奥数几何 三角形五大模型带解析

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三角形五大模型

【专题知识点概述】

本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分

知识的综合运用能力。

重点模型重温

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；/K

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；/S1\s\

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；ab

如右图S］：S2=a：〃AB

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图1抽/）=5搦8；/V/

反之，如果Sae=S△刈，则可知直线△平行于8.cD—

④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四

边形）；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，

面积比等于它们的高之比.

二、等分点结论（“鸟头定理”）

如图，三角形AED占三角形ABC面积的£2X—I二乙1

346

三、任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）

①8：s2=s4：s3或者s1xs3=s2xs4

②②AO：0C=(S1+S2)：(S4+S3)

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）

22

①Si：S3=a：b

22

②$:S3：S2：S4=a：b：ab：ab;

③S的对应份数为（a+b）

模型四：相似三角形性质

如何判断相似

（1）相似的基本概念：

两个三角形对应边城比例，对应角相等。

⑵判断相似的方法：

①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；

②两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个

三角形相似。

22

②Si：S2=a：A

模型五：燕尾定理

SAABG：SAAGC=SABGE：SAGEC=BE：EC；

SABGA：SABGC=SAAGF：SAGFC=AF：FC；

SAAGO：SABCG=SAADG：SADGB=AD：DB：

【重点难点解析】

1.模型一与其他知识混杂的各种复杂变形

2.在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”

【竞赛考点挖掘】

1.三角形面积等高成比

2.“鸟头定理”

3.“蝴蝶定理”

【习题精讲】

【例1】（难度等级X）

如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别

是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影

部分的面积.

【例2】（难度等级X）

如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3

厘米，那么图中阴影部分的面积是一平方厘米.

【例3】（难度等级X）

如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为A

AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？

【例4】（难度等级※※※）

如图，在面积为1的三角形ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长CF交AB边于E,求三角

形AEF和二角形CDF的面积之和。

【例5】（难度等级派※）

如右图BE=|BC,CD=|AC,那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几？

D

B

EC

【例6】（难度等级X）

如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积

相等.

【例7】（难度等级X）

如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米,

求三角形ZCY的面积.

【例8】（难度等级派※）

如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF和BC平行，ECH的面积是7平方厘米，求EG的

长。

【例10］（难度等级※派）

如图已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长

为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米？

【例11］（难度等级※派）

如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12,

23,32,则图中阴影部分的面积为？

［例12］（难度等级派※※）

如图，平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底

时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米。求平行

四边形ABCD的面积。

【例13］（难度等级※※※）

如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、AADF与四边形

AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.

BEC

【例14］（难度等级派※※）

如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4,

BE=3,AE=6,甲部分面积是乙部分面积的几分之几？

【例15］（难度等级X）

某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分,

△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，aCOD的面

积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的

面积是多少平方千米？

【例16］（难度等级※派）

图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米.问：阴影部分的面积

是多少平方厘米？

【作业】

1.如图，三角形ABC中，DC=2BD,CE=3AEf三角形

ADE的面积是20平方厘米，三角形48C的面积是多少？

2.如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积

分别是13,35,49.那么图中阴影部分的面积是多少？

3.右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米,

求三角形ABC的面积。

4.如图，平行四边形ABCD,BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,

HA=4AD,平行四边形ABCD的面积是2,求平行四边

形ABCD与四边形EFGH的面积比.

5.如图，在△ABC中，延长BD=AB,CE=LBC,F是AC的中点,

2

若4ABC的面积是2,则4DEF的面积是多少？

【例1】（难度等级X）

如图，长方形ARCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ARCD边上的中点，H

为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.

【分析与解】

如右图，连接BH、HC,由反AG分别为M、BC、CD

三边的中点有彳尺改BF^FC、聆CD.

因此51=52,53=54,55二的，而阴影部分面积

=52+^+56,空白部分面积:团+必+55.所以阴影部分面

积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影部

分面积为28.

【例2】（难度等级X）

如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3

厘米，那么图中阴影部分的面积是一平方厘米.

