高中数学学业水平合格性考试模拟测试卷(二)含答案

高中学业水平合格性考试模拟测试卷(二)(时间：90分钟，满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P＝{x|x2－5x－6<0}，Q＝{y|y＝2x，x≥0}，则P∩Q＝()A．(2，3) B．[－1，6]C．[1，6) D．[－6，1]2．在复平面内，复数z＝－eq\r(3)＋i(i为虚数单位)对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)2x>1，则命题p的否定为()A．∃x≤0，使得(x＋1)2x≤1B．∃x>0，使得(x＋1)2x≤1C．∀x>0，总有(x＋1)2x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)2x≤14．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，第50百分位数为b，则有()A．a＝13.7，b＝15.5 B．a＝14，b＝15C．a＝12，b＝15.5 D．a＝14.7，b＝155．三个数logπ0.3，log3π，π－0.3的大小关系是()A．logπ0.3<π－0.3<log3π B．logπ0.3<log3π<π－0.3C．π－0.3<logπ0.3<log3π D．π－0.3<log3π<logπ0.36．设a>0，且a≠1，则“a>1”是“logaeq\f(1,2)<1”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，－1))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2)))＝()A．eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)8．在空间中，设l，m为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若l⊂α，m不平行于l，则m不平行于αB．若l⊂α，m⊂β，且α，β不平行，则l，m不平行C．若l⊂α，m不垂直于l，则m不垂直于αD．若l⊂α，m⊂β，l不垂直于m，则α，β不垂直9．定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2－x，则当x∈[－2，－1]时，f(x)的最小值为()A．－eq\f(1,16) B．－eq\f(1,8)C．－eq\f(1,4) D．010．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，f(2)＝0，则函数y＝f(x)在区间(0，6)上的零点()A．有2个 B．有4个C．有6个 D．至少有4个11.如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线AC于K，其中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ的值为()A．eq\f(2,9) B．eq\f(2,7)C．eq\f(2,5) D．eq\f(2,3)12．在一段线路中有4个自动控制的常用开关A，B，C，D，如图连接在一起，假定开关A，D能够闭合的概率都是0.7，开关B，C能够闭合的概率都是0.8，则这段线路能正常工作的概率为()A．0.9676 B．0.9982C．0.3136 D．0.9674二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).类别篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．14．设a，b为平面向量，若a＝(1，0)，b＝(3，4)，则a·b＝________．15．已知tanα＝2，则eq\f(sinα－cosα,sinα＋cosα)的值为________．16．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，则eq\f(3y,x)＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值是________．17．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，则直线EF与MN所成角的大小为__________．18．已知函数f(x)＝eq\f(x＋a＋|x－a|,2)，g(x)＝ax＋1，其中a>0.若f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是____________．三、解答题：本大题共4个大题，第19～21题各10分，第22题12分，共42分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.(1)求cosA；(2)若a＝3，△ABC的面积为2eq\r(2)，求b，c.20．已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(－π<φ<0)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2))).(1)求φ的值以及函数f(x)的单调递增区间；(2)若f(θ)＝eq\f(3,5)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))的值．21.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面圆的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO＝eq\r(2)，圆锥的侧面积为eq\r(3)π，求三棱锥P­ABC的体积．22．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值．(1)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2；(2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|＋|b|的最大值．参考答案高中学业水平合格性考试模拟测试卷(二)1．C由已知可得P＝(－1，6)，Q＝[1，＋∞)，所以P∩Q＝[1，6)，故选C.2．B因为z＝－eq\r(3)＋i对应的点为(－eq\r(3)，1)，所以对应的点位于第二象限，故选B.3．B根据全称量词命题的否定形式知，p：∀x>0，总有(x＋1)·2x>1的否定为q：∃x>0，使得(x＋1)2x≤1，故选B.4．D把该组数据按从小到大排列：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，故平均数a＝eq\f(1,10)×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，因为50×eq\f(10,100)＝5，所以这10名工人一小时内生产零件的第50百分位数为b＝eq\f(15＋15,2)＝15.故选D.5．A对数函数y＝logπx为增函数，所以logπ0.3<logπ1＝0；对数函数y＝log3x为增函数，所以log3π>log33＝1；指数函数y＝πx为增函数，所以0<π－0.3<π0＝1.因此logπ0.3<π－0.3<log3π.故选A.6．A因为logaeq\f(1,2)<1⇔0<a<eq\f(1,2)或a>1，所以“a>1”是“logaeq\f(1,2)<1”的充分不必要条件，故选A.7．