人教A版高中数学选择性必修三7.3.2第2课时-离散型随机变量的方差的综合问题-同步练习【含答案】

人教A版高中数学选择性必修三7.3.2第2课时-离散型随机变量的方差的综合问题-同步练习1．(多选)对于离散型随机变量X，有关它的均值E(X)和方差D(X)，下列说法正确的是()A．E(X)是反映随机变量的平均取值B．D(X)越小，说明X越集中于E(X)C．E(aX＋b)＝aE(X)＋bD．D(aX＋b)＝a2D(X)＋b2．设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为()A．2B．3C．4D．53．若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为()A．0.5和0.25 B．0.5和0.75C．1和0.25 D．1和0.754．已知随机变量X的分布列为X012Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)设Y＝2X＋3，则D(Y)等于()A.eq\f(8,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,3)5．(多选)若随机变量ξ满足E(1－ξ)＝4，D(1－ξ)＝4，则下列说法正确的是()A．E(ξ)＝－4 B．E(ξ)＝－3C．D(ξ)＝－4 D．D(ξ)＝46．已知0<a<1，随机变量ξ的分布列如表所示，若E(ξ)＝D(ξ)，则下列结论中不可能成立的是()ξkk－1Pa1－aA.a＝eq\f(1,3) B．a＝eq\f(2,3)C．k＝eq\f(1,2) D．k＝17．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的方差D(X)＝________.8．已知X是离散型随机变量，P(X＝1)＝eq\f(1,4)，P(X＝a)＝eq\f(3,4)，E(X)＝eq\f(7,4)，则D(2X－1)等于()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,5)D.eq\f(5,6)9．已知随机变量X的分布列如下表所示．X－213P0.160.440.40求E(X)，E(2X＋5)，D(X)，D(2X＋5)．10．设离散型随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝eq\f(1,5)，k＝1,2,3,4,5.求E(X2＋4X＋4)，D(2X－1)．11．设a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，随机变量X的分布列如下表所示，随机变量Y满足Y＝2X＋1，则当a在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上增大时，关于D(Y)的表述下列正确的是()X013Pab－abA.D(Y)增大B．D(Y)减小C．D(Y)先增大后减小D．D(Y)先减小后增大12．随机变量X的分布列为P(X＝n)＝eq\f(a,n2＋n)(n＝1,2,3)，其中a是常数，则D(aX)等于()A.eq\f(38,81)B.eq\f(608,729)C.eq\f(152,243)D.eq\f(52,27)13．设a>0，若随机变量ξ的分布列如下ξ－102Pa2a3a则下列方差值中最大的是()A．D(ξ) B．D(|ξ|)C．D(2ξ－1) D．D(2|ξ|－1)14．已知随机变量ξ的所有可能取值为m，n，其中P(ξ＝m)＝P(ξ＝n)＝eq\f(m＋n,2)，则E(ξ)＝________，当D(ξ)取最小值时，mn＝________.15．(多选)已知随机变量ξ的分布列(如下表)，则下列说法错误的是()ξxyPyxA.存在x，y∈(0,1)，E(ξ)>eq\f(1,2)B．对任意x，y∈(0,1)，E(ξ)≤eq\f(1,4)C．对任意x，y∈(0,1)，D(ξ)≤E(ξ)D．存在x，y∈(0,1)，D(ξ)>eq\f(1,4)16．为了解与掌握一些基本的地震安全防护知识，某小学在9月份开学初对全校学生进行了为期一周的知识讲座，事后并进行了测试(满分100分)，根据测试成绩评定为“合格”(60分以上包含60分)、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”定为10分，“不合格”定为5分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示．等级不合格合格得分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(20，40))eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(40，60))eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(60，80))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(80，100))频数6a24b(1)求a，b，c的值；(2)用分层随机抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)；(3)设函数f(ξ)＝eq\f(Eξ,Dξ)(其中D(ξ)表示ξ的方差)是评估安全教育方案成效的一种模拟函数．当f(ξ)≥2.5时，认定教育方案是有效的，否则认定教育方案应需调整，试以此函数为参考依据．在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？参考答案与详细解析1．ABC[离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值，即A，B正确；由均值和方差的性质可得，E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，即C正确，D错误．]2．C[D(2X＋1)＝4D(X)＝4.]3．A[∵X服从两点分布，∴X的分布列为X01P0.50.5∴E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，D(X)＝0.52×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25.]4．A[由X的分布列得E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,3)＝1，D(X)＝(0－1)2×eq\f(1,3)＋(1－1)2×eq\f(1,3)＋(2－1)2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，因为Y＝2X＋3，则D(Y)＝4D(X)＝eq\f(8,3).]5．BD[随机变量ξ满足E(1－ξ)＝4，D(1－ξ)＝4，则1－E(ξ)＝4，(－1)2D(ξ)＝4，据此可得E(ξ)＝－3，D(ξ)＝4.]6．D[由题意得E(ξ)＝ka＋(k－1)(1－a)＝k－1＋a，D(ξ)＝[k－(k－1＋a)]2·a＋[k－1－(k－1＋a)]2·(1－a)＝a(1－a)．因为E(ξ)＝D(ξ)，所以k－1＋a＝a(1－a)，所以k＝1－a2，又0<a<1，所以k＝1－a2∈(0,1)，故k＝1不可能成立，而选项A，B，C均有可能成立．]