广东省阳江市江城区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（原卷版+解析版）

2024-2025学年广东省阳江市江城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.汉语是中华民族智慧结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（）A.旭日东升 B.画饼充饥 C.竹篮打水 D.守株待兔3.未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（）A. B. C. D.5.将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A. B.C. D.6.若关于x的方程没有实数根，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.7.如图，教室内地面有个倾斜畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（）A. B. C. D.8.正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（）A.7 B.8 C.9 D.109.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（）A. B. C. D.10.在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．11.抛物线的顶点坐标是______．12.点都在二次函数的图象上，则_____．（填或）．13.若m是一元二次方程的一个实数根，则代数式_________．14.如图，用一个半径为定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了_______（结果保留π）．15.如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为________．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．16.解方程：x2+4x﹣12＝0．17.如图，已知O是坐标原点，点B、点C的坐标分别为．（1）以O点为位似中心，在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到；（2）在（1）的条件下，若面积为m，则的面积为．18.如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题．（1）求关于的函数解析式．（2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19.2024年12月1日，阳江核电•2024阳江海陵岛马拉松在海陵岛螺洲海滨公园鸣枪开跑．来自国内外的10783名参赛选手踏上山海相依、风光秀美的赛道，感受“绿能之都，海丝名城”的独特魅力．本届赛事共设置A．马拉松，B．半程马拉松和C．欢乐跑三个项目．请解答下列问题：（1）若甲随机选择一个项目参赛，则选择的是“C．欢乐跑”的概率为；（2）甲、乙两人从A．马拉松，B．半程马拉松和C．欢乐跑这三个项目中各选择一个项目参赛，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两人恰好选择同一项目的概率．20.如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．21.综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示．（1）若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边_____，_____；（2）如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（不考虑倾斜放入且要盖上盖子）五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．22.【探究与证明】【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、．【问题解决】（1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；（2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，①试判断四边形的形状，并说明理由；②连接，求的长．23.如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标；（3）如图3，连接，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．

2024-2025学年广东省阳江市江城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．2.汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（）A.旭日东升 B.画饼充饥 C.竹篮打水 D.守株待兔【答案】D【解析】【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键．【详解】解：、旭日东升是必然事件，该选项不合题意；、画饼充饥是不可能事件，该选项不合题意；、竹篮打水是不可能事件，该选项不合题意；、守株待兔是随机事件，该选项符合题意；故选：．3.未来将是一个可以预见时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形；据此进行逐项判断即可【详解】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故该选项不符合题意；B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故该选项不符合题意；C、不是中心对称图形也不是轴对称图形，故该选项不符合题意；D、是轴对称图形也是中心对称图形，故该选项不符合题意；故选：A4.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，掌握关于原点对称的点、它们的坐标符号相反是解题的关键．根据“两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反”即可解答．【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．故选：D．5.将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：．即．故选：B6.若关于x的方程没有实数根，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式，得出关于的一元一次不等式，并解不等式得出的取值范围是解题的关键；对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程无实数根．根据根的判别式列出不等式，解不等式即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根，∴，∴．故选：A．7.如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：箕面与水平地面夹角为，，即箕面绕点旋转的度数为，故选：A．8.正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理、正多边形的中心角等知识点，掌握圆周角定理是解题的关键．如图：连接，根据圆周角定理求出中心角，再根据正多边形中心角的计算方法求出正多边形的边数即可．【详解】解：如图：连接，∵，∴，即，∴，经检验，是原方程的解，即这个正多边形是正十边形，故选：D．9.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题的关键．连接，过点O作，垂足为H，在中，由勾股定理即可求出答案．【详解】解：连接，过点O作，垂足为H，∴，在中，∴即直尺的宽度为．故选：C．10.在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得，当a＜0时，二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．