《弹性力学》 课件 第4章 广义胡克定律

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第4章广义胡克定律与弹性常数§4.1广义胡克定律§4.2各向同性弹性§4.3弹性应变能函数§4.4横观各向同性弹性2

问题的提出§4.1广义胡克定律弹性力学问题中，物体的受力与变形情况，需用15个变量来描述。即：6个应力分量，3个位移分量，6个应变分量。已学的基本方程-9个。包括：变形体的平衡微分方程（微元体的力平衡）3个，几何方程（应变-位移关系）6个。未知变量的个数（15）多于方程数（9）。因此，必须研究受力物体的应力-应变之间的关系-物理方程（本构方程）。对于弹性问题，即广义胡克定律。3

§4.1广义胡克定律（一）单向应力状态下胡克定律对于各向同性的均匀材料，单向应力状态下，处于线弹性阶段材料，其应力与应变关系可由下式表示：νν4

（二）平面应力状态§4.1广义胡克定律对于各向同性的均匀材料，根据实验结果，在小变形的情况下，正应力和剪应变没有关系，而剪应力只与剪应变有关，且应力的

叠加原理是适用的。平面双向拉（压）应力纯剪应力状态由于应力

x的作用：x方向应变为

y方向应变为由于应力

y的作用：y方向应变为x方向应变为

同时有

x和

y作用在x方向及y方向的应变为

（二）平面应力状态§4.1广义胡克定律在

x和

y作用下，z方向的应变

56在剪应力作用下，X-Y平面内的剪应变与纯剪时相同，即：

式中，为剪切弹性模量

纯剪应力状态（二）平面应力状态§4.1广义胡克定律7

（三）三维应力状态§4.1广义胡克定律用相同的方法，可以导出三维应力状态下的各向同性均匀材料的广义胡克定律，其形式为：（各向同性均匀材料的含义，即材料内部各处的不同方向具有相同的

v、E、G值）8将上式的前三式左右两边相加后，则有如令则上式可写为或上式表明：弹性变形时，体积变化与三个正应力之和即应力张量的球张量成正比，而与应力偏量无关。

（三）三维应力状态§4.1广义胡克定律9

（三）三维应力状态-应变表示应力§4.1广义胡克定律v10

§4.1广义胡克定律（三）三维状态下胡克定律11

§4.1广义胡克定律（三）三维状态下胡克定律其中，（）为弹性常数。上式建立了应力与应变之间的一般关系，称之为广义胡克定律。式中共有36个常数。12

§4.1广义胡克定律（四）弹性常数矩阵的对称性上述36个常数并不都是独立的，从§4.3节能量角度考虑，弹性常数矩阵是对称的，即极端各向异性的弹性体其独立弹性常数只有21个。根据材料本身性质的对称性，独立的弹性常数个数将发生变化:若材料具有一个对称面，则弹性常数减少至13个；若材料具有三个正交的对称面，即材料具有正交各向异性，则弹性常数减少至9个；若材料是横观各向同性的，则弹性常数减少至5个；若材料是各向同性的，则弹性常数只有2个。13

§4.1广义胡克定律（五）弹性常数矩阵对称性证明假设材料具有一个对称面，证明弹性常数可由21个减少至13个。材料在坐标系下，其应力张量为：

其应变张量为：14

§4.1广义胡克定律（五）弹性常数矩阵对称性证明则根据广义胡克定律，其本构方程可表达为：现在如图所示旋转坐标系，旋转后应力张量为：15

§4.1广义胡克定律（五）弹性常数矩阵对称性证明旋转后应变张量为：新坐标系下应力与应变分量关系仍可用广义胡克定律表示：16

§4.1广义胡克定律（五）弹性常数矩阵对称性证明坐标系旋转前与旋转后应力、应变分量关系可用转换公式获得新旧坐标系之间的转换矩阵为：且有：根据上述两式得：17

§4.1广义胡克定律（五）弹性常数矩阵对称性证明将上述关系带入转轴后广义胡克定律得：因此：同理：如此，弹性常数矩阵变为：弹性常数减少至13个。18

§4.1广义胡克定律（五）弹性常数矩阵对称性证明特别地，在正交各向异性条件下，弹性常数矩阵为：19

§4.2弹性常数（一）拉梅常数

在主坐标系内考虑各向同性材料，由于，对影响与对和对影响相同，因此有同理，对和对影响、对和对影响、以及对和对影响相同：因此，各向同性材料只有两个常数和。20

§4.2各向同性弹性（一）拉梅常数若令常数、称为拉梅常数。通过坐标变换，可得任意坐标系下表达式：式中21

（二）工程弹性常数工程中，各向同性材料常采用弹性模量和泊松比表示，即：式中，为剪切模量。§4.2各向同性弹性22

（二）工程弹性常数根据上式，三个正应变相加得：式中，，，K

为体积变形模量。至此，各向同性弹性材料可由以下三对参数表示：（、），（、），（，）§4.2各向同性弹性23

（三）工程弹性常数关系证明考虑纯剪状态下弹性体受力与变形：纯剪状态下，弹性体应力张量与应变张量可表示为：根据广义胡克定律：式中，G为剪切模量。§4.2各向同性弹性24

