2018年数学（北师大版选修2-2）练习第3章22最大值最小值问题活页作业14

活页作业(十四)最大值、最小值问题1．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为eq\f(15,4)，则a等于()A．－eq\f(3,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)或－eq\f(3,2)解析：对y求导得y′＝－2x－2.令y′＝0，得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．当－1<a<2时，f(x)在[a,2]上是减少的，最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝eq\f(15,4)，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝－eq\f(3,2)(舍去)．答案：C2．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2 B．0C．2 D．4解析：对y求导得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．令f′(x)＝0可得x＝0或x＝2(舍去)，当－1≤x<0时，f′(x)>0；当0<x≤1时，f′(x)<0.所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2.答案：C3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，A．eq\f(\r(3),3)cm B．eq\f(10\r(3),3)cmC．eq\f(16\r(3),3)cm D．eq\f(20\r(3),3)cm解析：设圆锥的高为xcm，则底面半径为eq\r(202－x2)cm，其体积为V＝eq\f(1,3)πx(202－x2)(0<x<20)，V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)，令V′＝0，解得x1＝eq\f(20,3)eq\r(3)，x2＝－eq\f(20,3)eq\r(3)(舍去)．当0<x<eq\f(20\r(3),3)时，V′>0；当eq\f(20\r(3),3)<x<20时，V′<0.∴当x＝eq\f(20\r(3),3)时，V取最大值．答案：D4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A．13万件 B．11万件C．9万件 D．7万件解析：x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，解得x＝9.∴x∈(0,9)时，y′>0；x∈(9，＋∞)时，y′<0.∴x＝9时函数取得最大值．答案：C5．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，A．2mC．4m解析：设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝(4.5－3x)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(3,2))).∴长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(3,2))).∴V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)．当0<x<1时，V′(x)>0；当1<x<eq\f(3,2)时，V′(x)<0.∴在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．∴最大体积Vmax＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)．答案：B6．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________.解析：f′(x)＝3x2－12.由f′(x)>0，得x>2或x<－2；由f′(x)<0，得－2<x<2.∴f(x)在[－3，－2]上是增加的，在[－2,2]上是减少的，在[2,3]上是增加的．又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，∴最大值M＝24，最小值m＝－8.∴M－m＝24－(－8)＝32.答案：327．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时，它的面积最大．解析：如右图，设∠OBC＝θ，则0<θ<eq\f(π,2)，OD＝rsinθ，BD＝rcosθ.∴S△ABC＝rcosθ(r＋rsinθ)＝r2cosθ＋r2sinθcosθ.令S′△ABC＝－r2sinθ＋r2(cos2θ－sin2θ)＝0，得cos2θ＝sinθ.又0<θ<eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,6).即当θ＝eq\f(π,6)时，△ABC的面积最大．∴高为OA＋OD＝r＋eq\f(r,2)＝eq\f(3r,2)时面积最大．答案：eq\f(3r,2)8．函数y＝x＋2cosx在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值是________．解析：对f(x)求导得f′(x)＝1－2sinx.由f′(x)＝0，得x＝eq\f(π,6).∴在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上，f′(x)＞0，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上，f′(x)＜0.∴在x＝eq\f(π,6)处f(x)取到极大值也是最大值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(π,6)＋eq\r(3).答案：eq\f(π,6)＋eq\r(3)9．已知函数f(x)＝x2－lnx－ax，a∈R.(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)>x，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－lnx－x，f′(x)＝eq\f(2x＋1x－1,x).当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.∴f(x)的最小值为f(1)＝0.(2)由f(x)>x，得f(x)－x＝x2－lnx－(a＋1)x>0.∵x>0，∴f(x)>x等价于x－eq\f(lnx,x)>a＋1.令g(x)＝x－eq\f(lnx,x)，则g′(x)＝eq\f(x2－1＋lnx,x2).当x∈(0,1)时，g′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0.∴g(x)有最小值g(1)＝1.∴a＋1<1，即a的取值范围是(－∞，0)．10．