计算机控制技术 第2版 课件 第2章计算机控制的理论基础

2.1概述2.2采样过程2.3数字控制设计基础2.4离散化方法2.5数字控制器设计方法2.6本章小结第2章计算机控制的理论基础建模：差分方程、脉冲传递函数分析：稳定性、动态性能、稳态性能2.1概述连续系统和离散系统：系统中所有信号都是时间连续函数的控制系统称为连续系统。连续系统的分析工具：拉普拉斯变换

系统中有一部分信号不是时间的连续函数，而是一组离散的脉冲序列或数字序列，我们将其称为离散系统。离散系统的分析工具：Z变换计算机控制系统的基础理论主要包括：采样系统理论离散系统理论计算机控制系统框图（1）采样系统理论主要包括以下一些内容：采样理论。连续对象模型及性能指标的离散化。性能指标函数的计算。采样控制系统的仿真。采样周期的选择。（2）离散系统理论主要包括：差分方程及z变换理论。离散化方法。数字控制器设计方法常规设计方法。2.2采样过程2.2.1信号类型及系统类型1．信号类型——主要有3种类型：模拟信号、离散信号、数字信号（1）模拟信号在时间和幅值上均连续取值而不发生突变的信号，一般用十进制数表示。控制对象常用。（2）离散（模拟）信号在时间上不连续，而在幅值上连续取值的信号。这是在信号变换过程中需要的中间信号。（3）数字（离散）信号在时间和幅值上均不连续取值的信号，通常用二进制代码形式表示。这是计算机需要的信号。1）

采样控制系统系统中的信号是脉冲序列形式的离散信号，称为采样控制系统；2．系统类型

2）计算机控制系统（数字控制系统）信号是数码序列形式的数字信号，称为计算机控制系统（数字控制）系统。3）计算机控制系统与采样控制系统的关系

若认为采样编码过程瞬时完成，并用理想脉冲来等效代替数字信号，则计算机控制系统等效于采样控制系统（统称离散系统）。2.2.2采样与保持输入和输出计算机的信息转换如图所示。连续信号的采样过程把连续信号转换成离散信号的过程，叫做采样。实现采样的装置叫做采样器或采样开关。1．采样过程采样周期：相邻两次采样的时间间隔。采样周期可以是按一定规律变化的（或不变），也可以是随机的。如采样持续时间非常小，可以用理想单位脉冲函数来取代采样点处的矩形脉冲。2.采样开关和采样信号的数学描述理想采样开关其数学描述为：

理想采样脉冲序列式中，T为采样周期；k为整数。

单位脉冲信号数学描述：

采样信号数学描述：3.数据保持为了实现对被控对象的有效控制，必须把离散信号恢复为连续信号。保持器：把离散信号恢复为连续信号。（实为低通滤波器，常用零阶保持器和一阶保持器）图2-15零阶保持器的时域特性（a）两阶跃信号叠加（b）矩形波信号(1).零阶保持器

将前一个采样时刻kT的采样值f(kT)恒定不变地保持到下一个采样时刻(k+1)T。由此可以看出，零阶保持器的传递函数为将上式进行拉式变换离散信号式（2-2）的拉式变换应用零阶保持器恢复的信号(2)零阶保持器的实现

零阶保持器可以用无源网络来近似实现。如果将零阶保持器传递函数中的展开成幂级数零阶保持器式（2-16）可以用图2-9所示的RC无源网络来实现。图2-9用RC无源网络近似零阶保持器假如取级数的前3项，则可以用RLC无源网络来实现。用RLC无源网络近似零阶保持器

2.2.3采样定理

在计算机控制系统中要求采样到的离散信号序列能够表达相应的连续信号的基本特征。

频谱重叠香农采样定理：如果连续信号具有有限频谱，其最高频率为ωmax，则对进行周期采样且采样角频率为ωs>=2ωmax时，连续信号可以由采样信号惟一确定，亦即可以离散信号不失真地恢复。

