与中值定理相关的辅助函数的一个构造法5200字

与中值定理相关的辅助函数的一个构造法摘要：构造法就是根据条件或者结论所具有的特征和性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法.构造法的特点是化复杂为简单、化抽象为直观，它的核心思想是根据题设条件的特征恰当构造一个新的数学模型解决数学问题.而构造辅助函数就是其中最常用的一种方法，在中学和高等数学的学习中都经常可以用到这种方法；微分中值定理是微分学中一块重要内容，在解决有关微分中值定理相关问题时，我们经常会用到构造辅助函数的方法，辅助函数的构造也是解决这一类问题的难点，本文总结研究了微分中值定理应用中构造辅助函数的几种方法. 2.1原函数法5 1 42.3常数k值法—一适用于常数已分离出的命题17 52.4积分法[6 82.5待定因子法 2.6构造微分方程法[10 参考文献 1所谓构造法，就是数学中的概念和方法按固定方以转换角度，根据题目中所给的条件构造建立出一个新的数学模型，以便于解决要求解的问题.数学构造法是一种比较常用的数学方法，具有试探性、不规则性、创造性、直观性、能行性和灵活性的特点(2.数学发展史上的许多难题最终都是通过采用构造法攻克的，如：著名的拉格朗日中值定理、柯西中值定理、以及《几何原本》中欧几里得证明“素数的个数是无限的”等等(林子杰，高雪琳，2022).数学构造法为整个学科的发展做出了无可代替的贡献，并且至今仍在数学解题、数学教学、甚至科学研究中起着相当重要的作用{3.数学构造法在中国古代数学的发展中也起着十分重要的作用，主要代表巨作为《九章算术》.例如，本书在求两数方法也是较为多样，对于学生而言，根据具体问题采用相应构造法是比较困难的，这时候就要注重方法的总结，针对同一类型的问题，我们可以总结出解决这一类问法都有着非常广泛的应用.构造辅助函数解决数学问题就是其中最常用的方法，在诸多问题解决中都需要构造辅助函数来解决.在高等数学中，构造辅助函数的方法就非常常见，其中微分中值定理证明中，许多题目的证明都需借助构造辅助函数，然后让辅助函数符合中值定理的条件(李思远，刘瑾萱，2022),从而证明要证结论.本文总结了微分中值定理证明中几种常用的辅助函数构造的方法，掌握这几种方法，分中值定理中的一类问题.2.1原函数法5]在微分中值定理中原函数法构造函数是很常用的一类方法，具体步骤如下：(2)利用恒等变换，将结论向易积分的形式转化；(3)用观察法或者凑微分法，求出原函数，如果题目需要(4)移项，让等式一边值为零，如此一来，非零一边的等式就是所要构造的辅助函2例1求证：若f(x)在[0,1]可导，并且f(1)=2f(0),则存在ξ∈(0,1),使分析由得将ξ换成x得证明构造辅助函数即(ξ+1)f'(ξ)-f(ξ)=0,(ξ+1)f'(ξ)=f(ξ).3即又即又(f(x)-x)=0.证明构造辅助函数F(0)=f(0)=0,F(1)=f(则f(n)=η,由罗尔定理可得3ξ∈(0,η)=(0,1),使得即f'(ξ)=1.结论原函数法构造函数在函数构造中非常常见，适用于观察就容易看出原函数的一类题目.4令令则2.2几何直观法[8]分析拉格朗日定理的几何意义是在满足定理的曲线上至少存在一点ξ,使曲线所以可以通过选取曲线的纵坐标与弦AB的纵坐标之差构造辅助函53ξ∈(a,b),使得F'(ξ)=0,即证得结论几何直观法用了数形结合的数学思想，在一些容易用图像表示出代数式几何意义的题目中，在这种环境下就可以运用几何直观法构造辅助函数解题.2.3常数k值法一一适用于常数已分离出的命题17.将a改为x,这在一定程度上预示了即得到所要构造的F(x).整理得f(b)-kb=f(a)-ka,构造辅助函数6F(x)满足罗尔定理，则3ξ,使F'(ξ)=0,即例5证明柯西中值定理：设函数f和8满足(ii)在(a,b)上都可导；(iii)f'(x)和g'(x)不同时为零；整理得f(b)-kg(b)=f(a)-kg(a),构造辅助函数7整理得整理得构造辅助函数则即结论在所解题目中分离出了一部分较为复杂的常数时，就可以运用常数k值法，8对称式或者轮换式时，就很容易可以构造出辅助函数，解决问题(苏俊杰，何思妍，2020).2.4积分法[6]分析将欲证等式中的ξ换成x,然后对该等式变形得则令证明这在一定范围内显示了构造辅助函数F(a)=[f(a)-f(a)(b-a)=0,则9例8设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数，且8"试证明在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使分析将结论中的ξ换成x后，可得对等式左端求积分可得则则令可得F(x)=f(x)g'(x)-g(x)f'(x).由于f(x)和8(x)在[a,b]上存在二阶导数，则f(x)、g(x)在[a,b]上可导且连续，所F'(ξ)=f(ξ)₈”(ξ)-8(ξ即从而构造辅助函数解决原问题.辅助函数F(x),然后根据其他已知条件求出待定因子P(x),这样就得到了符合要分析通过积分我们可以注意到(f(x)+(x-1)f'(x))=2f'(点或者重新构造一个F(x),通过上文的分析可以巩固前文的理论讨论，特别是对解释和预测所研究现象的行为模式，为理解复杂问题提供了宝贵的视角。使则令令则所以则F(x)=(x-1)f'(x).即,ξ∈(0,1).分析(1)用连续函数的零点定理，证明起来比较直观.得F'(x)=P(x)(f(x)-x)+P(x(f(x)-x)=(f(x)-x)-a(f则F(x)=e-a(f(x)-x).令令则,F(1)=-1<0,桐，2022)即,所以存在,使得(周思涵，杨雨F(n)=f(n)-η=0,f(n)=η.(2)令则有即有即f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.2.6构造微分方程法[10]分析整理得将ξ换为x,f(x)换为y可得F(a)=f(a)e²=0,即分析整理得即可得要构造的辅助函数为F(a)=F(b)=0,因此由F'(ξ)=0推出即y=C(x)eoles,代入原方程中得到,于是得到方程的通解的一般形式：,最终解出我们要求的辅助函数：证明按照以上步骤可构造辅助函数即变形后可得在高等数学中，通过辅助函数来解决问题的效果非常理想.维方式没有充分掌握，那么可以基于对拉格朗日定理的证明的即得如此，得到以下证明.证明根据拉格朗日定理，可得在(a,b)中，有ξ得然后以柯西中值定理为依据，得出有η∈(a,b),得进而有本文总结归纳了微分中值定理中辅助函数构造的多种方法与一般规律，但构造辅助函数没有什么万能的方法，它是一种创造性的思维过程，具有较大的灵活性运用基本的数学思想，经过认真观察，深入思考，构造出辅助函数是解题的关键.[1]林子睿，韩梦洁.数学方法论选论[M].重庆：重庆学2008.[6]