山东省聊城市冠县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

2024—2025学年第一学期期末学业水平检测八年级数学试题亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明：1．试题共6页，满分120分，考试时间120分钟．2．将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置．3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．4．考试结束，答题卡和试题一并交回．愿你放松心情，放飞思维，充分发挥，争取交一份圆满的答卷．一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合要求）1.以下是四届冬奥会会标的一部分，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列分式是最简分式的是（）A. B. C. D.3.如图，在等腰三角形中，，是边上的高，则下列结论不正确的是（）A B. C.平分 D.4.如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过（）判定三角形全等．A. B. C. D.5.甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩(个数)如图，下列判断正确的是()A.甲的成绩比乙稳定B.甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大C.甲最好成绩比乙的最好成绩高D.甲的成绩的中位数比乙大6.分式的值为0，则的值为（）A.4 B. C. D.7.如图，点A在直线l上，△ABC与关于直线l对称，连接，分别交AC，于点D，，连接，下列结论不一定正确的是（）A. B.C. D.8.如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（

）A. B. C. D.9.下列各组所述几何图形中，一定全等是（）A.一个角是两个等腰三角形 B.两个等边三角形C.腰长相等的两个等腰直角三角形 D.各有一个角是，腰长都为的两个等腰三角形10.如图，在△中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④．其中正确的是（）A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11.命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是______．12.线段和的比例中项是______．13.抽样调查了某校30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）：尺码3334353637人数761511这组数据的众数是______．14.如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长为____________．15.如图，点D，E分别在的边上，且，点F在边的延长线上，若，，则______．16.如图，在五边形中，，，在边上分别找一点M，N，连接，则当的周长最小时，求的值是________．三、解答题（共8小题，满分72分）17.如图，在中，，点E在延长线上，，垂足为P，交于点F．求证：是等腰三角形．18.如图，已知点D、E为的边上两点．，为了判断与的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据．解：过点A作，垂足为H．∵在中，（已知）（所作），（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）．又（已知），（______）．即：______．又∵，垂足为H（所作），∴垂直平分．（______）．（______）．19.在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上．（1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标；（2）在轴上求作点，使得最小，请你直接写出点坐标；（3）若点为轴上一动点，且满足的面积为1，请你直接写出点坐标．20.化简与解方程．（1）；（2）．（3）；（4）21.阅读有益的课外书不但有助于学生开阔视野、培养广泛的兴趣爱好，而且可以增长见识某校为鼓励学生阅读课外书籍，组织八年级全体同学参加了假期海量读书活动，随机抽查了部分学生的读书本数，进行整理后绘制成如图所示的统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）被抽取学生读书本数的中位数为本；（2）请计算被抽取学生读书本数的平均数（3）若参加此次读书活动的共有200名学生，请你估计读书本数不低于6本的学生有多少名？22.如图，和都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动的时间为t秒．（1）点P，Q从出发到相遇所用时间是_______秒；（2）当t取何值时，也是等边三角形？请说明理由．23.项目学习方案：项目情景元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务素材一采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍任务一小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：①；小组成员乙设②，由题意得方程：素材二插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成（）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同任务二求的值（1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______．（2）完成任务二．24.（1）方法呈现：如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在中，点D是中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明．

2024—2025学年第一学期期末学业水平检测八年级数学试题亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明：1．试题共6页，满分120分，考试时间120分钟．2．将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置．3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．4．考试结束，答题卡和试题一并交回．愿你放松心情，放飞思维，充分发挥，争取交一份圆满的答卷．一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合要求）1.以下是四届冬奥会会标的一部分，其中是轴对称图形的是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合要求；B、不是轴对称图形，故不符合要求；C、是轴对称图形，故符合要求；D、不是轴对称图形，故不符合要求；故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握轴对称的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．2.下列分式是最简分式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据最简分式的定义依次判断即可．