了切线的性质与等腰三角形的性质.此题比较简单，注意数形结合思

想的应用，注意圆的快线垂直于经过切点的半径定理的应用.

4.（3分）如图，AB.AC与0。相切于8、C,乙4=50°,点P是圆上异于8、C的一动

点，则/BPC的度数是（)

b

R

A.65°B.115°C.65°和115°D.130°和5（）。

【分析】连接OC，OB，当点P在优弧AC上时，由圆周角定理可求得NP=65°,当点

P在劣弧8c上时，由圆内接四边形的对角互补可求得N8PC=115°.故本题有两种情

况两个答案.

【解答】解：连接OC，OB,则/ACO=NA8O=90°,N8OC=360°-90°-90°-

50°=130°,

应分为两种情况：

①当点。在优弧〃。上时，ZP=^ZBOC=65°；

2

②当点P在劣弧4c上时，ZBPC=180°-65°=115°；

【点评】本题利用了四边形的内角和为360度，圆周侑定理，I员I内接四边形的性质求解.

5.（3分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧C。，点。是弧。。的圆心），其

中CZ）=600米，上为弧CO上一点，H.OE1CD,垂足为F,。尸=30帖米，则这段弯

路的长度为（）

【分析】设这段弯路的半径为R米，OF=30帖米，由垂径定理得CF=」CD=2X600

22

=300.由勾股定理可得OC2：。尸+O尸，解得R的值，进而得出这段孤所对圆心保，求

出瓠长即可.

【解答】解：设这段弯路的半径为R米

OF=30岫米，

*：OE±CD

Z.CF=AcD=Ax600=300

22

根据勾股定理，得0不=。尸+。尸

即/?2=3002+(3O(h/3)2

解之，得A=600,

：.sinZCOF=FC=1

COI

・・・NC"=30°，

・••这段弯路的长度为：60KX60Q=2O（hT（机）.

180

故诜:A.

【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，根据已知得出圆的半径以及圆心角是解题关

键.

6.（3分）如图，圆。与正方形A8CD的两边A3、4。相切，且。E与圆。相切于E点.若

圆。的半径为5,且A8=U,则。E的长度为何？（)

6C.V30

【分析】求出正方形4VOM,求出AM长和A。长，根据。E=OM求出即可.

连接。M、ON,

•・•四边形4BCZ）是正方形，

：.AD=AB=\\,ZA=90°,

:圆。与正方形的两边A8、AQ相切,

AZ（）MA=ZONA=90<,=/A,

•；OM=ON,

••・西边形4VoM是正方形，

：.AM=0M=5,

•「AO和OE与圆0相则，圆。的半径为5,

，AM=5,DM=DE,

：.DE=\\-5=6,

故选:B.

【点评】本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，

关键是求出AM长和得出DE=DM.

7.（3分）如图，半径为5的0A中，弦BC,EO所对的圆心角分别是/84C,ZEAD.已

知OE=6,ZBAC+ZEAD=180°,则弦8c的弦心距等于（）

A.2ZHB.C.4D.3

22

【分析】作/VMBC于从作直径CT,连结BE先利用等角的补角相等得到/。,4石=

NA4F,再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6,由AH1BC,根据垂径定理得

CH=BH,易得4”为ACB/的中位线，然后根据三角形中位线性质得到尸=3.

【解答】解：作4H1BC于"，作直径CF连结BF,如图,

VZBAC+ZEAD=I8O°，

而N84C+N8A广=180°,

：,ZDAE=ZBAF,

ADE=BF>

:・DE=BF=6,

*：AH±BC,

:・CH=BH,

而CA=AF,

，AH为ACB尸的中位线,

：.AH=1BF=3.

2

故选：D.

【点评】本题考查了四周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理和三角形中位线性质.

8.（3分）如图，四边形A8C。是菱形，NA=60°,AB=2,扇形BE尸的半径为2,圆心

角为60°,则图中阴影部分的面积是（）

A.22£-加B.22L-返c.1T-返D.K-Vs

3322

【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△

ABG会4DBH,得出四边形G8”Q的面积等于△4BO的面积，进而求出即可.