D因为角α的终边过点P(－eq\r(3)，－1)，所以|OP|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)))\s\up12(2)＋（－1）2)＝2，所以cosα＝－eq\f(\r(3),2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2)))＝－cos2α＝1－2cos2α＝1－2×eq\f(3,4)＝－eq\f(1,2).8．C对于A，m可能与α相交或m⊂α或m∥α；对于B，l与m可能平行、相交或异面；对于C，若m⊥α，则m⊥l，与条件不符，所以m不垂直于α；对于D，α与β可能垂直．综上所述，故选C.9．A当x∈[－2，－1]时，x＋2∈[0，1]，则f(x＋2)＝(x＋2)2－(x＋2)＝x2＋3x＋2，又f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝2f(x＋1)＝4f(x)，所以f(x)＝eq\f(1,4)(x2＋3x＋2)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,16)，所以当x＝－eq\f(3,2)时，f(x)取得最小值，为－eq\f(1,16).10．D因为f(x)是定义在R上的偶函数，且周期为3，f(2)＝0，所以f(－1)＝0，f(1)＝0，f(5)＝f(2)＝0，f(4)＝f(1)＝0，所以函数y＝f(x)在区间(0，6)上至少有4个零点．故选D.11．A因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(5,2)eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AF,\s\up6(→))，因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)\o(AE,\s\up6(→))＋2\o(AF,\s\up6(→))))＝eq\f(5,2)λeq\o(AE,\s\up6(→))＋2λeq\o(AF,\s\up6(→))，由E，F，K三点共线可得，eq\f(5,2)λ＋2λ＝1，解得λ＝eq\f(2,9)，故选A.12．A这段线路能正常工作的对立事件是A，D同时断开且B，C中至少有一个断开，所以这段线路能正常工作的概率为：P＝1－(1－0.7)(1－0.7)(1－0.8×0.8)＝0.9676．故选A.13．解析：由题意知，eq\f(12,45＋15)＝eq\f(30,120＋a)，解得a＝30.答案：3014．解析：由题意得a·b＝1×3＋0×4＝3.答案：315．解析：eq\f(sinα－cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(\f(sinα,cosα)－\f(cosα,cosα),\f(sinα,cosα)＋\f(cosα,cosα))＝eq\f(tanα－1,tanα＋1)，把tanα＝2代入得，原式＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)16．解析：把x＋y＝1代入eq\f(3y,x)＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)，得eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)＋2≥2eq\r(4)＋2＝6，当且仅当x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)时取等号，所以eq\f(3y,x)＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为6.答案：617．解析：连接A1C1，C1B，A1B.因为E，F，M，N分别是BC，CC1，A1D1，C1D1的中点．所以MN∥A1C1，EF∥BC1，所以∠A1C1B是异面直线EF与MN所成的角．易知△A1BC1为等边三角形，所以∠A1C1B＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)18．解析：由题意得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x>a，,a，x≤a，))在平面直角坐标系内分别画出0<a<1，a＝1，a>1时，函数f(x)，g(x)的图象，由图易得当f(x)，g(x)的图象有两个交点时，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,g（a）>a，))解得0<a<1，a的取值范围为0<a<1.答案：(0，1)19．解：(1)由3cos(B－C)－1＝6cosB·cosC，得3(cosBcosC－sinBsinC)＝－1，即cos(B＋C)＝－eq\f(1,3)，从而cosA＝－cos(B＋C)＝eq\f(1,3).(2)由于0＜A＜π，cosA＝eq\f(1,3)，所以sinA＝eq\f(2\r(2),3)，又S△ABC＝2eq\r(2)，即eq\f(1,2)bcsinA＝2eq\r(2)，解得bc＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝13，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bc＝6，,b2＋c2＝13，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝3，,c＝2.))20．解：(1)函数图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝eq\f(1,2).又因为－π<φ<0，所以－eq\f(2π,3)<eq\f(π,3)＋φ<eq\f(π,3)，所以eq\f(π,3)＋φ＝－eq\f(π,3)，即φ＝－eq\f(2π,3)，所以f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3))).由π＋2kπ≤2x－eq\f(2π,3)≤2π＋2kπ，k∈Z，整理得eq\f(5π,6)＋kπ≤x≤eq\f(4π,3)＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋kπ，\f(4π,3)＋kπ))(k∈Z).(2)因为f(θ)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(2π,3)))＝eq\f(3,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(2π,3)＋π))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(2π,3)))＝－eq\f(3,5).21．解：(1)证明：由题设可知，PA＝PB＝PC，由于△ABC是正三角形，故可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC.又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°.从而PB⊥PA，PB⊥PC，PA∩PC＝P，故PB⊥平面PAC，因为PB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l.由题设可得rl＝eq\r(3)，l2－r2＝2.解得r＝1，l＝eq\r(3)