2025届高三年级三月数学每周好题精xuan（第一周）

三月数学每周好题精选（第一周）1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.已知i为虚数单位，复数，则()A. B. C. D.3.某商品的广告支出费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如表所示：广告支出费用x3.44.755.66.3销售量y1516.919.21820.9根据表中数据可得回归直线方程为，则第三个样本点对应的残差为()A. B. C.0.6 D.1.24.若能被64整除，则正整数a的最小值为()A.53 B.54 C.55 D.565.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为()A. B. C. D.6.已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若，，成等差数列，则()A. B. C. D.7.已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，过A作l的垂线，垂足为，若，则()A.2 B.4 C.6 D.88.已知三棱锥的底面是边长为3的正三角形，D，E分别为BC，VC的中点，且三棱锥的四个顶点均在半径为2的球的球面上，则当该三棱锥的体积最大时，异面直线AD与BE所成角的余弦值为()A. B. C. D.9.（多选）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若a，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有()A.， B.，C.， D.，10.（多选）已知为函数图象的一条对称轴，则()A.的最小正周期为 B.的图象关于点对称C.在区间上单调递减 D.函数为偶函数11.（多选）下列结论正确的是()A.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是B.数据36，28，22，24，22，78，32，26，20，22的第80百分位数为34C.已知随机变量，若，则D.若，则事件A与B是对立事件12.（多选）已知函数，则()A.有两个极值点B.有三个零点C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线13.设O为坐标原点，A，B，C是双曲线（，）上三点，若A，O，B三点共线，且直线AC与BC的斜率互为倒数，则E的离心率为__________.14.某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是___________.15.若函数的最小值为，则实数m的取值范围为_____________.16.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）证明：b，a，c成等差数列；（2）若的面积为，求A.17.如图，四棱锥中，，，且，，，直线PA与平面ABCD所成的角为，E，F分别是BC和PD的中点.（1）证明：平面PAB；（2）求平面PAB与平面PAD夹角的余弦值.18.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设，是函数的两个极值点，若，求m的最大值.

答案以及解析1.答案：A解析：因为，则，解得，则，所以.故选：A2.答案：A解析：，.故选：A.3.答案：D解析：由已知，，，所以，于是，，因此，第三个样本点对应的残差为.故选：D4.答案：C解析：因为，其中，所以，因为能被64整除，则只需能被64整除，所以a的最小值为55.故选：C5.答案：B解析：由题可得平面的一个法向量为，平面一个法向量为，平面的法向量，设直线l的一个方向向量为，则由题意，所以，取，则，直线l与平面所成角为，则.所以直线l与平面所成角的正弦值为.故选：B.6.答案：A解析：设等比数列的公比为q，若，，，成等差数列，可得，当时，此时恒成立，即为，得，即，显然不成立；当时，即为，其中，得，得或（舍去），，故选：A.7.答案：B解析：记坐标原点为O，过点A作，垂足为B.由已知及抛物线定义可得，，，为等边三角形，，又，，则.，解得.故选：B.8.答案：D解析：由题意得外接圆的半径，所以三棱锥外接球的球心到平面ABC的距离，所以当三棱锥的体积最大时，顶点V到平面ABC的距离为，此时三棱锥为正三棱锥，且.取CE的中点F，连接AF，DF，如图所示.因为D是BC的中点，F为CE的中点，所以，且，所以是异面直线AD与BE所成的角或其补角.由题意得，所以，，所以，.易得，所以.所以当该三棱锥的体积最大时，异面直线AD与BE所成角的余弦值为.故选：D.9.答案：BC解析：由于函数为幂函数，故，即，解得，.当时，，当时，.由于“对任意，，且，满足”知，函数在上为增函数，故.易见，故函数是单调递增的奇函数.由于，即，得，所以，若当时，，故；当时，，故，故；当时，由知，，故或或，即或或.综上可知，，且或或.故选：BC.10.答案：AC解析：对于A，因为为函数图象的一条对称轴，所以，故，因为，所以令，得到，解得，得到，周期，则的最小正周期为，故A正确，对于B，，即的图象不可能关于点对称，故B错误，对于C，因为，所以，故，而令，则原函数化为，，由余弦函数性质得在上单调递减，得到在区间上单调递减，故C正确，对于D，因为，所以，令，即，而，得到，则函数不为偶函数，故D错误.故选：AC.11.答案：BC解析：对于A，用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是，故A错误；对于B，将数据按照从小到大的顺序排列为20，22，22，22，24，26，28，32，36，78，且，所以第80百分位数为，故B正确；对于C，因为随机变量，所以正态曲线的对称轴为直线，又，所以，所以，故C正确；对于D，抛一枚骰子，设事件A为向上的点数为奇数，事件B为向上的点数小于4，则，但A与B不是对立事件，故D错误.故选：BC.12.答案：ACD解析：由得，令得，令得或；令得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以有两个极值点(为极大值点，为极小值点)，故A正确；又，，而x趋向于负无穷大时也趋向于负无穷大；x趋向于正无穷大时也趋向于正无穷大；所以仅有1个零点(如图所示)，故B错误；又，所以，所以关于对称，故C正确；对于D，设切点，在P处的切线为，即，若是其切线，则，则，此时切点为时，切线方程直线，所以D正确.故选：ACD13.答案：解析：因为A，O，B三点共线，A，B在双曲线E上，所以A，B关于原点O对称.设，，且，则.由题意得所以，所以.又直线AC的斜率，直线BC的斜率，直线AC与BC的斜率互为倒数，所以，即，所以，所以.14.答案：45解析：根据正态密度曲线的对称性可知，规格指标X在区间的概率为，即一件产品的规格指标X位于区间的概率为0.9.又因为，则.15.答案：解析：当时，，因为的图象关于对称，若最小值为，可知，即可得；又当时，，当且仅当时等号成立；若最小值为可得，即，解得；综上可知，实数m的取值范围为.16.答案：（1）见解析（2）解析：（1）方法1：由正弦定理得，，，又，，，由正弦定理得，，，a，c成等差数列.方法2：由余弦定理，，，，.，，即b，a，c成等差数列.（2），，由余弦定理得：，..化简得，即，，故，.17.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）如图，取AD的中点G，连接EG，FG.是PD的中点，，又平面，平面PAB，平面PAB.同理可得平面PAB.，平面GEF，平面平面PAB.又平面GEF，平面PAB.（2）以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系.易知，，，则，，设.，直线PA与平面ABCD所成的角为，.又，，，，，，.设是平面PAB的一个法向量，则即令，则，，.设是平面PAD的一个法向量，则即令，则，，.，平面PAB与平面PAD夹角的余弦值为.18.答案：（1）答案见解析；（2）0解析：（1）的定义域为，，①当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；②当时，令，得或，令，得，所以在，上单调递增，在上单调递减；③当时，则，所以在上单调递增；