7.eq\f(4,9)解析X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(2×2,9)＝eq\f(4,9)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)×2,9)＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝eq\f(1,9)，所以E(X)＝0×eq\f(4,9)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(1,9)＝eq\f(2,3)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))2×eq\f(4,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(4,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))2×eq\f(1,9)＝eq\f(4,9).8．B[∵X是离散型随机变量，P(X＝1)＝eq\f(1,4)，P(X＝a)＝eq\f(3,4)，E(X)＝eq\f(7,4)，∴1×eq\f(1,4)＋a×eq\f(3,4)＝eq\f(7,4)，解得a＝2，∴D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,4)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(7,4)))2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,16)，∴D(2X－1)＝22D(X)＝4×eq\f(3,16)＝eq\f(3,4).]9．解由分布列可得，E(X)＝－2×0.16＋1×0.44＋3×0.40＝1.32.所以E(2X＋5)＝2E(X)＋5＝2×1.32＋5＝7.64.D(X)＝(－2－1.32)2×0.16＋(1－1.32)2×0.44＋(3－1.32)2×0.40＝2.9376.所以D(2X＋5)＝4D(X)＝4×2.9376＝11.7504.10．解∵E(X)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(1,5)＋4×eq\f(1,5)＋5×eq\f(1,5)＝3，E(X2)＝12×eq\f(1,5)＋22×eq\f(1,5)＋32×eq\f(1,5)＋42×eq\f(1,5)＋52×eq\f(1,5)＝11，D(X)＝(1－3)2×eq\f(1,5)＋(2－3)2×eq\f(1,5)＋(3－3)2×eq\f(1,5)＋(4－3)2×eq\f(1,5)＋(5－3)2×eq\f(1,5)＝2，∴E(X2＋4X＋4)＝E(X2)＋4E(X)＋4＝11＋4×3＋4＝27，D(2X－1)＝4D(X)＝8.11．A[由a＋(b－a)＋b＝1，得b＝eq\f(1,2)，则E(X)＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－a))＋3×eq\f(1,2)＝2－a，D(X)＝(0－2＋a)2a＋(1－2＋a)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－a))＋(3－2＋a)2×eq\f(1,2)＝－a2＋3a＋1，由Y＝2X＋1，得D(Y)＝D(2X＋1)＝4D(X)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3,2)))2＋13，故a在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上增大时，D(Y)增大．]12．B[因为随机变量X的分布列为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝n))＝eq\f(a,n2＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＝1，2，3))，故eq\f(a,2)＋eq\f(a,6)＋eq\f(a,12)＝1，解得a＝eq\f(4,3)，则E(X)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,9)＝eq\f(13,9)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(13,9)))2×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(13,9)))2×eq\f(2,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(13,9)))2×eq\f(1,9)＝eq\f(38,81)，故Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aX))＝a2D(X)＝eq\f(608,729).]13．C[由题意，得a＋2a＋3a＝1，则a＝eq\f(1,6)，所以E(ξ)＝－1×eq\f(1,6)＋0×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,6)，E(|ξ|)＝1×eq\f(1,6)＋0×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(7,6)，所以D(ξ)＝eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(5,6)))2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(5,6)))2＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,6)))2＝eq\f(53,36)，D(|ξ|)＝eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,6)))2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(7,6)))2＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(7,6)))2＝eq\f(29,36)，所以D(2ξ－1)＝4D(ξ)＝4×eq\f(53,36)＝eq\f(53,9)，D(2|ξ|－1)＝4D(|ξ|)＝eq\f(29,9)，所以D(2ξ－1)最大．]14.eq\f(1,2)eq\f(1,4)解析由分布列的性质得eq\f(m＋n,2)＋eq\f(m＋n,2)＝1，即m＋n＝1，所以E(ξ)＝m·eq\f(m＋n,2)＋n·eq\f(m＋n,2)＝eq\f(m＋n2,2)＝eq\f(1,2)，D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－m－\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))2≥0，当且仅当m＝n＝eq\f(1,2)时等号成立，此时mn＝eq\f(1,4).15．ABD[依题意可得E(ξ)＝2xy，因为x＋y＝1，所以2xy≤eq\f(x＋y2,2)＝eq\f(1,2)，当且仅当x＝y＝eq\f(1,2)时等号成立，即E(ξ)≤eq\f(1,2)，故A，B错误；D(ξ)＝(x2y＋y2x)－(2xy)2＝xy(x＋y－4xy)＝xy(1－4xy)，D(ξ)－E(ξ)＝xy(1－4xy－2)＝－xy(1＋4xy)，由于xy>0，∴D(ξ)－E(ξ)<0，故C正确；令t＝xy，则D(ξ)＝t(1－4t)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,8)))2＋eq\f(1,16)，即D(ξ)≤eq\f(1,16)，故D错误．]16．解(1)由频率分布直方图可知，得分在[20,40)的频率为0.005×20＝0.1，故抽取的学生答卷数为eq\f(6,0.1)＝60，又由频率分布直方图可知，得分在[80,100]的频率为0.2，所以b＝60×0.2＝12.又6＋a＋24＋b＝60，得a＋b＝30，所以a＝18.c＝eq\f(18,60×20)＝0.015.(2)“合格”与“不合格”的人数比例为36∶24＝3∶2