中考数学-圆的基本性质(含4种解题技巧)(含答案)

Page试卷第=page11页，共=sectionpages33页第六章圆第27讲圆的基本性质（思维导图+2考点+1命题点20种题型（含4种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一圆的相关概念考点二圆的基本性质04题型精研·考向洞悉命题点圆的基本性质►题型01圆的周长与面积问题►题型02圆中的角度、线段长度的计算►题型03利用垂径定理结合全等，相似综合求解►题型04在坐标系中利用垂径定理求值或坐标►题型05垂径定理在格点中的应用►题型06垂径定理的实际应用►题型07利用垂径定理求取值范围►题型08利用弧，弦，圆心角的关系求解►题型09利用弧，弦，圆心角的关系比较大小►题型10利用弧，弦，圆心角的关系求最值►题型11利用弧，弦，圆心角的关系证明►题型12利用圆周角定理求解►题型13利用圆内接四边形性质求角度►题型14利用圆的有关性质解决多结论问题►题型15利用圆的有关性质解决翻折问题►题型16与圆有关的新定义问题►题型17利用圆的有关性质解决最值问题►题型18圆的基本性质与函数综合►题型19与圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距►题型20与圆有关的常见辅助线-遇到直径时，常添加直径所对的圆周角Page试卷第=page11页，共=sectionpages33页

01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求垂径定理★★探索圆周角与圆心角及其所对孤的关系；知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等;了解并证明圆周角定理及其推论;探索并证明垂径定理.圆周角定理★★★圆内接四边形的性质★★【考情分析】本专题的内容有理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，探索圆周角与圆心角的关系等，试题形式多样，难度不等，理解运用圆周角定理、垂径定理，掌握圆内接四边形的性质等相关内容，是解决有关圆的问题的基础.【命题预测】在中考数学中，圆的基本性质在小题中通常考察圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在简答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上.在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在3-13分左右，属于中考中的中档考题.所以，考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在后续的结合问题中更好的举一反三.02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一圆的相关概念1.圆的定义圆的定义[动态]:如图，在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆，其中，点O叫做圆心，线段OA叫做半径.圆的定义[静态]:圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径.圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”.确定圆的两个条件：①圆心（确定圆的位置）；②半径（确定圆的大小），两者缺一不可.2.弦与直径弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

直径：经过圆心的弦叫做直径.3.弧、半圆、优弧、劣弧、等弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以A、B为端点的弧记作AB，读作：“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.4.同圆、等圆、同心圆同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆.等圆：能够完全重合的圆叫做等圆.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆5.圆心角与圆周角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.6.弓形和扇形弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，如图，弦AB和组成两个不同的弓形.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图所示，和半径OA，OB组成的图形是一个扇形，读作“扇形AOB”.1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（

）

A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线2．（2023·甘肃兰州·中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA=OB；（3）连接AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b．按以上作图顺序，若∠MNO=35°，则∠AOC=（

A．35° B．30° C．25° D．20°3．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（

）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形4．（2022·青海·中考真题）如图所示，A22,0，AB=32，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点A．32,0 B．2,0 C．−5．（2022·甘肃武威·中考真题）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．如图2，∠ABC为直角．以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA，BC分别于点D，E；以点D为圆心，以BD长为半径画弧与DE交于点F；再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与DE交于点G；作射线BF，BG．

(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；(2)根据（1）完成的图，直接写出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小关系．考点二圆的基本性质1.圆的对称性内容圆的轴对称性经过圆心任意画一条直线，并沿此直线将圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.圆的中心对称性将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心.将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性.2.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.3.圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.4.圆周角定理及圆周角定理的推论圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=12推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.5.圆内接四边形及其性质定理圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形对角互补.如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.如图，∠1=∠21．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC=42°，则∠OED的度数是（）A．61° B．63° C．65° D．67°2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（

）A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B．平分弦的直径垂直于弦C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等3．（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB=1寸，CD=10寸，则直径AB长为寸．4．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为．

5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB=18°，则n=．

04题型精研·考向洞悉命题点一圆的基本性质►题型01圆的周长与面积问题1．（2023·湖南·中考真题）毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的12，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为2．（2022·山东潍坊·中考真题）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'3．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（

）A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍QUOTEQUOTEQUOTE►题型02圆中的角度、线段长度的计算1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，则⊙O的半径长为（