【解答】解：连接8D,

•・•四边形A8c。是菱形，ZA=60°,

AZADC=120°,

/.Zl=Z2=60°,

•••△D48是等边三角形，

•.•48=2,

•••△ABD的高为加，

•・•扇形3所的半径为2,圆心角为60°,

AZ4+Z5=60°,Z3+Z5=60°,

•••N3=N4,

设4。、BE相交于点G,设8F、。。相交于点，，

在aANG和△08”中，

rZA=Z2

<AB=BD，

Z3=Z4

:•△ABG9XDBH（ASA）,

，四边形GBHD的面积等于△48。的面积，

2

・••图中阴影部分的面积是：S场形的7“切=9°兀x_2--工乂2义的=”-加.

36023

故选：A.

【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已

知得出四边形EBFD的面积等于的面积是解题关键.

9.（3分）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、4B于。、E两点，连接BZX

DE.若B。平分NABC,则下列结论不一定成立的是（）

A

BC

A.BDLACB.AC2=2AB*AE

C.ZVIOE是等腰三角形D.BC=2AD

【分析】利用圆周角定理可得A正确；证明△AOESAAB。，可得出3正确；由8选项

的证明，即可得出C正确；利用排除法可得。不一定正确.

【解答】解：・・・BC是直径，

AZBDC=90°,

：.BD1AC,故A正确；

平分NA8C,BD1AC,

•••△A8C是等腰三角形，AD=CD,

•・•四边形BCDE是圆内接四边形，

・•・ZAED=ZACB,

：,AADE^>AABC,

•••△八。七是等腰三角形，

：・AD=DE=CD,

・AC=BC=2BC=2AB

**AEDE2DE记，

：.AC2=2A^AE,故8正确；

由8的证明过程，可得。选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质，综

合考察的知识点较多，解答本题的关键在于判断△A3C和后是等腰三角形.

10.（3分）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边

长都为I,则扇形和圆形纸板的面积比是（）

D.V5：V2

【分析1先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出

比值即可.

【解答】解：如图1,连接O。，

•・•四边形ABC。是正方形，

：.ZDCB=ZAB0=9Q°,AB=BC=CD=\,

VZAOB=45°,

：・OB=AB=1,

由勾股定理得：0力;步+产的,

・,•扇形的面积是45兀•（泥）2=昂;

3608

如图2,连接"8、MC,

•・•西边形ABCD是OM的内接四边形，四边形ABCD是正方形,

/.ZB/WC=90°,MB=MC,

/.ZMCB=ZMBC=45°,

*/BC=l,

:.MC=MB=返,

2

・・・。”的面积是TTX（返）2=2^

22

，扇形和圆形纸板的面积比是（"IT）=—.

824

【点评】本题考查了正方形性质，圆内接四边形性质，扇形的面积公式的应用，解此题

的关键是求出扇形和阿的面积，题目比较好，难度适中.

二、填空题

II.（3分）如图，在半径为13的。0中，OC垂直弦于点O,交。。于点C,AB=24,

则CD的长是8

【分析】连接OA，先根据垂径定理求出人。的长，再在RtZXAOQ中利用勾股定理求出

0。的长，进而可得出CO的长.

【解答】解：连接。4,

V0C1AB,AB=24,

：.AD=^AB=\2,

2

在RtZ^A。。中，

•・・0A=13,4。=12,

•••OD=V0A2-AD2=V132-122=5,

•••CQ=OC・OQ=13・5=8・

故答案为：8.

【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理.，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形

是解答此题的关键.

12.(3分)已知OO的半径为1,点P与圆心。的距离为止且方程f-2x+d=0无实数根,

则点《在外.

【分析】根据根的判别式的意义得到△=(-2)2-乙d<0,解得[>],然后根据点与圆

的位置关系的判定方法判断点尸与OO的位置关系.

【解答】解：•・•方程f-2x+d=0无实数根，

，△=(-2)2-4t/<0,

：.d>\,

而。。的半径为1，

・••点P与0的距离大于圆的半径,

，点尸在o。外.