在计算机控制系统中，连续信号通常是非周期性的，其频谱中的最高频率可能是无限的，为了避免频率混淆问题，可以在采样前对连续信号进行滤波，滤除其中频率高于的分量，使其成为具有有限频谱的连续信号。2.2.4采样周期的选择（1）给定值的变化频率。（2）被控对象的特性。（3）使用的控制算法。（4）计算机计算精度。（5）执行机构的类型。（6）控制的回路数。2.3离散控制系统设计的理论基础

连续系统的动态过程最早是利用微分方程来描述的。但对于信号已离散化的采样系统，微分、微商等概念就不适用了，则必须采用建立在差分、差商等概念基础上的差分方程来描述。2.3.1差分方程

差分：是采样信号两相邻采样脉冲之间的差值。一系列差值变化的规律，可反映出采样信号的变化规律。设离散函数序列y(kT)，为了方便可简写为y(k)。前向差分是下一时刻采样值y(k+1)与现在时刻采样值y(k)之差Δy(k)

。即 Δy(k)=y(k+1)-y(k)

Δy(k)称为一阶前向差分。kT(k+1)T(k-1)TΔy(k)▽y(k)te*(t)二阶前向差分:Δ2y(k)=Δ[Δy(k)]=Δ[y(k+1)

-y(k)]=Δy(k+1)

-Δy(k)]

=[y(k+2)

-y(k+1)]-[y(k+1)

-y(k)]

=y(k+2)

–2y(k+1)+y(k)

n阶前向差分:

后向差分是现在时刻采样值y(k)与上一时刻采样值y(k-1)之差▽y(k)

。即， ▽y(k)=y(k)-y(k-1)

▽y(k)称为一阶后向差分。kT(k+1)T(k-1)TΔy(k)▽y(k)te*(t)二阶后向差分:

▽2y(k)=▽[▽y(k)]=▽[y(k)

-y(k-1)]=▽y(k)

-▽y(k-1)]

=[y(k)

-y(k-1)]-[y(k-1)

-y(k-2)]

=y(k)

–2y(k-1)+y(k-2)]

n阶后向差分:▽ny(k)=▽n-1[▽y(k)]=▽n-1y(k)

-▽n-1y(k-1)]=线性常系数差分方程

对于单输入单输出线性定常离散系统，在某一采样时刻的输出值y(k)不仅与这一时刻的输入值r(k)有关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、r(k-2)…有关，还与过去的输出值y(k-1)、y(k-2)…有关。可以把这种关系用n阶后向差分方程描述：n—系统的阶次k—系统的第k个采样周期线性定常系统差分方程的一般形式。递推形式特别适合在计算机上求解。比连续系统方便！

线性定常离散系统，也可以用n阶前向差分方程描述,即n—系统的阶次k—系统的第k个采样周期递推形式在实际当中，较少应用例2-1:已知二阶差分方程输入信号初始条件为试用迭代法求输出信号y(k),k=0,1,2,3,4,5

解：根据初始条件及递推关系，得

线性离散系统线性差分方程拉式变换z变换代数方程代数方程分析运算得到动态稳态性能线性连续系统线性微分方程2.3.2Z变换及其特性

采样信号的拉氏变换式中含有超越函数，将使线性离散系统的拉式变换式不能化为代数式，分析研究很不方便，为解决这一问题，引出了z变换。z变换是从拉氏变换直接引申出来的，实际上是采样函数拉氏变换的一种变形，超越函数1、z变换定义连续信号经采样后得到的脉冲序列为对上式进行Laplace变换，得引入一个新的复变量得z变换的定义式：称F(z)为的z变换，记作F(z)是关于复变量z-1的幂级数。f(kT)表示采样脉冲的幅值，z的幂次表示该采样脉冲出现的时刻。量值与时间2、z变换的基本定理其中和为任意实数。1)．线性定理：若和z变换为和，则2)．实数位移定理若的z变换为，则3)．复位移定理已知的z变换函数为，则4)．Z域尺度定理若已知的z变换函数为，则其中，为任意常数。5)初值定理和终值定理(1)初值定理：设的z变换为，并且有极限存在，则

(2)终值定理：设的z变换为，且的极点均在z平面的单位圆内，则3、Z变换的求法(1).定义法：已知连续函数信号f(t)