（三）工程弹性常数关系证明转换坐标系到主坐标系，根据广义胡克定律：对比式与式，不难得到：§4.2各向同性弹性25

（四）常见材料弹性常数§4.2各向同性弹性26

（五）弹性常数关系§4.2各向同性弹性27

（六）示例试求体积弹性模量、拉压弹性模量、泊松比与弹性常数、μ

之间的关系。解：在求解体积弹性模量K时，利用如图所示的三向均匀压缩状态，令为常数。由于，故得§4.2各向同性弹性28

（六）示例可得另外，由K为体积弹性模量的定义，在三向均匀压缩时，有即所以σ=Kθ§4.2各向同性弹性29

（六）示例在求拉压弹性模量、泊松比与、之间的关系时，利用如右图所示的单向拉伸圆截面杆，则可令:其中b、c

为常数，则有将代入，得§4.2各向同性弹性30

（六）示例由于是单向拉伸受力状态，则有则有将代入式中的中，得将式与进行比较可得§4.2各向同性弹性静水压缩实验体积模量（七）弹性常数的测定§4.2各向同性弹性单轴拉伸实验使用物理关系，有弹性模量和泊松比：相反，有

（七）弹性常数的测定§4.2各向同性弹性纯剪实验使用物理方程，

xy

=2G

xy，

因此，

G也是剪切模量。（七）弹性常数的测定§4.2各向同性弹性各向同性弹性本构关系用其他参数表示：正应力只产生正应变；剪应力只产生剪应变。每个应变等于各个应力单独作用时产生的应变之和。（七）弹性常数的测定§4.2各向同性弹性弹性常数的限制实验结果表明，E、G、K总为正值，有大多数材料为正值，而

，有即材料弹性不可压缩，如橡胶。（七）弹性常数的测定§4.2各向同性弹性36

§4.3弹性应变能函数在弹性体的变形过程中，外力（体积力和表面力）作功，转化为物体中储存的能量。假设物体的变形是绝热的，在时间内，一物体总能量的增加，等于外力所作的功。动能先看动能质量微元其速度在坐标轴上的投影为内能37

在同一时间内，作用于弹性体上的外力所作的功为体力功面力功如物体表面的方向余弦为

，则表面力为：

§4.3弹性应变能函数38

格林公式将上列面积分变换为体积分，得考虑物体运动时，平衡微分方程扩展为几何方程§4.3弹性应变能函数39

能量表示物体的特性，是物体的状态的单值函数，所以必定是全微分，可写为§4.3弹性应变能函数称为应变能密度函数。40

可以作为六个形变分量的函数，的全微分为应力和应变张量均能分解为球张量和偏张量,因此可将弹性应变能分解为两部分:§4.3弹性应变能函数41

因此总应变能与坐标选择无关，也为一个不变量。由高等数学知识，对于一个多元函数，根据积分交换定律有。§4.3弹性应变能函数42

§4.4横观各向同性弹性(transverselyisotropy)（一）概念横观各向同性是指材料在某一平面内性质相同，但与垂直于该平面内材料性质不同。典型横观各向同性材料：沉积岩、复合路面等。存在一个弹性对称轴（z轴），在垂直该轴的平面内材料各向同性（在此平面内所有射线方向的弹性性质均相同）。取两个特殊的变换：将x，y轴互换时，材料弹性关系不变c11=c22，c13=c23，c55=c66将坐标系绕z轴旋转45̊，剪切应力应变关系不变，得c44=0.5(c11

c12)43

§4.4横观各向同性弹性（一）概念

x

=c11

x+c12

y+c13

z

y

=c12

x+c11

y+c13

z

z

=c13

x+c13

y+c33

z

xy

=0.5(c11

c12)

xy

yz

=c55

yz

zx

=

c55

zx有5个独立参数正应变只产生正应力；剪应变只产生剪应力。44

§4.4横观各向同性弹性（二）横观各向同性弹性方程45

§4.4横观各向同性弹性（二）横观各向同性弹性方程假设各向同性平面为水平面。 是垂直于各向同性平面的弹性模量； 是平行于各向同性平面的弹性模量； 是施加垂直应变引起水平应变的泊松比； 是施加水平应变引起垂直应变的泊松比； 各向同性平面内的泊松比； 是垂直于各向同性平面的剪切模量； 是各向同性平面内的剪切模量。各向同性平面内与和满足如下关系式：46

§4.4横观各向同性弹性（二）横观各向同性弹性方程弹性材料一定满足热力学条件，由此、和、满足如下关系式：因此，独立的弹性常数只有5个，这5个弹性常数能够完全的描述横观各向同性材料。这5个弹性常数是、、、和，即：47

§4.4横观各向同性弹性（二）横观各向同性弹性方程在主空间：（三）横观各向同性弹性常数测定（1）弹性常数和的测定方法采用各向同性平面为水平的模型，建立空间直角坐标系，令垂直于各向同性平面的方向为Z(v)轴，平行于各向同性平面的方向分别为相互正交的X(h2)轴和Y(h1)轴，如右图所示。48

§4.4横观各向同性弹性（三）横观各向同性弹性常数测定在上述情形下，水平面内力学性质相同，三轴试验中各向同性平面内X轴和Y轴方向应力相等，应变也相等，则有和，其中和分别表示水平面内应力和应变的变化量，再将用表示，用表示，方程进一步简化为：v49

§4.4横观各向同性弹性（三）横观各向同性弹性常数测定由此得到的表达式：综上所述，可以利用各向同性平面为水平的试样开展三轴试验测定横观各向同性2个弹性常数和。三轴试验时只改变Z轴方向应力，保持水平方向应力不变，即

，利用方程可以得到如下的关系式：50

§4.4横观各向同性弹性（三）横观各向同性弹性常数测定（2）弹性常数和的测定方法