故答案为：外

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设。。的半径为，•，点P到圆心的距离。尸=d,

则有点户在圆外Od>r：点尸在圆上=d=八点尸在圆内adv,•.点的位置可以碓定该

点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆

的位置关系.也考查了根的判别式.

13.(3分)已知扇形的半径为6cm,圆心角为150°,则此扇形的弧长是上」c〃?，扇形

的面积是一15TT。力2(结果保留Q.

2

【分析】根据扇形的弧长公式/=亚旦和扇形的面积=皿旦-分别进行计算即可.

180360

【解答】解：:扇形的半径为6cm,圆心角为150°,

・•・此扇形的弧长是：/=15071X6=5TT(C〃。，

180

根据扇形的面积公式，得

,,150TUX62.ez2、

Stn=上丫------=15n(cnr).

360

故答案为：5TT,15m

【点评】此题主要考查了扇形弧长公式以及扇形面积公式的应用，熟练记忆运算公式进

行计算是解题关键.

M.(3分)如图，AA是。。的直径，O是圆心，AC与相切于A点，CO交OO于点、D,

且BC=8,CD=4,那么OO的半径是6.

A

【分析】根据切线性质求出NO8C=9()°,设OO的半径是R,则OC=R+4,8c=8,

OB=R,在中，由勾股定理得出方程网+82=(R+4)2,求出方程的解即可.

【解答】解：Y8C与。0相切于8点，

:.OBLBC,

：・N()BC=90°,

设GO的半径是R,则OC=R+4,4C=8,OB=R,

在△04C中，由勾股定理得：O»+Bd=oc2,

即/?2+82=(R+4)2,

R=6,

故答案为：6.

【点评】本题考查了方程，切线的性质，勾股定理等知识点，解此题用了方程思想.

15.（3分）如图，0C是。。的半径，人8是弦，且0C_LA4,点P在。0上，NAPC=26°,

则NBOC=52

度.

【分析】由OC是。。的半径，A8是弦，且。C_L48,根据垂径定理的即可求得：AC=

菽，又由圆周角定理，即可求得答案.

【解答】解：:0C是。。的半径，是弦，K0C1AB,

・・・菽=标，

/.ZBOC=2ZAPC=2X260=52°.

故答案为：52.

【点评】此题考查了垂径定理与圆周角定理.此题比较简单，注意掌握数形结合思想的

应用.

16.（3分）如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8,则图中阴影部分的面

积是一16n.（结果保留n）

【分析】设48与小圆切于点C,连结0C,08,利月垂径定理即可求得3C的长，根据

圆环（阴影）的面积=7[・。82-弘・0。2=口（OB2-OC2）,以及勾股定理即可求解.

【解答】解：设4B与小圆切于点C,连结OC,OB.

TAB与小圆切于点C,

C.OCYAB,

**•BC-AC——AB——^-8—4.

22

二•圆环（阴影）的面积=TT・OB2-口・0。2=口（OB2-0C2）

又・・•直角△O8C中，OBJod+BC2

22

，圆环（阴影）的面积=IT・O82-TrOd=7T（。用-。＜:）=TT*BC=16n.

故答案为：I6ir.

【点评】此题考查了垂径定理，切线的性质，以及名股定理，解题的关键是正确作出辅

助线，注意到圆环（阴影）的面积二立y加-死”心口（。^-（炉），利用勾股定理把

圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系.

17.（3分）正六边形A8COE广的边长为2口〃，点户为这个正六边形内部的一个动点，则点

p到这个正六边形各边的距离之和为_

FE

RC

【分析】此题可采用取特殊点的方法进行计算，即当。为圆心时进行计算.

【解答】解：如图所示，过2作PH±BCT〃，根据正六边形的性质可知，ZBPC=60°,

即N3P，=-l/8PC=lx60°=30°,8"=28C=2X2=lc/〃：

2222

：.PH=—

tan305

~3~

・•・正六边形各边的距成之和=6尸”=6义“=&/^，〃.

故答案为：必.

GE

【点评】此题比较简单，解答此题的关犍是根据题意画出图形，再由正六边形及等腰三

角形的性质解答即可.