【详解】解：A：，不符合题意；B：，不符合题意；C：是最简分式，符合题意；D：，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查最简分式，解题的关键是熟知一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式．3.如图，在等腰三角形中，，是边上的高，则下列结论不正确的是（）A. B. C.平分 D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质逐项分析判定即可．【详解】解：∵，是边上的高，∴，，即平分，∴，故选项A、C、D正确，不符合题意，而已知条件无法证明，故选项B错误，符合题意．故选：B．4.如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过（）判定三角形全等．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由三边相等得，即由判定三角形全等．【详解】解：根据题意，，又，为公共边，，故选：B．5.甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩(个数)如图，下列判断正确的是()A.甲的成绩比乙稳定B.甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大C.甲的最好成绩比乙的最好成绩高D.甲的成绩的中位数比乙大【答案】A【解析】【分析】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均数的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数和平均数．分别计算出两人成绩的平均数、中位数、最好成绩、方差可得出答案．【详解】甲同学的成绩按从小到大顺序依次为：、、、、，则其中位数为7，平均数为7，最好成绩是，方差为；乙同学的成绩依次为：、、、、，则其中位数为，平均数为，最好成绩是，方差为，甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低．故选：A．6.分式的值为0，则的值为（）A.4 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式为零的条件，利用平方根解方程．熟练掌握分式有意义的条件，分式为零的条件，利用平方根解方程，是解题的关键．由题意知，，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，解得，且，∴，故选：A．7.如图，点A在直线l上，△ABC与关于直线l对称，连接，分别交AC，于点D，，连接，下列结论不一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用轴对称性质和全等三角形的性质逐项判断即可．【详解】解：与关于直线对称，，，，，，，，即选项A、B正确；由轴对称的性质得：，，即，选项C正确；由轴对称的性质得：，但不一定等于，即选项D不一定正确；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．8.如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，画已知线段的作法，熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键．先利用题中作法得出和垂直平分，再利用线段垂直平分线的性质得出，最后利用线段的和差即可解决．【详解】解：∵以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，∴，∵分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．∴垂直平分，∴，∴的周长为，∵，，∴的周长为，故选：D．9.下列各组所述几何图形中，一定全等的是（）A.一个角是的两个等腰三角形 B.两个等边三角形C.腰长相等的两个等腰直角三角形 D.各有一个角是，腰长都为的两个等腰三角形【答案】C【解析】【分析】利用三角形全等的判定方法对选项这个进行判断．（如、、、等）【详解】解：、不正确，因为没有指出该角是顶角还是底角则无法判定其全等；、不正确，因为没有指出其边长相等，而全等三角形的判定必须有边的参与，所以该项不正确；、正确，因为符合；、不正确，因为没有说明该角是顶角还是底角．故选：．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法的理解及运用，做题时要确定各角、边的对应关系．10.如图，在△中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④．其中正确的是（）A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④【答案】B【解析】【分析】由角平分线的性质推出，得到，而，得到，由等腰三角形三线合一的性质推出垂直平分，只有当时，，由三角形面积公式即可得到．【详解】解：∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，故①符合题意；∵，∴，∵平分，∴垂直平分，故②符合题意；如果，∵，∴，∵，∴，∴，但和不一定相等，故③不符合题意；∵的面积，的面积，，∴，故④符合题意，∴正确的是①②④．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线的判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线的性质．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11.命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是______．【答案】三个内角相等的三角形是等边三角形【解析】【分析】逆命题就是原命题的题设和结论互换,找到原命题的题设为等边三角形,结论为三个内角相等,互换即可．【详解】解:命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是“三个内角相等的三角形是等边三角形”.【点睛】本题考查逆命题的概念,解决本题的关键是熟练掌握逆命题的概念,知道题设和结论互换．12.线段和的比例中项是______．【答案】1【解析】【分析】根据比例中项的概念，比例中项的平方等于两条线段的乘积，列出比例式即可求解，本题考查了比例中项的概念，解题的关键是：比例中项作为线段长度，需舍去负根．【详解】解：设两条线段的比例中项是，，解得：，（舍），故答案为：1．13.抽样调查了某校30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）：尺码3334353637人数761511这组数据的众数是______．【答案】35码【解析】【分析】本题考查了众数的定义，根据一组数据中出现次数最多的数就是众数，即可作答．【详解】解：依题意，尺码为35的人数是人，相对于其他尺码，人数是最多的，这组数据的众数是35码，故答案为：35码．14.如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长为____________．【答案】【解析】【分析】由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，即可得出答案．【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，，，，，周长为．故答案为：．【点睛】本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．15.如图，点D，E分别在的边上，且，点F在边的延长线上，若，，则______．【答案】##度【解析】【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角定理，根据、即可求解．