2024高考数学二轮复习分层特训卷热点问题专练十四新定义新背景新情境文

PAGEPAGE4热点(十四)新定义，新背景，新情境1．定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则A*B()A．{1,2,3,4,5}B．{2,3,4,5}C．{2,3,4}D．{1,3,4,5}答案：B解析：当x1＝1时，x2可以取1或2，则x1＋x2＝2或3；当x1＝2时，x2可以取1或2，则x1＋x2＝3或4；当x1＝3时，x2可以取1或2，则x1＋x2＝4或5.∴A*B＝{2,3,4,5}．2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有()A．7个B．8个C．9个D．10个答案：C解析：由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数．函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}，当x＝±1时，y＝1；当x＝±2时，y＝4，则定义域可以为{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，{－1,2，－2}，{1，－2,2}，{1，－1,2，－2}，因此“同族函数”共有9个．3．[2024·郑州调研]规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b为正实数)，若1⊙k2<3，则k的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)D．(0,2)答案：A解析：因为定义a⊙b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b为正实数)，1⊙k2<3，所以eq\r(k2)＋1＋k2<3，化为(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，所以－1<k<1.4．设数列{an}的前n项和为Sn，若eq\f(Sn,S2n)为常数，则称数列{an}为“祥瑞数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“祥瑞数列”，则数列{bn}的通项公式为()A．bn＝n－1B．bn＝2n－1C．bn＝n＋1D．bn＝2n＋1答案：B解析：设等差数列{bn}的公差为d(d≠0)，eq\f(Sn,S2n)＝k，因为b1＝1，则n＋eq\f(1,2)n(n－1)d＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,2)×2n2n－1d))，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因为对随意的正整数n上式均成立，所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，解得d＝2，k＝eq\f(1,4).所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.5．定义一种运算：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc.已知函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinxsin\f(π,3),cosxcos\f(π,3)))，为了得到函数y＝sinx的图象，只须要把函数y＝f(x)的图象上全部的点()A．向左平移eq\f(π,3)个单位长度B．向右平移eq\f(π,3)个单位长度C．向上平移eq\f(π,3)个单位长度D．向下平移eq\f(π,3)个单位长度答案：A解析：由题设知，f(x)＝sinxcoseq\f(π,3)－cosxsineq\f(π,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，所以为了得到函数y＝sinx的图象，只须要把函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象上全部的点向左平移eq\f(π,3)个单位长度．故选A.6．定义d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满意：①|b|＝1；②a≠b；③对随意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则()A．a⊥bB．a⊥(a－b)C．b⊥(a－b)D．(a＋b)⊥(a－b)答案：C解析：由题意知d(a，tb)≥d(a，b)⇔|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2，又|b|＝1，所以绽开整理得t2－2a·bt＋2a·因为上式对随意t∈R恒成立，所以Δ＝4(a·b)2－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)2≤0，所以a·b＝1.于是，b·(a－b)＝a·b－|b|2＝1－12＝0，所以b⊥(a－b7．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若三棱锥P－ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A．8πB．12πC．20πD．24π答案：C解析：在如图中的长方体中可找到适合题意的三棱锥P－ABC，则BC＝eq\r(AC2－AB2)＝2eq\r(3)，所以球O的直径2R＝eq\r(PA2＋AB2＋BC2)＝eq\r(20)＝2eq\r(5)，所以R＝eq\r(5).故球O的表面积S＝4πR2＝20π.故选C.8．定义eq\f(n,\i\su(i＝1,n,u)i)为n个正数u1，u2，u3，…，un的“欢乐数”．若已知数列{an}的前n项的“欢乐数”为eq\f(1,3n＋1)，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(36,an＋2an＋1＋2)))的前2019项和为()A.eq\f(2018,2019)B.eq\f(2019,2020)C.eq\f(2019,2018)D.eq\f(2019,1010)答案：B解析：由题意得数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(n,\f(1,3n＋1))＝3n2＋n，易知an＝6n－2.于是，eq\f(36,an＋2an＋1＋2)＝eq\f(36,6n×6n＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，故数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(36,an＋2an＋1＋2)))的前2019项和为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2019)－\f(1,2020)))＝1－eq\f(1,2020)＝eq\f(2019,2020).故选B.9．[2024·陕西咸阳模考]设函数f(x)的定义域为D，假如对随意的x1∈D，存在x2∈D，使得f(x1)＝－f(x2)成立，则称函数f(x)为“H函数”．下列为“H函数”的是()A．f(x)＝sinxcosx＋cos2xB．f(x)＝lnx＋exC．f(x)＝2xD．f(x)＝x2－2x答案：B解析：由题意知，“H函数”的值域关于原点对称．