18.（3分）如图，矩形ABC。中，AB=4,BC=3,边CD在直线/上，将矩形ABC。沿直

线/作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点Ai位置时，则点A经过的路线长为

CB'

BAi空.......

r

CDACfDtZ

【分析】如图根据旋转的性质知，点八经过的路线长是三段：①以90°为圆心角，AD

长为半径的扇形的弧长；②以90°为圆心角，AB长为半径的扇形的弧长；③90°为圆

心角，矩形4BCQ对角线长为半径的扇形的弧长.

【解答】解：•・•四边形A8CO是矩形，AB=4,BC=3,

：,BC=AD=3,ZADC=90°,对角线AC（8。）=5.

•••根据旋转的性质知，ZADA'=90°,AD=A'D=BC=3,

・••点A第一次翻滚到点A'位置时，则点A'经过的路线长为：907rxz="

1802

同理，点A'第一次翻滚到点A"位置时，则点A'经过的路线长为：9071X4=2TT.

180

点4"第一次翻滚到点Ai位置时，则点A"经过的路线长为：90兀><5.=卫.

1802

则当点A第一次翻滚到点4位置时，则点A经过的路线长为：更+2TT+且L=6m

22

故答案是：67T.

【点评】本题考查了弧长的计算、矩形的性质以及旋转的性质.根据题意画出点A运动

轨迹，是突破解题难点的关键.

19.（3分）如图，己知的直径A8=6,E、F为A8的三等分点，例、N为标上两点,

且NMEB=/NFB=60°,则EM+FN=_V^^.

【分析】延长ME交。O尸G,根据圆的中心对称性可得产N=EG,过点。作O〃_LMG

于〃，连接MO,根据圆的直径求出0区OM,再解直角三角形求出0”,然后利用勾股

定理列式求出M”，再根据垂径定理可得MG=2M”，从而得解.

【解答】解：如图，延长ME交。。于G,

■:E、/为A8的三等分点，NMEB=NNFB=60”,

:.FN=EG,

过点。作O〃_LMG于〃，连接M0,

;。。的宜径八8=6,

：，OE=OA-AE=2X6-AX6=3-2=1,

23

OM=_1X6=3,

2

VZA/EZ?=60°,

，O"=OK・sin60°=1乂返=返，

22

在Ri/XMO”中，^=7OM2-OH2=

根据垂径定理，MG=2MH=2X厚=每

即EM+FN=^^.

故答案为：V33-

【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，以及解直角三角形，作辅助线并根据

圆的中心对称性得到尸N=EG是解题的关键，也是本题的难点.

20.（3分）如图，点C在以A8为直径的半圆匕A8=8,NC84=30°,点。在线段48

上运动，点E与点。关于AC对称，DFLDE于点D，并交£C的延长线于点足下列结

论：®CE=CF；②线段E尸的最小值为2的；③当AD=2时，E/与半圆相切；④若

点下恰好落在菽上，则人£＞一2在；⑤当点。从点八运动到点8时，线段E厂扫过的面

积是16b.其中正确皓论的序号是一①③⑤

【分析】（1）由点£与点。关于AC对称“J得CE=CO,再根据_LQE即“Ji止到CE

=CF.

（2）根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CQJ_A3时CD最小，由于EF=2CD,

求出CD的最小值就可求出EF的最小值.

（3）连接OC,易证△A。。是等边三角形，AD=OD,根据等腰三角形的“三线合一”

可求出NACZ）,进而可求出NECO=90°,从而得到£：尸与半圆相切.

（4）利用相似三角形的判定与性质可证到aoB/是等边三角形，只需求出8户就可求出

DB,进而求出4Q长.

（5）首先根据对称性确定线段扫过的图形，然后探究出该图形与△A4C的关系，就

可求出线段EF扫过的面积.

【解答】解：①连接C。，如图1所示.

•・•点E与点D关于AC对称,

：.CE=CD.

:・/E=/CDE.

DFA.DE,

：・NEDF=90°.

AZE+ZF=90°,NCDE+NCDF=900.