经过采样开关，采样后得到脉冲序列f*(t)

展开后：求f(0)，f(T)，f(2T)

……代入展开式即可求出函数的Z变换。例2-2求单位脉冲信号的z变换。设，则由于在时刻的脉冲强度为1，其余时刻的脉冲强度均为零，所以有解：同理，解：例2-3求单位斜坡信号的z变换。例：求指数函数的z变换。解：设，则(2).部分分式法：查表法设连续函数f(t)的拉氏变换式F(s)为有理分式，且可以展开成部分分式的形式，其中部分分式对应简单的时间函数，从而可以根据附录的z变换表求出F(z)

例2-5设，求的z变换。

解：应用部分分式法：

两边求Laplace反变换查z变换表得：例2-6设，求的z变换。解：查z变换表得：不能直接将代入求，因为是针对采样信号进行z变换。注意：4、z反变换z反变换是z变换的逆运算。其目的是由象函数求出所对应的采样脉冲序列（或），记作z反变换只能给出采样信号，而不能给出连续信号。注意:Z[]Z-1[]采样(1).部分分式法步骤：①先将变换式写成，展开成部分分式，②两端乘以z③查z变换表例2-7

求的z反变换。解：两端乘以z(2)长除法要点：将F(z)用长除法变化为降幂排列的幂级数，然后与z变换定义式对照求出原函数的脉冲序列。

若z变换函数是复变量z的有理函数，则可将展成的无穷级数，即例2-8求的z反变换解：与部分分式法结果一致。1)迭代法线性定常系统差分方程可以写成递推形式

当给出输出函数的n个初始值后，可以从n+1个值递推计算下去，它适合于计算机运算，简单快捷。5.差分方程的解法有经典法*-较繁琐：通解+特解、迭代法和z变换法。例:已知离散系统的后向差分方程

y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=r(k)初始条件y(0)=0,y(1)=1。试用迭代法求在r(k)=1(k)=1(k>0)作用下的输出序列。解：可以写出后向差分方程的递推形式y(k)=r(k)+5y(k-1)-6y(k-2)

根据初始条件y(0)=0,y(1)=1，并令k=2,3,4…，逐拍递推，有

k=0 y(0)=0 k=1 y(1)=1初始条件

k=2 y(2)=r(2)+5y(1)-6y(0)=6 k=3 y(3)=r(3)+5y(2)-6y(1)=25 k=4 y(4)=r(4)+5y(3)-6y(2)=90 …由此可以画出输出y(k)随时间变化的曲线。

n阶方程需要n个初始值，从n+1开始递推，初始值不同解也不同，初始值可以看作为输入。2T3TTty*(t)4T3)z变换法

用z变换法求解常系数差分方程的方法与用拉氏变换求解微分方程方法类似。差分方程式r(k)y(k)求解代数方程时域解Zz的代数方程R(z)y(z)z域解Z-1经典法求解

用Z变换法求解常系数差分方程的一般步骤：利用Z变换的超前或延迟定理对差分方程两边进行z变换，代入相应的初始条件，化为复变量Z的代数方程；求出代数方程的解Y(Z)；对Y(Z)进行反变换，得出y(kT)或c*(t)。例一阶离散系统的差分方程为

y(k+1)-by(k)=r(k)已知r(k)=ak,初始条件y(0)=0，求响应y(k)。解：对差分方程两边取z变换

zY(z)-zy(0)-bY(z)=R(z)代入求得部分分式法求z反变换查表得例2-9二阶离散系统的差分方程为

f(k+2)+3f(k+1)+2f(k)=0已知初始条件f(0)=0,f(1)=1,求响应f(kT)。解：对差分方程两边取z变换

[z2F(z)-z2f(0)-zf(1)]+3[zF(z)-zf(0)]+2F(z)=0代入求得查表得2.3.3脉冲传递函数1.脉冲传递函数的定义脉冲传递函数定义为输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之比离散输出信号的Z变换离散输入信号的Z变换脉冲传递函数=零初始条件