【分析与解】

上排4个阴影三角形的高都等于BF,底边之和恰好为AB,他们的

面积之和为,BExAB：下排4个三角形的高都等于CF,底边之和恰好为CD,他们的面积

2

之和为工。产、。。=工。/、48.所以阴影部分面积为：

22

LBbxA8+，CbxA5=，gCxAB=」x3x4=6（平方厘米）.

2222

【例3】（难度等级X）

如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为

AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？

【分析与解】

首先，Sgsc=AO=24平方厘米，而F是AC中点，所

以右钻尸=3§必8「又E是AB中点，所以S型尸=；5根叱=6平方厘米.

【例4】（难度等级派※※）

如图，在面积为1的三角形ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长

CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。

【分析与解】

连接DE,于是三角形AEF的面积;三角形EFD的面积，所求被转化为三角形EDC的面积。因

为F是AD中点，所以三角形AEC的面积和三角形EDC的面积相等，设SABDE为1份，

则SAAEC=SAEDC为3份因此SAABC一共7份，

13

每份面积为一所以SAEDC占3份为一。

77

【例5】（难度等级派※）

如右图BE=|BC,CD=|AC,那么三角形AED的面积是三角形ABC

面积的几分之几？

【分析与解】

BEC

上图中，三角形AEC与三角形ABC的高相等，而BE=|BC,-广是

EC=flBC,。二

°ABCJ

又由于三角形AED与三角形AEC的高相等，而CD=-AC,

4

BEC

AQAC,邑段二』

45皿4A

332

所以，三角形AED的面积=—X三角形AEC的面积:一X-

443

角形ABC的面积:,X三角形ABC的面积

2

【例6】（难度等级X）

如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它

们的面积相等.

【分析与解】

连接交

显然有SMBE=—SABCD,=—SAEGF

所以SABCD=SAEGF

【例7】（难度等级X）

如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米,

求三角形ZCY的面积.

【分析与解】

SABCD=ABxBC=192平方厘米

AI-----------—^IB

因为y是劭中点，z是，y中点，所以

S&ZCY=；（；SA8B）=:［；（；SABCD）］=（SABC。=24

ZZLLLo

【例8】（难度等级派※）

如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF和BC平行，ECH的面积是7平方厘米，求EG的

长。

A.________n

【分析与解】:口

-XEGXAE+-XEGXEB=7平方厘米

22

即~!"XEGXAB=7平方厘米；EG=3.5厘米

2

【例10］（难度等级※※）

如图已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为

10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?

【分析与解】

连接第

由ABCD知/尔都是正方形有ZBDC=ZDCF=45°

所以8。CF.

由平行线间距离相等知三角形叱和三角形戚同底等高

所以SMFD=S^cD=不SABCD=5。

【例11］（难度等级※派）

如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12,23,32,则图中阴影部分的面

积为？

【分析与解】

如右图，已知

a+b+x=23+a+32+12+b

所以x=23+32+12

x=67.

【例12］（难度等级※※派）

如图，平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16

厘米。求平行四边形ABCD的面积。

【分析与解】

BCX14=CDX16,BC:CD=16:14,

757516

BC+CD=—,BC=—X------=20

2216+14

ABCD面积=14X20=280（平方厘米）

【例13］（难度等级※※※）

如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、ZkADF与四边

形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.

【分析与解】

因为△ABE、4ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四边

形AECF的面积与△ABE、ZkADF的面积都等于正方形面积的三

分之一，也就是：

S四边形EACF=SfBE=SMDF=§乂6乂6=12

在aABE中，因为AB=6.所以BE=4,同理DF=4,因此CE=CF=2,

AAECF的面积为2X2+2=2.

所以S^AEF=S四边形AECF-SMC尸=12—2=10（平方厘米）.

【例14］（难度等级派※※）

如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4,

BE=3,AE=6,甲部分面积是乙部分面积的几分之几？

C

D

【分析与解】

由g£)=r>CBD=DC有=由8E=3,AE=6f有AB.由鸟头定理有

23

S甲=~X~XSgBC=TSgsc,S〃=Sgsc—S甲=—Sgsc，故S甲=gS乙.

【例15］（难度等级X）

某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分,

△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，aCOD的面

积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工