）A．4 B．42 C．5 D．2．（2024·海南·中考真题）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若∠PCB=130°，则A．105° B．100° C．90° D．70°3．（2024·云南·中考真题）如图，CD是⊙O的直径，点A、B在⊙O上．若AC=BC，∠AOC=36∘，则A．9∘ B．18∘ C．36∘4．（2024·西藏·中考真题）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则AD的长为（

）A．2 B．22 C．23►题型03利用垂径定理结合全等，相似综合求解1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE>BE），连接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．(1)如图1，若BE=1，CE=5，求⊙O(2)如图2，若BD=2OE，求证：BD∥2．（2024·重庆·中考真题）如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，以AC为边作平行四边形ACDE，点D、E均在⊙O上，DE与AB交于点F，连接CE，与⊙O交于点G，连接DG．若AB=10,DE=8，则AF= _．DG=3．（2023·青海西宁·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．

(1)求证：∠BAC=∠E；(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CFQUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04在坐标系中利用垂径定理求值或坐标1．（2021·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以M2，3为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是2．（2024·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆心在坐标原点、半径为4的圆被直线y−x=−2所截得的弦长为（

）A．14 B．23 C．214 3．（2023·安徽淮北·三模）如图，在平面直角坐标系中，A6，0、B0，8，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且CD=6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段A．3.6 B．4.8 C．32 D．QUOTE►题型05垂径定理在格点中的应用1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是6×7的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆ACB上的点A，(1)在图中作出弧BC的中点D．(2)连结AC，作出∠BAC的角平分线．(3)在AB上作出点P，使得AP=AC．2．（2024·湖北·模拟预测）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过格点A，B，点C为⊙O与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)画出该圆的圆心O，并画弦AD，使AD平分∠BAC；(2)先将弦AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，再在圆上画点E，使AC=BE．3．（2024·山东潍坊·模拟预测）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点BM=4，BN=2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足QUOTE►题型06垂径定理的实际应用1．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB=40 cm,CD=10 cmA．50 cm B．35 cm C．25 cm2．（2023·湖南·中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，2≈1.414

问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）3．（2022·江苏镇江·中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及AC、BD组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是AC、BD的中点，如图2，他又画出了AC所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC=66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成参考数据：sin66°≈910，cos66°≈25，tan66°≈►题型07利用垂径定理求取值范围1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在半径为5的⊙О中，弦AB、AC在圆心О的同侧，AB=8，AC=6，则关于tan∠BAC的取值所在范围正确的是（

A．0.225≤tan∠BAC<0.25 C．0.275≤tan∠BAC<0.30 2．（2023·广东佛山·二模）如图，⊙O的半径为5cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围是（A．8≤OP≤10 B．5≤OP≤8 C．4≤OP≤5 D．3≤OP≤53．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系xOy中，对于直线l:y=kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．如图，点M的坐标为−1,0，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为22，则b的值为►题型08利用弧，弦，圆心角的关系求解遇到与圆周角，圆心角有关角度计算时，通过辅助线1）作同弧所对的两个圆周角；2）作同弧所对的一个圆心角，一个圆周角；3）连接多个半径，构造等腰三角形.►题型09利用弧，弦，圆心角的关系比较大小1．（2024·广东揭阳·三模）如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（

）A．AB>2CD C．AB=2CD D．AB与2．（2023·河北·中考真题）如图，点P1~P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P

A．a<b B．a=b C．a>b D．a，b大小无法比较3．（2024·湖北襄阳·一模）在⊙O中，弦AD=BC．(1)如图1，比较AB与CD的长度，并证明你的结论．(2)如图2，DB为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线与DB的延长线交于点E，若CE∥AB，CD=6，求阴影部分的面积．4．（2022·河北秦皇岛·一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，C、D是AB上两点，过点D作DE∥OC交OB于E点，在OD上取点F，使OF=DE，连接CF并延长交OB于(1)求证：△OCF≌△DOE；(2)若C、D是AB的三等分点，OA=23①求∠OGC；②请比较GE和BE的大小．►题型10利用弧，弦，圆心角的关系求最值1．（2024·吉林·二模）如图，在扇形OAB中，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为半径OA上一动点，连接BD，CD．若∠AOB=40°,OB=9，则阴影部分图形周长的最小值为（结果保留π）．2．（2022·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（

）A．42 B．6 C．210 3．（2023·云南大理·一模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，C、D为弧AB的三等分点，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是cm

4．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，BO=2，C为BO的中点，D为AB上一点，且2BD=AD，连接AC，DC，在OC绕点O旋转的过程中，当CD5．（2023·山西阳泉·二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝12，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是MB的中点，连接MN，P是直径AB上的动点，若弦MN=2，则△PMN周长的最小值为．

