高中数学学业水平测试复习专题七立体几何初步第24讲空间点、直线、平面之间的位置关系课件

第24讲空间点、直线、平面之间的位置关系必备知识PART01第一部分1．四个公理公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．推理模式：__________________．如图所示，或者：因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α.公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内；③检验面是否是平面．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．推理模式：______________________．如图所示，或者：因为A∈α，A∈β，所以α∩β＝l，A∈l.公理2的作用：①判断两个平面是否相交及交线位置；②判断点是否在线上．今后所说的两个平面(或两条直线)，如无特殊说明，均指不同的平面(直线).公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推理模式：____________________________．或者：因为A，B，C不共线，所以存在唯一的平面α，使得A，B，C∈α.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．几个唯一性结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．考点精析PART02第二部分考点一公理的应用(1)在下列命题中，不是公理的是(

)A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内B．经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．垂直于同一条直线的两个平面相互平行D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线√解析：对于选项A，B，D分别是公理1，3，2；选项C不是公理．故选C.(2)在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若直线EH，FG相交于点P，则(

)A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面ABC内D．点P必在平面ACD内√解析：如图，连接EH，FG，BD，因为EH，FG所在直线相交于点P，所以P∈EH且P∈FG，因为EH⊂平面ABD，FG⊂平面BCD，所以P∈平面ABD，且P∈平面BCD，又因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD.故选B.归纳总结公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据；公理2是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三点共线的依据；公理4是判断空间两条直线平行的依据，也叫平行的传递性．考点二判断空间两直线的位置关系(1)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(

)A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能√解析：如图所示，在长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误；m，n3与l都异面，m与n3相交．故选D.(2)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线的条数为__________．3解析：根据题图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的9条棱所在直线中，与直线BC1异面的直线的有A1B1，AA1，AC，共3条．故答案为3.归纳总结空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．考点三直线与平面、平面与平面的位置关系(1)已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是(

)A．平行 B．异面C．相交 D．平行或异面√解析：如图，

长方体的下底面所在平面为α，上底面所在平面为β，则α∥β，AB所在直线为m，当CD所在直线为n时，m∥n，当CE所在直线为n时，m与n异面．由两平面平行的定义可知，α与β无公共点，而m⊂α，n⊂β，则m与n无公共点，m与n不相交．故选D.(2)(2022·广东学考)已知直线m与平面α，则下列结论成立的是(

)A．若直线m垂直于平面α内的一条直线，则m⊥αB．若直线m垂直于平面α内的两条直线，则m⊥αC．若直线m平行于平面α内的一条直线，则m∥αD．若直线m与平面α没有公共点，则m∥α√解析：由线面垂直的判定定理知，若直线m垂直于平面α内的两条相交直线，则m⊥α，故A，B错误；若直线m平行于平面α内的一条直线，则m∥α或m⊂α，故C错误；若直线m与平面α没有公共点，则m∥α，故D正确．故选D.归纳总结用定义法判断直线与平面，平面与平面的位置关系，要注意充分考虑定义，例如直线与平面相交——直线与平面只有一个公共点，直线与平面平行——直线与平面没有公共点，平面与平面平行——两平面没有公共点，这样也就得到了相应的一些性质．综合提升PART03第三部分1．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，则“a，b相交”是“a，c相交”的(

)A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件√解析：充分性：若a，b相交，a⊂α，b⊂β，则其交点在交线c上，故a，c相交；必要性：若a，c相交，a，b可能为相交直线或异面直线．综上所述，“a，b相交”是“a，c相交”的充分不必要条件．故选C.2．(2024·广东学考模拟)已知空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(

)A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能√解析：根据条件作出示意图，得到以下三种可能的情况，

由图可知AB，CD有相交、平行、异面三种情况．故选D.3．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(

)A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M√解析：因为AB⊂γ，M∈AB，所以M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.根据公理3可知，点M在γ与β的交线上.

同理可知，点C也在γ与β的交线上．故选D.4．如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的关系是(

)A．相交 B．平行C．异面 D．相交或异面√解析：取AB的中点G，连接GQ，GF，EQ，则GQ∥AD，

又AD∥EF，所以GQ∥EF，则G，Q，E，F确定平面GQEF，又FQ⊂平面GQEF，P∈平面GQEF，P∉FQ，B∉平面GQEF，所以直线FQ与PB是异面直线．故选C.5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(

)A．相交但不垂直 B．相交且垂直C．异面 D．平行√6．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的为________．(填序号)①若a平行于平面α内的无数条直线，则a∥α；②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．③解析：①忽略了a在平面α内这一情况，故①错误；②直线a与b没有交点，所以直线a与b可能异面也可能平行，故②错误；③直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故③正确；④直线a与平面β可能相交也可能平行，故④错误．7．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的序号是________．①C1，M，O三点共线；②C1，M，O，C四点共面；③C1，M，O，A四点共面；④D1，D，O，M四点共面．④解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，在①中，因为直线A1C交平面C1BD于点M，所以M∈平面C1BD，M∈直线A1C，又A1C⊂平面ACC1A1，所以M∈平面ACC1A1，因为O为DB的中点，BD⊂平面C1BD，且BD⊂平面ACC1A1，所以O∈平面C1BD，且O∈平面ACC1A1，又C1∈平面C1BD，且C1∈平面ACC1A1，所以C1，M，O三点共线，故①正确；在②中，因为C1，M，O三点共线，所以C1，M，O，C四点共面，故②正确；在③中，因为C1，M，O三点共线，所以C1，M，O，A四点共面，故③正确；在④中，因为直线OM∩CC1＝C1，DD1∥CC1，所以D1，D，O，M四点不共面，故④错误．故答案为④.8．在