【详解】解：∵，点F在边的延长线上，∴∴，∵∴故答案为：16.如图，在五边形中，，，在边上分别找一点M，N，连接，则当的周长最小时，求的值是________．【答案】##80度【解析】【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，当的周长最小时，周长为，再由对称性可得，则可求．【详解】解：作点关于对称点，关于的对称点，连接，，，，，，，当的周长最小时，不等式取等号，即周长为，，、、共线，、、共线，，，，，，，故答案为：．三、解答题（共8小题，满分72分）17.如图，在中，，点E在延长线上，，垂足为P，交于点F．求证：是等腰三角形．【答案】见详解【解析】【分析】根据得，再根据垂直定义得，进而根据直角三角形的两个锐角互余得，，由此得，则，即可作答．此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，互为余角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，互为余角的性质是解决问题的关键．【详解】解：，，，，和是直角三角形，，，又有，，∵，，，是等腰三角形．18.如图，已知点D、E为的边上两点．，为了判断与的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据．解：过点A作，垂足为H．∵在中，（已知）（所作），（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）．又（已知），（______）．即：______．又∵，垂足为H（所作），∴垂直平分．（______）．（______）．【答案】；；；；等式的基本性质①；；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等边对等角【解析】【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．过点A作，垂足为．先根据三线合一得到，结合已知得到，进而得到为线段的垂直平分线，则有，根据等边对等角可得结论．【详解】解：过点A作，垂足为．在中，（已知）（所作），（三线合一）．又（已知），（等式的基本性质①）．即：．又，垂足为（所作），为线段的垂直平分线．（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．（等边对等角）．19.在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上．（1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标；（2）在轴上求作点，使得最小，请你直接写出点坐标；（3）若点为轴上一动点，且满足的面积为1，请你直接写出点坐标．【答案】（1）图见解析，点的坐标是（2）图见解析，D点坐标是（3）【解析】【分析】（1）根据题意和图形，可以画出关于x轴对称的，并写出点的坐标；（2）根据轴对称和两点之间线段，可以得到使得最小时点D所在的位置，然后写出D点坐标即可；（3）分3种情况结合图形求解即可．【小问1详解】解：如图所示，即为所求，点的坐标是；【小问2详解】解：作点A关于y轴的对称点，连接与y轴交于点D，则此时最小，D点坐标是．【小问3详解】解：如图，当时，．如图，当P点横坐标大于1，时，，不符合题意；当P点横坐标小于1时，同理可求，不符合题意；综上可知，当的面积为1时，点坐标．【点睛】本题考查作图-轴对称图象、最短路径问题，坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20.化简与解方程．（1）；（2）．（3）；（4）【答案】（1）原分式方程无解（2）（3）2（4）【解析】【分析】本题考查了解分式方程，分式混合运算，熟练掌握分式方程的解法和分式的运算法则是解决本题的关键．（1）先等号两边同时乘以，再去括号，移项，再把的系数化为1，最后进行检验即可；（2）先等号两边同时乘以去分母，再去括号，移项，再把的系数化为1，最后进行检验即可；（3）先利用平方差公式，再计算乘法，最后计算减法即可．（4）先计算括号内，再利用平方差公式和完全平方公式，将除法转换成乘法计算即可．【小问1详解】解：，去分母，得，去括号，得，解得，检验：把代入最简公分母：，故是增根，原分式方程无解．【小问2详解】解：，去分母，得：，去括号，得：，解得，检验：当时，，原分式方程的解．【小问3详解】解：；【小问4详解】解：．21.阅读有益的课外书不但有助于学生开阔视野、培养广泛的兴趣爱好，而且可以增长见识某校为鼓励学生阅读课外书籍，组织八年级全体同学参加了假期海量读书活动，随机抽查了部分学生的读书本数，进行整理后绘制成如图所示的统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）被抽取学生读书本数的中位数为本；（2）请计算被抽取学生读书本数的平均数（3）若参加此次读书活动的共有200名学生，请你估计读书本数不低于6本的学生有多少名？【答案】（1）（2）被抽取学生读书本数的平均数为本；（3）估计读书本数不低于6本的学生有名．【解析】【分析】本题考查了数据分析中的条形统计图、中位数、加权平均数、利用样本估算总体等知识，准确的分析条形统计图和正确的计算是解决本题的关键，（1）数据按照大小排好顺序后，最中间的数据的一个数或两个数的平均数就是中位数；（2）利用平均数公式求解即可；（3）用样本估算总体即可．【小问1详解】解：分析统计图中的数据可知，此次参加比赛成绩的人数是人，数据按照大小排好顺序后，最中间的两个数是6，6，故中位数是：；【小问2详解】解：（本），∴被抽取学生读书本数的平均数为本；【小问3详解】解：（名），∴估计读书本数不低于6本的学生有名．22.如图，和都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动的时间为t秒．（1）点P，Q从出发到相遇所用时间是_______秒；（2）当t取何值时，也是等边三角形？请说明理由．【答案】（1）4（2）当时，也是等边三角形，理由见解析【解析】【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及一元一次方程的应用，根据已知图形得出对应线段关系是解题的关键．()根据相遇问题，由路程速度时间，建立等式求出的值即可；()根据若是等边三角形，此时点在上，点在上，且，进而得出，求出即可．【小问1详解】解：设点从出发到相遇所用时间是，根据题意得：，解得，故答案为：；【小问2详解】解：如图，若是等边三角形，此时点在上，点在上，，和都是边长为4厘米的等边三角形，，，则，即，解得，∴当时，也是等边三角形．23.项目学习方案：项目情景元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务素材一采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍任务一小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：①；小组成员乙设②，由题意得方程：素材二插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成（）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同任务二求的值（1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______．（2）完成任务二．【答案】（1）；每枝种花卉单价为元（2）【解析】【分析】本题考查分式方程解应用题，读懂题意，找准等量关系准确列出方程是解决问题的关键．（1）设用320元购买的种花卉的数量为，则每枝种花卉单价为元，根据用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍，即可列方程；结合可知表示用320元购买的种花卉