某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000m2，该中心每块球场的建设面积为1000m2，球场每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)lnx))来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和解：设建成x个球场，则1≤x≤10，每平方米的购地费用为eq\f(128×104,1000x)＝eq\f(1280,x)元．∵每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)lnx))来表示，∴每平方米的综合费用为g(x)＝f(x)＋eq\f(1280,x)＝800＋160lnx＋eq\f(1280,x)(x>0)，∴g′(x)＝eq\f(160x－8,x2)(x>0)．令g′(x)＝0，则x＝8.当0<x<8时，g′(x)<0；当x>8时，g′(x)>0.∴当x＝8时，函数取得极小值，且为最小值．故当建成8块球场时，每平方米的综合费用最省．11．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(t)与每吨产品的价格P(元/t)之间的关系式为P＝24200－eq\f(1,5)x2，且生产xt的成本为C＝50000＋200x(元)，则月产量为多少t时，利润达到最大值？()A．100 B．160C．200 D．240解析：根据题意，列出函数关系式，求导求解．每月生产xt时的利润为f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(24200－\f(1,5)x2))x－(50000＋200x)＝－eq\f(1,5)x3＋24000x－50000(x≥0)．令f′(x)＝－eq\f(3,5)x2＋24000＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．∵f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，∴它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－eq\f(1,5)×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)．∴每月生产200t产品时利润达到最大，最大利润为315万元．答案：C12．容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时用料最省．解析：设方底无盖水箱的底面边长为a，高为h，则V＝a2h＝256，即h＝eq\f(256,a2).用料最省，即表面积最小，由题意列式如下：S表＝S底＋S侧＝a2＋4ah＝a2＋4aeq\f(256,a2)＝a2＋eq\f(1024,a)S′＝2a－eq\f(1024,a2).令S′＝0，即2a－eq\f(1024,a2)＝0，解得a＝8.当0<a<8时，S′<0；当a>8时，S′>0.∴当a＝8时，S表取得极小值，也是最小值．∴h＝eq\f(256,64)＝4.答案：413．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值为________，最小值为________．解析：∵f′(x)＝－36＋6x＋12x2，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝eq\f(3,2).当x>eq\f(3,2)时，f(x)是增加的；当－2≤x≤eq\f(3,2)时，f(x)是减少的．∴在[－2，＋∞)上无最大值．又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－28eq\f(3,4)，∴最小值为－28eq\f(3,4).答案：不存在－28eq\f(3,4)14．函数f(x)＝eq\r(100－x2)，当－6≤x≤8时的最大值为________，最小值为________．解析：f′(x)＝－eq\f(x,\r(100－x2))，令f′(x)＝0，得x＝0.又f(－6)＝8，f(0)＝10，f(8)＝6.∴f(x)min＝6，f(x)max＝10.答案：10615．已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元，设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每销售1千件的收入为R(x)万元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10.8－\f(1,30)x20<x≤10，,\f(108,x)－\f(1000,3x2)x>10.))(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数关系式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？解：(1)当0<x≤10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－eq\f(x3,30)－10；当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－eq\f(1000,3x)－2.7x.∴W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8.1x－\f(x3,30)－100<x≤10，,98－\f(1000,3x)－2.7xx>10.))(2)当0<x≤10时，令W′＝8.1－eq\f(x2,10)＝0，得x＝9.且x∈(0,9)时，W′>0；x∈(9,10)时，W′<0.∴当x＝9时，W取极大值，也是最大值，且Wmax＝8.1×9－eq\f(1,30)×93－10＝38.6；当x>10时，令W′＝eq\f(1000,3x2)－2.7＝0，得x＝eq\f(100,9).当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(100,9)))时，W′>0；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,9)，＋∞))时，W′<0.∴当x＝eq\f(100,9)时，W取极大值，也是最大值，且Wmax＝98－eq\f(1000,3×\f(100,9))－2.7×eq\f(100,3)＝38.综上可知，x＝9时，W有最大值38.6，即年产量为9千件时，该公司所获年利润最大．16．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．解：(1)由(1，c)为公共切点，f(x)＝ax2＋1(a>0)，则f′(x)＝2ax，k1＝2a，g(x)＝x3＋bx，g′(x)＝3x2＋b，k2＝3＋b.∴2a＝3＋b又f(1)＝a＋1，g(1)＝1＋b，∴a＋1＝1＋b，即a＝b，代入①式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝3.))(2)∵a2＝