2017-2018学年人教A版高中数学选修2-2课后提升训练十153定积分的概念

课后提升训练十定积分的概念(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.计算定积分02xA.4 B.-4 C.0D.2【解析】选A.令f(x)=x3.02x3dx≈∑i=1nf2=2=16n4[13+23+33+…+n=4n2·=4(n+1取极限02x3dx=2.下列命题不正确的是()A.若f(x)是连续的奇函数,则-aB.若f(x)是连续的偶函数,则-aaC.若f(x)在[a,b]上连续且恒正,则abD.若f(x)在[a,b]上连续且ab【解析】选D.对于A,f(x)=f(x),-aaf(x)dx=-=0af(x)dx+0af(x)dx=0,同理B正确;由定积分的几何意义知,当f(x)>0时,3.已知13A.12f(x)dx=28 B.C.122f(x)dx=56 D.12【解析】选D.由y=f(x),x=1,x=3及y=0围成的曲边梯形可分拆成两个:由y=f(x),x=1,x=2及y=0围成的曲边梯形和由y=f(x),x=2,x=3及y=0围成的曲边梯形.所以13f(x)dx=12即12f(x)dx+【补偿训练】下列值等于1的是()A.01xdx B.C.011dx D.【解析】选C.根据定积分的几何意义求.01xdx=12×1×1=12,01(x+1)dx=12×(1+2)×1=32,014.如图所示,f(x)在区间[a,b]上,则阴影部分的面积S为()A.abB.acf(x)dxC.acf(x)dxD.acf(x)dx+【解析】选D.在[a,c]上,f(x)≤0,在[c,b]上,f(x)≥0,则在[a,b]上阴影部分的面积S=acf(x)dx+5.(2017·长春高二检测)由曲线y=ex和x=0,y=2围成图形的面积S表示为()A.0ln2exdx B.2ln20ln2C.0ln2(2+ex)dx 【解析】选B.如图所示,可先求得由x轴,x=0,x=ln2和y=ex围成的曲边梯形的面积I,即为0ln2exdx,再由矩形面积2l【补偿训练】已知曲线y=f(x)在x轴下方,则由y=f(x),y=0,x=1和x=3所围成的曲线梯形的面积S可表示为()A.-13f(x)dx C.-13f(x)dx 【解析】选C.因为f(x)位于x轴下方,故f(x)<0,所以-136.用定积分计算y=x2和y=x所围成的面积等于()A.01(x2x)dx B.01(C.02(xx2)dx D.0【解析】选B.如图所示:y=x2和y=x交于两点(0,0),(1,1).所以S=01xdx0=01(xx7.(2017·合肥高二检测)定积分01xdx与A.01xdx=01xdx C.01xdx<01【解析】选C.在同一坐标系中画出y=x与y=x的图象如图,由图可见,当x∈(0,1)时,y=x的图象在y=x的图象上方,由定积分的几何意义知,01xdx<8.(2017·天津高二检测)某汽车做变速直线运动,在时刻t(单位:h)时的速度为v(t)=t2+2t(单位:km/h),那么它在3≤t≤4这段时间内行驶的路程s(单位:km)可表示为()A.34(t2+2t)dt B.C.t3+2t2 D.43(t【解题指南】物体在某段时间内行驶的路程可以用定积分表示,其中被积函数是速度关于时间的函数.【解析】选A.如图所示,阴影部分的面积表示汽车在3≤t≤4这段时间内行驶的路程s,则s=34=34(t二、填空题(每小题5分,共10分)9.将limn→∞【解析】由定积分的定义lim=limn→∞∑i=1n(1in+1)·1=01答案:0110.02【解题指南】利用定积分的几何意义求解.【解析】设y=4-x2,则x2+y2=4(y≥0),由定积分的几何意义知024-x2dx的值等于半径为2的圆的面积的14.所以答案:π【延伸探究】利用定积分的几何意义,计算:12【解析】由定积分的几何意义知,所求积分是图中阴影部分的面积.易知AB=3,∠AOB=π3,所以124-x2dx=S=16×4π12三、解答题(每小题10分,共20分)11.利用定积分定义计算-12【解析】将区间[1,2]n等分,得每个小区间的长度h=3n取ξi=1+ih(i=0,1,2,…,n1),作和Sn=∑i=0n-1(1+ih)=nh2h2∑i=0n-1i+h3∑i=0于是limn→∞Sn即-12【方法总结】利用定义求定积分时要注意将[1,2]n等分,利用极限求定积分的值.12.(2017·重庆高二检测)已知f(x)=x求f(x)在区间[0,5]上的定积分.【解析】由定积分的几何意义知02xdx=12×23(4x)dx=12×(1+2)×35(52x2)dx=1所以05=02xdx+23(4x)dx+3=2+32+1=9【拓展延伸】求定积分的常用技巧(1)对被积函数,要先化简,再求积分.(2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号才能积分.(4)若f(x)是偶函数,则-aaf(x)dx=2【补偿训练】设f(x)=-求02【解析】因为f(x)=-所以02f(x)dx=01又由定积分的几何意义得01