，/广=NC7)F.

：.CD=CF.

：,CE=CD=CF.

，结论"CE=CF”正确.

②当CO_LA3时，如图2所示.

•••/W是半圆的直径，

，NACB=90°.

•••AB=8,NCB4=30°,

：.ZCAB=6()°,AC=4,BC=4限

\*CD±AB,ZCBA=30°,

・・.CO=_18C=2/.

2

根据“点到直线之间，垂线段最短”用得:

点力在线段人8上运动时，CO的最小值为2%.

，：CE=CD=CF,

：.EF=2CD.

・•・线段EV的最小值为4\万.

・••结论”线段£小的最小值为2加”错误.

③当AO=2时，连接0C,如图3所示.

VOA=OC,NCA5=60°,

•••△OAC是等边三角形.

：.CA=CO,ZACO=60°.

VAO=4,AD=2,

：.DO=2.

：.AD=DO.

/.ZACD=ZOCD=30°.

•••点E与点。关于AC对称，

：,ZECA=ZDCA.

.,.ZECA=30°.

••・NECO=90°.

：.OC1EF.

〈EF经过半径OC的外端，fLOC±EF,

••・£尸与半圆相切.

・•・结论”政与半圆相切”正确.

④当点尸恰好落在标上时，连接b8、AF,如图4所示.

•••点七与点。关于AC对称，

：.ED1AC.

，NAGO=90°.

/.ZAGD=ZACB.

：.ED//BC.

:ZHCs^FDE.

・FH=FC

••而FE,

,:FC=LEF,

2

：,FH=^FD.

2

：,FH=DH.

,：DE//BC,

:・NFHC=/FDE=9G".

:・BF=BD.

；・NFBH=NDBH=30°.

：.ZFBD=60°.

•・•AB是半圆的直径，

・・・NAF8=90°.

AZMB=30°.

：.FB=1AB=4.

2

・・・Q3=4.

.\AD=AB-DB=4.

••・结论%。=2%”错误.

⑤•・•点D与点E关于AC对称，

点。与点尸关于3c对称，

工当点D从点A运动到点B时，

点E的运动路径AM与AB关于人C对称,

点F的运动路径NB与AB关于BC对称.

扫过的图形就是图5中阴影部分.

:.S阴影=2S”8c

=2XLC・BC

2

=AC^BC

=4X4近

=1皿.

尸扫过的面积为16日.

・•・结论“E尸扫过的面积为16盗”正确.

故答案为：①、③、©.

图4

4F

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判

定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含30°角的直角三角形、垂线段最短等知识，

综合性强，有一定的难度.

三、解答题

21.如图，圆内接四边形A8QC,是。。的直径，ODLBC于E.

（I）请你写出四个不同类型的正确结论；

（2）若BE=4,AC=6,求DE.

【分析】（1）由八8为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角可得出NAC8为直角；

由OD垂直于8C,利用垂径定理得到E为8C的中点，BPBE=CE,丽=而，由OD垂

直于BC,AC也垂直于BC,利用垂直于同一条直线的两直线平行可得出OD与人C平行;

（2）由。。垂直于BC,利用垂径定理得到E为8c的中点，由BE的长求出的长，

由A8为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角可得出N4CB为直角，在直角三角形

4BC中，由BC与AC的长，利用勾股定理求出A8的长，进而求出半径与。。的长，

在直角三角形中，由08与的长，利用勾股定理求出0E的长，由-0E即

可求出的长.

【解答】解：(1)四个不同类型的正确结论分别为：/4CB=90°；BE=CE；BD=CD;

OD//AC；

(2)・：0D±BC,BE=4,

：.BE=CE=4,即8c=28E=8,

■AB为圆0的直径，・・.N4CB=90°,

在RlZ\ABC中，4C=6,BC=8,

根据勾股定理得：A8=10,

：.OB=5,

在Rt^OBC中,08=5,BE=4,

根据勾股定理得：0E=3,

则ED=OB-OE=5-3=2.

【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定，熟练掌握

定理是解本题的关键.