QUOTE►题型11利用弧，弦，圆心角的关系证明1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．AM=AN，DM=DN．求证：∠AMD=∠AND．【模型应用】（2）如图2，△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D．请你从以下两个条件：①∠AMD=2∠C；②AC=AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）【拓展提升】（3）如图3，AC为⊙O的直径，AB=BC，∠BAC的平分线AD交BC于点E，交⊙O于点D，连接CD．求证：2．（2024·浙江·模拟预测）如图，AB是半径为5的⊙O的直径，C是ABD的中点，连接CD交AB于点E，连接AC，(1)求证：OC⊥AD．(2)若BE=1，求AD的长．(3)如图2，作CF⊥AB于点H，交AD于点F，射线CB交AD的延长线于点G，若OH=1，求AG的长．3．（2024·广东·模拟预测）综合运用如图所示，圆内接四边形ABCD中，点B平分CAD，CA平分∠BCD．(1)求证：∠CDE=2∠ECD．(2)若cos∠CBA=12(3)求证：BC►题型12利用圆周角定理求解1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径OA=3，AB=CD，∠DBC=25°A．54π B．58π C．2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B=25°，则∠CAD°．3．（2024·湖北·中考真题）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点D，画射线BD，连接AC．若∠CAB=50°，则∠CBD的度数是（

A．30° B．25° C．20° D．15°4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=25,BC=8．点P是BC边上一动点，点M为线段AP上一动点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为（A．2 B．810521 C．2.4 ►题型13利用圆内接四边形性质求角度圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时往往综合运用圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系.1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E=54°41'，∠F=43°19'，则A．42° B．41°20' C．41° 2．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC=128°，则∠CDE等于（

）A．64° B．60° C．54° D．52°3．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC，∠ADC<∠BAD，延长AD至点E，使AE=AC，延长BA至点F，连结EF，使(1)若∠AFE=60°，CD为直径，求∠ABD的度数．(2)求证：①EF∥BC；②►题型14利用圆的有关性质解决多结论问题1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连结AD．给出下面四个结论：①∠ABD=∠DAC；②AF=FG；③当DG=2，GB=3时，FG=142；④当BD=2AD，AB=6时，△DFG的面积是2．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，点P是⊙O上一点，AB是一条弦，点C是APB上一点，与点D关于AB对称，AD交⊙O于点E，CE与AB交于点F，且BD∥CE．给出下面四个结论：①CD平分∠BCE；

②BE=BD；

③AE2=AF×AB；

④BD为⊙O3．（2021·湖南岳阳·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE=8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①AE=BC；②∠AED=∠CBD；③若∠DBE=40°，则DE的长为8π9；④DFEF=EFBF4．（2024·江西·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为．►题型15利用圆的有关性质解决翻折问题1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在⊙O中，将AB沿弦AB翻折，使AB恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点．已知AE=2，tan∠CBA=36，则A．23 B．6 C．39 D．2．（2023·浙江金华·三模）在综合实践课上，小慧将图①中圆形纸片沿直径AB向上对折得到图②，再沿弦BC向下翻折得到图③，最后沿弦BD向上翻折得到图④．（1）若点E是弧BD的中点，则∠ABC=（2）若CE:EB＝1:n，则sin∠ABC=．（用关于n3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙O中，点C为AB的中点，将弦AB下方的部分沿弦AB翻折，使点C与圆心O重合．点D为优弧AB上一点连接BD、CD、BC．若∠BCD=45°，AB=23，则CD=（

A．6+2 B．23 C．1+2►题型16与圆有关的新定义问题1．（2020·山东临沂·中考真题）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A(2,1)到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为．2．（2022·上海·中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为．3．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C'在⊙O上或其内部，且∠ACB=α，则称点C是弦AB的“α(1)如图，点A0,1，B①在点C12,0，C21,2，C312,0中，点___________是弦②若点D是弦AB的“90°可及点”，则点D的横坐标的最大值为__________；(2)已知P是直线y=3x−3上一点，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“60°可及点”．记点P的横坐标为t►题型17利用圆的有关性质解决最值问题1．（2021·四川达州·中考真题）如图，在边长为6的等边ΔABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE=CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为．2．（2020·河南·中考真题）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°,OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点若OB=2，则阴影部分周长的最小值为．3．（2024·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD=1，则AE的最大值为，最小值为4．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．（一）拓展探究如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D．（1）兴趣小组的同学得出AC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∴∠B=①______∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴AB∴A请完成填空：①______；②______；（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．（二）学以致用（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面内一点D，满足AD=AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB=∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE►题型18圆的基本性质与函数综合1．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x−2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD=2，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是（

