高考数学（文）创新人教A版课件第六章数列专题探究课三

高考导航对近几年高考试题统计看，全国卷中的数列与三角基本上交替考查，难度不大.考查内容主要集中在两个方面：1.以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；2.等差、等比数列的通项与求和问题，有时结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循.热点一数列的通项与求和(教材VS高考)

数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.教材探源本题第(1)问源于教材必修5P44例3，主要考查由Sn求an，本题第(2)问源于教材必修5P47B组T4，主要考查裂项相消法求和.满分解答

(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②1分(得分点1)又n＝1时，a1＝2适合上式，5分(得分点3)❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由an满足的关系式，通过消项求得an，验证n＝1时成立，写出结果.在第(2)问中观察数列的结构特征进行裂项→利用裂项相消法求得数列的前n项和Sn.❷得关键分：(1)an－1满足的关系式，(2)验证n＝1，(3)对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分.❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点2)，(得分点5)，(得分点7).求数列通项与求和的模板第一步：由等差(等比)数列基本知识求通项，或者由递推公式求通项.第二步：根据和的表达式或通项的特征，选择适当的方法求和.第三步：明确规范地表述结论.又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.热点二等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.解

(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，探究提高

解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.解

(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.∴a2＋a4＝20，由Sn＋(n＋m)an＋1<0，得2n＋1－n×2n＋1－2＋n×2n＋1＋m×2n＋1<0对任意正整数n恒成立，∴m·2n＋1<2－2n＋1，∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1热点三数列的实际应用

数列在实际问题中的应用，要充分利用题中限制条件确定数列的特征，如通项公式、前n项和公式或递推关系式，建立数列模型.【例3】

某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元，该企业2010年年底分红后的资金为1000万元. (1)求该企业2014年年底分红后的资金； (2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元.解设an为(2010＋n)年年底分红后的资金，其中n∈N*，则a1＝2×1000－500＝1500，a2＝2×1500－500＝2500，…，an＝2an－1－500(n≥2).∴an－500＝2(an－1－500)(n≥2)，因此数列{an－500}是以a1－500＝1000为首项，2为公比的等比数列，∴an－500＝1000×2n－1，∴an＝1000×2n－1＋500.(1)∵a4＝1000×24－1＋500＝8500，∴该企业2014年年底分红后的资金为8500万元.(2)由an>32500，即2n－1>32，得n>6，∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32500万元.探究提高

1.数列应用题的常见模型(1)等差模型：当后一个量与前一个量的差是一个常量时，该模型是等差模型，这个常量就是公差.(2)等比模型：当后一个量与前一个量的比是一个常数时，该模型是等比模型，这个常数就是公比.(3)递推模型：当题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1之间的递推关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系.2.解答数列应用题的基本步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清数列的结构和特征.(3)求解——求出该问题的数学解.(4)还原——将所求结果还原到实际问题中.【训练3】

(必修5P69T7)某牛奶厂2002年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的