符合条件的只有选项C，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．11.抛物线的顶点坐标是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点坐标是，即可求解．【详解】解：∵抛物线，∴该抛物线的顶点坐标为，故答案为：．12.点都在二次函数的图象上，则_____．（填或）．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键．根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可．【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴是y轴，当时，y随x的增大而增大，∵，∴．故答案为：13.若m是一元二次方程的一个实数根，则代数式_________．【答案】2025【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式求值等知识点，掌握整体思想成为解题的关键．把代入方程中得，即，然后整体代入求值即可．【详解】解：∵m是一元二次方程一个实数根，∴，即，∴．故答案为：2025．14.如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了_______（结果保留π）．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了弧长的计算及生活中的旋转现象，熟知弧长的计算公式是解题的关键．根据弧长的公式进行计算即可．【详解】解：由题知，因为,所以重物上升了.故答案为：.15.如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为________．【答案】5【解析】【分析】设，，则，证明，有，求解的值，根据计算求解即可得到阴影部分面积．【详解】解：设，，则由题意知，∴∴∴解得∴∴故答案为：5．【点睛】本题考查了反比例函数，矩形的性质，三角形相似的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．16.解方程：x2+4x﹣12＝0．【答案】x1=﹣6，x2=2【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：原方程变形为：（x+6）（x,﹣2）=0，∴x+6=0或x﹣2=0，∴x1=﹣6，x2=2．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并能灵活运用是解答的关键．17.如图，已知O是坐标原点，点B、点C的坐标分别为．（1）以O点为位似中心，在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到；（2）在（1）的条件下，若面积为m，则的面积为．【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了位似作图、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．（1）如图：延长到点，使，延长到点，使，连接，即可得到；（2）根据相似三角形的性质求解即可．【小问1详解】解：如图，所求；【小问2详解】解：∵将放大到原来的2倍得到，∴相似比为2，∴的面积的面积的4倍，∴的面积为．故答案为：．18.如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题．（1）求关于的函数解析式．（2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．【答案】（1）（2）小孔到蜡烛的距离为【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）把代入求出x的值即可．【小问1详解】解：根据题意，设，把，代入，得，关于的函数解析式为．【小问2详解】解：把代入，得，小孔到蜡烛的距离为．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19.2024年12月1日，阳江核电•2024阳江海陵岛马拉松在海陵岛螺洲海滨公园鸣枪开跑．来自国内外的10783名参赛选手踏上山海相依、风光秀美的赛道，感受“绿能之都，海丝名城”的独特魅力．本届赛事共设置A．马拉松，B．半程马拉松和C．欢乐跑三个项目．请解答下列问题：（1）若甲随机选择一个项目参赛，则选择的是“C．欢乐跑”的概率为；（2）甲、乙两人从A．马拉松，B．半程马拉松和C．欢乐跑这三个项目中各选择一个项目参赛，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两人恰好选择同一项目的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了概率公式、用树状图求概率等知识点，正确画出树状图成为解题的关键．（1）直接由概率公式求解即可；（2）先画树状图，可知共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好选择同一项目的结果有3种，然后由概率公式求解即可．【小问1详解】解：∵本届赛事共设置A．马拉松，B．半程马拉松和C．欢乐跑三个项目，∴甲随机选择一个项目参赛，选择的是“C．欢乐跑”的概率为．故答案为：．【小问2详解】解：根据题意：画树状图如下：由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好选择同一项目的结果有3种，∴甲、乙两人恰好选择同一项目的概率为．20.如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．（1）如图：连接，则，所以，由得，则，所以，则，即可证明结论；（2）如图：连接，由是的直径得，则，因为，所以，再证明是等边三角形求得；求出，进而得到，再利用勾股定理解答即可．【小问1详解】证明：如图：连接，则，∴，∵，∴，∴，∴，∵于点E，∴，∵是的半径，，∴是的切线．【小问2详解】解：如图：连接，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴．21.综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示．（1）若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边_____，_____；（2）如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（不考虑倾斜放入且要盖上盖子）【答案】（1）20，40（2）不能【解析】【分析】本题主要考查了长方体展开图的特点，一元二次方程的实际应用：（1）根据题意可得高的2倍加上的长等于的长，高的2倍加上2倍的的长等于的长，据此求解即可；（2）设出高，进而表示出底面长方形的长和宽，根据长方形面积计算公式建立方程求出长、宽、高，据此可得结论．【小问1详解】解：由题意得，，，故答案为：20；40；【小问2详解】解：设收纳盒高为，依题意得：整理得：，解得：（不符合题意舍去）∴收纳盒长、宽、高分别为，∵，∴玩具机械狗不能放入该收纳盒．五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．22.【探究与证明】【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、．【问题解决】（1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；（2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，①试判断四边形的形状，并说明理由；②连接，求的长．【答案】（1）22（2）①正方形，理由见解析；②2【解析】【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性质得，然后由旋转的性质得，即可求解；（2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；②过点作于点，证，得，，则，再由勾股定理求解即可；【小问1详解】解：，，，，四边形是正方形，，，，由旋转的性质得：，；【小问2详解】解：①四边形是正方形，理由如下：由旋转的性质得：，，，，四边形是矩形，又，四边形是正方形；②过点作于点，如图3所示：则，，，在和中，，，，，，．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键，属于中考常考题型