A．8 B．6 C．4 D．3

2．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线y=−x2+bx+4经过点A−4,0、B1,0，交y(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P的坐标为−2,6时，求四边形AOCP的面积；(3)当∠PBA=45°时，求点P的坐标；(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接AE、AF、EF，判断△AEF的形状，并说明理由．3．（2024·江西·中考真题）综合与实践如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE=90°，连接BE，特例感知（1）如图1，当m=1时，BE与AD之间的位置关系是______，数量关系是______；类比迁移（2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．拓展应用（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC=6，设AD=x，四边形CDFE的面积为y．①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；②当BF=2时，请直接写出AD的长度．4．（2021·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=12x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点P（1）求A、B两点的坐标；（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；（3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径．►题型19与圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；【补充】在构造Rt△ODE中，半径OD，弦心距OE,弦长CD，拱高BE四个量知二推二.1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于cm．

2．（2022·上海·中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为．（结果保留π）3．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm，C为⊙O上一点，∠ACB=60°，则AB的长为cm．►题型20与圆有关的常见辅助线-遇到直径时，常添加直径所对的圆周角1．（2023·江苏·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC=2CD，则∠BAD的度数是°．2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=6cm,∠BAC=50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为

3．（2023·重庆·中考真题）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB=4,AD=3，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）

4．（2021·山东泰安·中考真题）若△ABC为直角三角形，AC=BC=4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为．第六章圆第27讲圆的基本性质（思维导图+2考点+1命题点20种题型（含4种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一圆的相关概念考点二圆的基本性质04题型精研·考向洞悉命题点圆的基本性质►题型01圆的周长与面积问题►题型02圆中的角度、线段长度的计算►题型03利用垂径定理结合全等，相似综合求解►题型04在坐标系中利用垂径定理求值或坐标►题型05垂径定理在格点中的应用►题型06垂径定理的实际应用►题型07利用垂径定理求取值范围►题型08利用弧，弦，圆心角的关系求解►题型09利用弧，弦，圆心角的关系比较大小►题型10利用弧，弦，圆心角的关系求最值►题型11利用弧，弦，圆心角的关系证明►题型12利用圆周角定理求解►题型13利用圆内接四边形性质求角度►题型14利用圆的有关性质解决多结论问题►题型15利用圆的有关性质解决翻折问题►题型16与圆有关的新定义问题►题型17利用圆的有关性质解决最值问题►题型18圆的基本性质与函数综合►题型19与圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距►题型20与圆有关的常见辅助线-遇到直径时，常添加直径所对的圆周角

01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求垂径定理★★探索圆周角与圆心角及其所对孤的关系；知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等;了解并证明圆周角定理及其推论;探索并证明垂径定理.圆周角定理★★★圆内接四边形的性质★★【考情分析】本热点的内容有理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，探索圆周角与圆心角的关系等，试题形式多样，难度不等，理解运用圆周角定理、垂径定理，掌握圆内接四边形的性质等相关内容，是解决有关圆的问题的基础.【命题预测】在中考数学中，圆的基本性质在小题中通常考察圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在简答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上.在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在3-13分左右，属于中考中的中档考题.所以，考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在后续的结合问题中更好的举一反三.02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一圆的相关概念1.圆的定义圆的定义[动态]:如图，在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆，其中，点O叫做圆心，线段OA叫做半径.圆的定义[静态]:圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径.圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”.确定圆的两个条件：①圆心（确定圆的位置）；②半径（确定圆的大小），两者缺一不可.2.弦与直径弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

直径：经过圆心的弦叫做直径.3.弧、半圆、优弧、劣弧、等弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以A、B为端点的弧记作AB，读作：“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.4.同圆、等圆、同心圆同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆.等圆：能够完全重合的圆叫做等圆.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆5.圆心角与圆周角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.6.弓形和扇形弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，如图，弦AB和组成两个不同的弓形.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图所示，和半径OA，OB组成的图形是一个扇形，读作“扇形AOB”.1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（

）

A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线【答案】C【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的一段圆弧，故选：C．2．（2023·甘肃兰州·中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA=OB；（3）连接AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b．按以上作图顺序，若∠MNO=35°，则∠AOC=（