22.如图，在△ABC中，A。是8C边上的中线，以48为直径的。0交8c于点。，过。

作MNJ_AC于点交A8的延长线于点N,过点3作8G_LMN于G.

(1)求证：△8GQS/\QMA；

(2)求证：直线MN是。。的切线.

【分析】(1)根据圆周角定理得到NADC=90°,得到NOBG=NAOM,根据两角相等

的两个三角形相似证明；

(2)证明03是△ABC的中位线，得到OO〃AC,根据平行线的性质得到。。_LMM根

据切线的判定定埋证明.

【解答】证明：(1);MNIAC,BG上MN,

・・・NBGO=NQMA=90°,

•・•以AB为直径的。。交BC于点D,

：.AD±BC,即NAQC=90°,

••・NAQM+NCQM=90°,

•；NDBG+NBDG=90',NCDM=NBDG,

・••ZDBG=NAZW,

:,/\BGDS»DMM

(2)连结OD.

：,BO=OAfBD=DC,

TOO是△ABC的中位线，

：,OD//AC,

又•.•MN_LAC,

：,OD上MN,

・•・直线MN是O。的切线.

N

【点评】本题考查的是相似三角形的判定、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三

角形的判定定理是解题的关键.

23.如图，uABCQ中，AB=2,以点4为圆心，A8为半径的圆交边8c于点E,连接。&

AC,AE.

（1）求证：△4EO丝zX。。.

（2）若。E平分/AOC且与0A相切于点£,求图中阴影部分（扇形）的面积.

【分析】(1)由四边形A4C。是平行四边形，AB=AE,易证得四边形A/CQ是等腰梯形,

即可得AC=OE,然后由SSS,即可证得：△八七。且△力C4；

(2)由。E平分NAOC旦与OA相切于点区可求得/EA。的度数，继而求得NB4E的

度数，然后由扇形的面积公式求得阴影部分(扇形)的面积.

【解答】解：

(1)证明：•・•四边形A8CD是平行四边形，

.\AB=CD,AD//BC,

四功形4七。。是•梯形，

\'AB=AE,

：.AE=CD,

・•・四边形AECO是等腰梯形，

：.AC=DE,

在△AED和△OCA中，

'AE=DC

<DE=AC，

AD=DA

•••△A£7运△OC4(555)；

(2)解：•••QE平分/A。。，

・•・ZADC=2ZADE,

•・•四边形AEC。是等腰梯形，

・•・NDAE=RADC=2dADE,

•・・£)E与OA相切于点E,

C.AELDE.

即NAED=90°,

A^ADE=30°,

：.ZDAE=60°,

・•・ZDCE=NA£C'=1800-ZDAE=120°,

•・•四边形ABCD是平行四边形,

：.ZBAD=ZDCE=\20°,

：.ZBAE=ZBAD-ZEAD=60°,

【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的判定与性质以

及平行四边形的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

24.如图1,△ABC中，CA=C8,点0在高CH上，0O_LCA于点。，。及LC8于点E,

以。为恻心，0。为半径作00.

（1）求证：与ar相切于点七：

（2）如图2,若。。过点〃，且4c=5,A4=6,连接以7,求△8〃七的面积和tanNBHE

的值.

【分析】（1）由CA=CB,且CH垂直于A8,利用三线合一得到C"为角平分线，再由

。。垂直于AC,0E垂直于C8,利用角平分线定理得到。E=0。，利用切线的判定方法

即可得证：

（2）由CA=C6,CH为裔，利用三线合得到A〃=8〃，在直角三角形AC”中，利用

勾股定理求出C〃的长，由圆0过〃，C”垂直于48,得到圆。与A8相切，由（1）得

到圆。与C8相切，利用切线长定理得到如图所示，过E作石尸垂直于A8,

得到E户与C”平行，得出ABE厂与△8C，相似，由相似得比例，求出石尸的长，由BH

与所的长，利用三角形面积公式即可求出△8E”的面积；根据E尸与8E的长，利用勾

股定理求出尸8的长，由尸求出”户的长，利用锐角三角形函数定义即可求出tan

NB”左的值.