浙江专用2025版高考数学大一轮复习第十章计数原理与古典概率第6讲离散型随机变量及其分布列练习含解析

PAGEPAGE2第6讲离散型随机变量及其分布列[基础达标]1．设某项试验的胜利率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的胜利次数，则P(X＝0)等于()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)解析：选C.设X的分布列为X01Pp2p即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验胜利．由p＋2p＝1，得p＝eq\f(1,3)，故应选C.2．(2024·绍兴调研)在15个村庄中有7个村庄交通不便利，现从中随意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不便利的村庄数，则下列概率中等于eq\f(Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(6,8),Ceq\o\al(10,15))的是()A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)解析：选C.X听从超几何分布，P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,7)Ceq\o\al(10－k,8),Ceq\o\al(10,15))，故k＝4，故选C.3．设随机变量Y的分布列为Y－123Peq\f(1,4)meq\f(1,4)则“eq\f(3,2)≤Y≤eq\f(7,2)”的概率为()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4) D．eq\f(2,3)解析：选C.依题意知，eq\f(1,4)＋m＋eq\f(1,4)＝1，则m＝eq\f(1,2).故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤Y≤\f(7,2)))＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).4．设随机变量X的概率分布列如下表所示：X012Paeq\f(1,3)eq\f(1,6)若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,6)解析：选D.由分布列的性质，得a＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1，所以a＝eq\f(1,2).而x∈[1，2)，所以F(x)＝P(X≤x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).5．已知离散型随机变量X的分布列为X012P0.51－2qeq\f(1,3)q则P(eq\r(X)∈Z)＝()A．0.9 B．0.8C．0.7 D．0.6解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q＋eq\f(1,3)q＝1，解得q＝0.3，所以P(eq\r(X)∈Z)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________．解析：抛掷2颗骰子有36个基本领件，其中X＝2对应(1，1)；X＝3对应(1，2)，(2，1)；X＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(1,36)＋eq\f(2,36)＋eq\f(3,36)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)7．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．解析：设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，所以a＝eq\f(1,3)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0，,\f(1,3)＋d≥0，))得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))8．若离散型随机变量X的分布列为X01P9c2－c3－8c则常数c＝________，P(X＝1)＝________．解析：依分布列的性质知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9c2－c≥0，,3－8c≥0，,9c2－c＋3－8c＝1，))解得c＝eq\f(1,3)，故P(X＝1)＝3－8×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)eq\f(1,3)9．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，登记它的颜色，然后放回，再取一球，又登记它的颜色，则这两次取出白球数X的分布列为________．解析：X的全部可能值为0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1)×2,Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,4).所以X的分布列为X012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)答案：X012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)10.(2024·温州市高考模拟)袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是________，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则P(X＝k)取最大值时，k的值为________．解析：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：n＝Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,3)＝45.设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,84)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(18,84)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(45,84)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(20,84)，所以P(X＝k)取最大值时，k的值为2.答案：45211．抛掷一枚质地匀称的硬币3次．(1)写出正面对上次数X的分布列；(2)求至少出现两次正面对上的概率．解：(1)X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,3),23)＝eq\f(1,8)；P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3),23)＝eq\f(3,8)；P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),23)＝eq\f(3,8)；P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),23)＝eq\f(1,8).所以X的分布列为X0123Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)(2)至少出现两次正面对上的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(1,2).12．(2024·台州高三质检)在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．(1)求该顾客中奖的概率；(2)求该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．解：(1)该顾客中奖的概率P＝1－eq\f(Ceq\o\al(0,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝1－eq\f(15,45)＝eq\f(2,3).(2)X的全部可能取值为0，10，20，50，60，且P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，P(X＝10)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,5)，P(X＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，P(X＝50)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,15)，P(X＝60)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,15).故X的分布列为X010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)[实力提升]1．(2024·浙江中学学科基础测试)一个袋子装有大小形态完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中随意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列．解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事务A，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事务B，则P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(28,84)＝eq\f(1,3)，所以P(A)＝1－P(B)＝eq\f(2,3).(2)X的取值为1，2，3，4，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(49,84)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(25,84)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(9,84)，P(X＝4)＝eq\f(1,Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,84).所以X的分布列为X1234Peq\f(7,12)eq\f(25,84)eq\f(3,28)eq\f(1,84)2.(2024·惠州市第三次调研考试)某高校志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事务A，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(0,3)·Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为eq\f(49,60).(2)随机变量X的全部可能值为0，1，2，3.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,4)·Ceq\o\al(3－k,6),Ceq\o\al(3,10))(k＝0，1，2，3)．所以随机变量X的分布列为X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)3.小波以嬉戏方式确定是参与学校合唱团还是参与学校排球队．嬉戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参与学校合唱团，否则就参与学校排球队．(1)求小波参与学校合唱团的概率；(2)求X的分布列．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有Ceq\o\al(2,8)＝28(种)，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参与学校合唱团的概率为P(X＝0)＝eq\f(8,28)＝eq\f(2,7).(2)两向量数量积X的全部可能取值为－2，－1，0，1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为X－2－101Peq\f(1,14)eq\f(5,14)eq\f(2,7)eq\f(2,7)4.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为eq\f(1,7).现在甲、乙两人从袋中轮番摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X表示终止时所须要的取球次数．(1)求袋中原有白球