A．35° B．30° C．25° D．20°【答案】A【分析】证明∠NMO=∠MNO=35°，可得∠AOB=2×35°=70°，结合OA=OB，C为AB的中点，可得∠AOC=∠BOC=35°．【详解】解：∵∠MNO=35°，MO=NO，∴∠NMO=∠MNO=35°，∴∠AOB=2×35°=70°，∵OA=OB，C为AB的中点，∴∠AOC=∠BOC=35°，故选A．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．3．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（

）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形【答案】B【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成．【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，只有乙是扇形，故选：B．【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键．4．（2022·青海·中考真题）如图所示，A22,0，AB=32，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点A．32,0 B．2,0 C．−【答案】C【分析】先求得OA的长，从而求出OC的长即可．【详解】解：∵A2∴OA=22∵AB=32，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C∴AC=AB=32∴OC=AC−OA=32∵点C为x轴负半轴上的点，∴C−2故选：C．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AC是解题的关键．5．（2022·甘肃武威·中考真题）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．如图2，∠ABC为直角．以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA，BC分别于点D，E；以点D为圆心，以BD长为半径画弧与DE交于点F；再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与DE交于点G；作射线BF，BG．

(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；(2)根据（1）完成的图，直接写出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小关系．【答案】(1)见解析(2)∠DBG=∠GBF=∠FBE【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）连接DF，EG，可得△BDF和△BEG均为等边三角形，∠DBF=∠EBG=60°，进而可得∠DBG=∠GBF=∠FBE=30°．【详解】（1）解：（1）如图：

（2）∠DBG=∠GBF=∠FBE．理由：连接DF，EG如图所示

则BD=BF=DF，BE=BG=EG即△BDF和△BEG均为等边三角形∴∠DBF=∠EBG=60°∵∠ABC=90°∴∠DBG=∠GBF=∠FBE=30°【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键．考点二圆的基本性质1.圆的对称性内容圆的轴对称性经过圆心任意画一条直线，并沿此直线将圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.圆的中心对称性将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心.将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性.2.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.3.圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.4.圆周角定理及圆周角定理的推论圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=12推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.5.圆内接四边形及其性质定理圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形对角互补.如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.如图，∠1=∠21．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC=42°，则∠OED的度数是（）A．61° B．63° C．65° D．67°【答案】B【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得∠AOC=∠BOC=42°，利用圆周角定理求得∠D=1【详解】解：∵半径OC⊥AB，∴AC=∴∠AOC=∠BOC=42°，∠AOB=84°，∵AC=∴∠D=1∴∠OED=∠AOB−∠D=63°，故选：B．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（

）A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B．平分弦的直径垂直于弦C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等【答案】C【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析判断，即可求解．【详解】A.顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；C.物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．3．（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB=1寸，CD=10寸，则直径AB长为寸．【答案】26【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设OC=OB=r寸，则OE=r−1寸，由垂径定理得到EC=ED=5寸，再由勾股定理可得方程r【详解】解：设OC=OB=r寸，则OE=r−1∵AB⊥CD，AB是直径，∴EC=ED=5寸，在Rt△OCE中，由勾股定理得O∴r∴r=13，∴AB=2×13=26寸，故答案为：26．4．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为．

【答案】52.5°【分析】方法一∶如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB，由题意可得：OA=OB=OC=OD，∠AOB=50°−25°=25°，然后再根据等腰三角形的性质求得∠OAB=65°、∠OAD=25°，最后根据角的和差即可解答．方法二∶连接OB,OD，由题意可得：∠BAD=105°，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】方法一∶解：如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB，由题意可得：OA=OB=OC=OD，∠AOB=50°−25°=25°，∠AOD=155°−25°=130°，∴∠OAB=12180°−∠AOB∴∠BAD=∠OAB−∠OAD=52.5°．故答案为52.5°．

方法二∶解∶连接OB,OD，由题意可得：∠BAD=155°−50°=105°，根据圆周角定理，知∠BAD=1故答案为52.5°．

【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键．5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB=18°，则n=．