选项A中，因为f(x)＝sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1＋cos2x,2)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋eq\f(1,2)，所以函数f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＋\f(1,2)，\f(\r(2),2)＋\f(1,2)))，该函数的值域不关于原点对称，故选项A中的函数不是“H函数”；选项B中，函数f(x)＝lnx＋ex在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)的值域为R，关于原点对称，故选项B中的函数是“H函数”；选项C中，函数f(x)＝2x的值域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故选项C中的函数不是“H函数”；选项D中，因为f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以该函数的值域为[－1，＋∞)，不关于原点对称，故选项D中的函数不是“H函数”．综上，选B.10．[2024·陕西渭南二模]定义一种运算：(a1，a2)⊗(a3，a4)＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝(eq\r(3)，2sinx)⊗(cosx，cos2x)的图象向左平移n(n>0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,4)C.eq\f(5π,12)D.eq\f(π,3)答案：C解析：由新运算可知f(x)＝eq\r(3)cos2x－sin2x＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以将函数f(x)的图象向左平移eq\f(5π,12)个单位长度后，得到函数y＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,12)))＋\f(π,6)))的图象，即y＝－2cos2x的图象，明显该函数为偶函数．经检验知选项A，B，D错误，选C.11．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫作单位分数，我们可以把1拆分成多个不同的单位分数之和．例如：1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,20)，…，依此拆分方法可得，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＋eq\f(1,30)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,56)＋eq\f(1,72)＋eq\f(1,90)＋eq\f(1,110)＋eq\f(1,132)＋eq\f(1,156)＋eq\f(1,182)，其中m，n∈N*，则m－n＝()A．－2B．－4C．－6D．－8答案：C解析：由题易知，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,20)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,5))).依此类推，得1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＋eq\f(1,30)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,56)＋eq\f(1,72)＋eq\f(1,90)＋eq\f(1,110)＋eq\f(1,132)＋eq\f(1,156)＋eq\f(1,182)＝eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,6)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)－\f(1,7)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,13)－\f(1,14)))，易知eq\f(1,m)＝eq\f(1,14)，eq\f(1,n)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,5)＝eq\f(1,20)，解得m＝14，n＝20，所以m－n＝－6.故选C.12．若定义在R上的奇函数f(x)满意对随意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，则称该函数为满意约束条件K的一个“K函数”．下列为“K函数”的是()A．f(x)＝x＋1B．f(x)＝－x3C．f(x)＝eq\f(1,x)D．f(x)＝x|x|答案：D解析：选项A中，函数f(x)＝x＋1不是奇函数，故选项A中的函数不是“K函数”．选项C中，函数f(x)＝eq\f(1,x)的定义域不是R，故选项C中的函数不是“K函数”．已知定义在R上的奇函数f(x)满意对随意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，等价于奇函数f(x)在R上单调递增．选项B中，函数f(x)＝－x3在R上单调递减，故选项B中的函数不是“K函数”．选项D中，函数f(x)＝x|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,－x2，x<0))在R上单调递增且为奇函数，故选项D中的函数是“K函数”．故选D.13．集合A＝{a1，a2，a3，…，an，n≥2}，假如A中的元素满意a1a2…an＝a1＋a2＋…＋an，就称A①集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(5),2)，\f(－1－\r(5),2)))是“复活集”；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不行能是“复活集”．其中正确的结论是________．(填序号)答案：①③解析：①eq\f(－1＋\r(5),2)×eq\f(－1－\r(5),2)＝eq\f(－1＋\r(5),2)＋eq\f(－1－\r(5),2)＝－1，故①正确；②不妨设a1＋a2＝a1a2＝t，则由根与系数的关系知a1，a2是一元二次方程x2－tx＋t＝0的两个根，由Δ＝(－t)2－4t>0，可得t<0或t③不妨设a1<a2<a3<…<an，由a1a2…an＝a1＋a2＋…an<nan，得a1a2…an－1<n，当n＝2时，有a1<2，又a1∈N*，∴a1＝1，于是由a1＋a2＝a1a2得1＋a2＝a2，无正整数解，即当a1，a2∈N*时，{a1，14．在一个数列中，假如∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.答案：28解析：依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.15．[2024·陕西西安交大附中模考]在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xe1＋ye2，其中e1，e2分别为x轴、y轴正方向的单位向量，则有序实数对(x，y)叫作向量eq\o(OP,\s\up6(→))在平面斜坐标系xOy中的坐标，即点P的斜坐标为(x，y)．在平面斜坐标系xOy中，若点P(x，y)在以O为圆心，1为半径的圆上，则x＋y的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))解析：由题设得|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝1，所以|xe1＋ye2|＝1，又向量e1，e2的模均为1，且夹角为60°，所以两边平方化简得x2＋y2＋xy＝1.方法一变形得(x＋y)2－1＝xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2，当且仅当x＝y时取等号，所以eq\f(3,4)(x＋y)2≤1，解得－eq\f(2\r(3),3)≤x＋y≤eq\f(2\r(3),3).故所求x＋y的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3))).方法二变形得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)))2＋eq