【答案】10【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得∠AOB=36°，再根据正n边形的边数n=360°÷中心角，即可得出结论．【详解】解：∵∠ACB=18°，∴∠AOB=2∠ACB=2×18°=36°，∴n=360°÷36°=10，故答案为：10．04题型精研·考向洞悉命题点一圆的基本性质►题型01圆的周长与面积问题1．（2023·湖南·中考真题）毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的12，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为【答案】4【分析】先求出地球的半径，再根据火星的半径大约是地球半径的12【详解】解：设地球的半径为r万里，则2π解得r=4∴火星的半径为2π∴经过火星球心的截面的圆的周长大约为2π×2π=4(故答案为：4．【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是关键．2．（2022·山东潍坊·中考真题）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'【答案】4【分析】根据正方形ABCD的面积为4，求出AB=2，根据位似比求出A'B'=4，周长即可得出；【详解】解：∵正方形ABCD的面积为4，∴AB=2，∵A'B':AB=2:1，∴A'B'=4，∴A'C'=4所求周长=42故答案为：42【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD的边长．3．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（

）A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍【答案】B【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积=122x2=2∴9πx2÷2x2=92故选B．【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键．QUOTEQUOTEQUOTE►题型02圆中的角度、线段长度的计算1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，则⊙O的半径长为（

）A．4 B．42 C．5 D．【答案】B【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到AE，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，∴OE⊥AB，AE=1在Rt△AOE中，OA=故选：B．2．（2024·海南·中考真题）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若∠PCB=130°，则A．105° B．100° C．90° D．70°【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接OB，OC，证明△AOB和△BOC都是等边三角形，求得∠BPC=30°，利用三角形内角和定理求得∠PBC=20°，据此求解即可．【详解】解：连接OB，OC，∵AD是半圆O的直径，AB=∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，∴△AOB和△BOC都是等边三角形，∴∠OBC=∠OBA=60°，∵BC=∴∠BPC=1∵∠PCB=130°，∴∠PBC=180°−130°−30°=20°，∴∠PBO=60°−20°=40°，∴∠PBA=40°+60°=100°，故选：B．3．（2024·云南·中考真题）如图，CD是⊙O的直径，点A、B在⊙O上．若AC=BC，∠AOC=36∘，则A．9∘ B．18∘ C．36∘【答案】B【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接OB，由AC=BC可得【详解】解：连接OB，∵AC=∴∠BOC=∠AOC=36°，∴∠D=1故选：B．4．（2024·西藏·中考真题）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则AD的长为（

）A．2 B．22 C．23【答案】C【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到∠ACD=∠ABD=60°，∠ADC=90°，根据CD=2得到AC=2CD=4，最后根据勾股定理求解即可得到答案【详解】解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵AD=AD，∴∠ACD=∠ABD=60°，∴∠DAC=90°−60°=30°，∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=4故选：C．►题型03利用垂径定理结合全等，相似综合求解1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE>BE），连接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．(1)如图1，若BE=1，CE=5，求⊙O(2)如图2，若BD=2OE，求证：BD∥【答案】(1)3(2)见解析【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出∠OBC=∠OCB=12180°−∠BOC，结合∠BOC=2∠BCE，可得出∠OBC+∠BCE=90°（2）法一：过O作OF⊥BD于F，利用垂径定理等可得出BF=12BD=OE，然后利用HL定理证明Rt法二：连接AD，证明△CEO∽△ADB，得出∠COE=∠ABD，然后利用平行线的判定即可得证【详解】（1）解∶∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=1∵∠BOC=2∠BCE，∴∠OBC=12180°−2∠BCE∴∠OEC=90°，∴OC∴OC解得OC=3，即⊙O的半径为3；（2）证明：法一：过O作OF⊥BD于F，∴BF=1∵BD=2OE∴OE=BF，又OC=OB，∠OEC=∠BFO=90°，∴Rt△CEO≌∴∠COE=∠OBF，∴BD∥法二：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD=A∴OCAB∴△CEO∽△ADB，∴∠COE=∠ABD，∴BD∥【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．2．（2024·重庆·中考真题）如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，以AC为边作平行四边形ACDE，点D、E均在⊙O上，DE与AB交于点F，连接CE，与⊙O交于点G，连接DG．若AB=10,DE=8，则AF= _．DG=【答案】8201313【分析】连接DO并延长，交⊙O于点H，连接GH，设CE、AB交于点M，根据四边形ACDE为平行四边形，得出DE∥AC，AC=DE=8，证明AB⊥DE，根据垂径定理得出DF=EF=12DE=4，根据勾股定理得出OF=OD2−DF2=3，求出AF=OA+OF=5+3=8；证明△EFM∽△CAM，得出EFAC【详解】解：连接DO并延长，交⊙O于点H，连接GH，设CE、AB交于点M，如图所示：∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，∴AB⊥AC，∴∠CAB=90°，∵四边形ACDE为平行四边形，∴DE∥AC，AC=DE=8，∴∠BFD=∠CAB=90°，∴AB⊥DE，∴DF=EF=1∵AB=10，∴DO=BO=AO=1∴OF=O∴AF=OA+OF=5+3=8；∵DE∥AC，∴△EFM∽△CAM，∴EFAC∴48即48解得：FM=8∴EM=E∵DH为直径，∴∠DGH=90°，∴∠DGH=∠EFM，∵DG=∴∠DEG=∠DHG，∴△EFM∽△HGD，∴FMDG即83解得：DG=20故答案为：8；2013【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．3．（2023·青海西宁·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．

(1)求证：∠BAC=∠E；(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CF【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）由垂径定理，得AD=BD

AC=BC，由圆周角定理，得（2）可证△ACF∽△ECA得ACEC=CFCA；Rt△ADC【详解】（1）证明：∵OC⊥AB

OC是⊙O的半径∴AD=BD，

AC=∴∠BAC=∠E（同弧或等弧所对的圆周角相等）（2）解：∵∠BAC=∠E

又∵∠ACF=∠ECA∴△ACF∽△ECA（两角分别相等的两个三角形相似）

∴ACEC∵AB=8

∴AD=BD=4在Rt△ADC中∠ADC=90°

AD=4

∴AC=AD即25∴CF=2【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04在坐标系中利用垂径定理求值或坐标1．（2021·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以M2，3为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是【答案】(4,3−【分析】如图，连接BC，设圆与x轴相切于点D，连接MD交BC与点E，结合已知条件，则可得BC⊥MD，勾股定理求解EM，进而即可求得B的坐标．【详解】如图，连接BC，设圆与x轴相切于点D，连接MD交BC与点E，则MD⊥x轴，∵AB为直径，则∠ACB=90°，∴BC⊥MD，∴BC//∵M2，3∴MB=MD=3，CE=EB=2，∴ME=MB2−EB∴DE=MD−ME=3−5∵BC//∴B(4,3−5故答案为：(4,3−5【点睛】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，勾股定理，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键．2．（2024·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆心在坐标原点、半径为4的圆被直线y−x=−2所截得的弦长为（

）A．14 B．23 C．214 【答案】C【分析】根据题意作出图形，设圆心为O，直线y−x=−2与圆O交于A，B两点，x轴，y轴交于点C，点D，过点O作OH⊥直线y−x=−2，连接OB，求出C2,0，D0,−2，进而证明△OCD是等腰直角三角形，得到∠OCD=45°，由∠OHB=90°，易证△OCH是等腰直角三角形，求出OH=CH=2，再根据OB=4，利用勾股定理即可求BH=【详解】解：如图，设圆心为O，直线y−x=−2与圆O交于A，B两点，x轴，y轴交于点C，点D，过点O作OH⊥直线y−x=−2，连接OB，在直线y−x=−2中，令x=0，则y=−2，令y=0，则x=2，∴C2,0，D∴OC=OD，∴△OCD是等腰直角三角形，∴∠OCD=45°，∵∠OHB=90°，∴△OCH是等腰直角三角形，∴OH=CH=2∵OB=4，∴BH=O∵OH⊥AB，点O为圆心，∴OA=OB=14∴AB=214∴半径为4的圆被直线y−x=−2所截得的弦长为214故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形，根据题意作出图形是解题的关键．3．（2023·安徽淮北·三模）如图，在平面直角坐标系中，A6，0、B0，8，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且CD=6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段A．3.6 B．4.8 C．32 D．【答案】B【分析】过CD的中点G作EF的垂线与AB交于点M，过点O作OH⊥AB于H，连接OG、FG，先求出OA=6，OB=8，进而求出AB=10，再根据等面积法求出OH=4.8，由直角三角形斜边中线的性质得到OG=FG=3，由垂径定理得到EF=2FM，由FM=9−GM2，可知当GM最小时，FM最大，即EF最大，再由OG+GM≥OH，得到G【详解】解：过CD的中点G作EF的垂线与AB交于点M，过点O作OH⊥AB于H，连接OG、FG∵A6,0，∴OA=6，∴AB=O∵S△ABC∴OH=OA⋅OB∵CD=6，∠COD=90°，G为∴OG=FG=1∵GM⊥EF，∴∠GMF=90°，∴FM=G∴当GM最小时，FM最大，即EF最大，∵OG+GM≥OH，∴3+GM≥4.8，∴GM≥1.8，即GM∴FM∴EF故选B．【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、坐标与图形、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．QUOTE►题型05垂径定理在格点中的应用1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是6×7的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆ACB上的点A，(1)在图中作出弧BC的中点D．(2)连结AC，作出∠BAC的角平分线．(3)在AB上作出点P，使得AP=AC．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）连BC与网格线交于一格点G，以O为端点，作射线OG与圆弧交于点D，（2）作射线AD，则AD即是∠BAC的角平分线，（3）连结BD并延长，交AC的延长线于点E,AD与BC交于点F，连结EF并延长交AB于点P，则AP=AC．本题考查了无刻度直尺作图，垂径定理，圆周角定理，角平分线的性质定理，解题的关键是：熟练掌握无刻度直尺作图，与相关定理的结合．【详解】（1）解：由格点可知G为BC中点，根据垂径定理可得，点D为弧BC的中点，点D即为所求，（2）解：∵点D为弧BC的中点，根据圆周角定理，可得∠CAD=∠BAD，AD即为所求，（3）解：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=∠ADE=90°，∠BCE=90°，∵∠CAD=∠BAD，AD=AD，∴△AED≌△ABDASA∴ED=BD，∠AED=∠ABD，∴AD是BE的垂直平分线，∴FE=FB，∴∠FEB=∠FBE，∴△EPB≌△BCEASA∴∠EPB=∠BCE=90°，∴△ACF≌△APFAAS∴AP=AC，作图如下：．2．（2024·湖北·模拟预测）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过格点A，B，点C为⊙O与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)画出该圆的圆心O，并画弦AD，使AD平分∠BAC；(2)先将弦AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，再在圆上画点E，使AC=BE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）CN为圆的直径，根据对称性知CN与格线的交点O为圆心；P为BC中点，根据垂径定理推论得OP⊥BC，OD平分BC，根据圆周角定理得∠BAD=∠CAD，AD平分∠BAC；（2）∠CAN=90°，由AAS可得AC、AF所在的两个直角三角形全等，得到AF=AC；根据BE与AC对称，得到BE=AC．【详解】（1）如图，取圆与格线交点N，连接CN交格线于点O，O即为圆心；连接BC，交格线于点P，作射线OP交⊙O于点D，连接AD，AD即为作求作；（2）如图，取⊙O与格线交点N，连接AN交一条格线于点F，线段AF即为所求作；取⊙O与AB上方的一条格线交点E，连接BE，线段BE即为所求作．【点睛】本题主经考查了网格作图．熟练掌握圆周角定理及其推论，垂径定理，旋转性质，全等三角形的判定和性质，圆的对称性，是解决问题的关键．3．（2024·山东潍坊·模拟预测）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点BM=4，BN=2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足【答案】2【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，得出边PM的长的最大值等于圆O的直径是解题的关键．作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=12MN，以O为圆心，OM为半径作圆，通过图形可知，当点P在P'位置时，恰好过格点且P'M经过圆心O，此时P'M最大，等于圆O的直径，得出【详解】解：作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=12MN，以O为圆心，OM∵OQ为MN垂直平分线且OQ=12MN∴OQ=MQ=NQ，∴∠OMQ=∠ONQ=45°，∴∠MON=90°，∴弦MN所对的圆O的圆周角为45°，∴点P在圆O上，PM为圆O的弦，通过图形可知，当点P在P'位置时，恰好过格点且P'M∴此时P'M最大，等于圆∵BM＝4，BN＝2，∴MN=2∴MQ=OQ=5，∴OM=2MQ=∴P'即边PM的长的最大值为210QUOTE►题型06垂径定理的实际应用1．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB=40 cm,CD=10 cmA．50 cm B．35 cm C．25 cm【答案】C【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出BD的长；设圆心为O，连接OB，在Rt△OBD中，可用半径OB表示出OD【详解】解：∵CD是线段AB的垂直平分线，∴直线CD经过圆心，设圆心为O，连接OB．

Rt△OBD中，BD=1根据勾股定理得：ODOB−102解得：OB=25；故轮子的半径为25cm故选：C．2．（2023·湖南·中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，2≈1.414

问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）【答案】(1)∠BOM=45°；(2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为0.3米．【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解；（2）作BC⊥OM于点C，在Rt△OAD中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得OD的长，在Rt△OBC中，利用勾股定理求得【详解】（1）解：∵旋转一周用时120秒，∴每秒旋转360°120当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，∠AOB=360°−3°×95=75°，∵∠AOM=30°，∴∠BOM=75°−30°=45°；（2）解：作B