图(b)情况下,为了应用脉冲传递函数的概念,可以在输出端虚设一个采样开关,并令其采样周期与输入端采样开关的相同。

脉冲传递函数（1）串联环节间有采样开关的开环脉冲传递函数

D(z)=G1(z)R(z)Y(z)=G2(z)D(z)=G1(z)G2(z)R(z)由此可得

结论:

有采样开关分隔的两个环节串联时,其脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传递函数之积。可以推广到n个环节串联2.串联环节的脉冲传递函数

（2）串联环节间没有采样开关的开环脉冲传递函数结论:没有采样开关分隔的两个环节串联时,其脉冲传递函数为这两个环节的传递函数之积的Z变换。可以推广到n个环节串联G1G2(z)≠G1(z)G2(z)例2-10输入信号r(t)=1,求系统的开环脉冲传递函数G(z)和输出的Z变换Y(z)。解：输入信号的Z变换为1）图(a),

环节间有采样开关:2）图(b),

环节间没有采样开关:

（3）有零阶保持器的开环脉冲传递函数等效为：例2-11试求开环系统的脉冲传递函数G(z),其中解：上式部分分式展开得：上式Z变换得：得：（4）连续信号进入连续环节的情况此时无法写出脉冲传函G(z)。3.并联环节的脉冲传递函数

连续系统中，并联各环节传递函数等于两个环节的脉冲传函之和。在离散系统中，这一法则仍然成立。

对于存在并联支路输入连续信号的情况，加法法则对于y*(t)

仍然成立，但此时无法写出脉冲传函Y(z)/R(z)。4.闭环系统的脉冲传递函数

在连续系统中，闭环传函与开环传函有确定的关系。可以用典型结构描述，有通用公式求闭环传函。

在采样系统中，由于采样开关的位置不同，结构形式就不一样，求出的脉冲传函和输出表达式不同，因此不存在唯一的典型结构图。由图可见E(s)=R(s)-H(s)Y(s)Y(s)=E*(s)G(s)

合并以上两式,得到E(s)=R(s)-H(s)G(s)E*(s)对上式作Z变换,则有E(z)=R(z)-Z[G(s)H(s)E*(s)］因G(s)和H(s)之间没有采样开关,而H(s)和E*(s)之间有采样开关E(z)=R(z)-GH(z)E(z)即得闭环离散系统对输入量的脉冲传递函数为：与线性连续系统类似,闭环脉冲传递函数的分母1+GH(z)即为闭环采样控制系统的特征多项式。离散系统输出信号Y(z)表达式简单求解方法：先按连续系统方式，写出Y(s)；然后将s变为z；再将各环节间没有采样开关的(z)去掉即得Y(z)。可进一步求Φ(z)。结论：

误差信号e（t）处没有采样开关时，输入采样信号r（t）便不存在，此时不可能求出闭环离散系统对于输入量的脉冲传函，而只能求出输出采样信号的z变换函数Y(z)。例2-12当采样系统中有数字控制器时，求该系统的闭环脉冲传递函数例已知采样系统结构如图所示，试推求输出信号的z变换表达式Y(z)。解：(3)对各式采样后取z变换(4)消除中间变量(1)输入r(t)和输出y(t)都是连续信号。(2)根据结构图有例已知采样系统结构如图所示，试推求输出信号的z变换表达式Y(z)。

例有干扰信号的采样系统(R(s)=0，单位反馈),求扰动对输出的影响关系。2.3.4离散系统分析根据z变换定义，令因为：

则：其模和幅角分别为，

1．离散系统的稳定性分析则S平面与Z平面的映射关系：

S平面与Z平面的映射关系可由来确定。

平面的影射关系对应表当极点分布在Z平面的单位圆上或单位圆外时，对应的输出分量是等幅的或发散的序列，系统不稳定。当极点分布在Z平面的单位圆内时，对应的输出分量是衰减序列，而且极点越接近Z平面的原点，输出衰减越快，系统的动态响应越快。反之，极点越接近单位圆周，输出衰减越慢，系统过渡时间越长。

系统特征方程的所有根均分布在z平面的单位圆内,

或者所有根的模均小于1,即│Zi│<1

(i=1,2,…,n)（1）.离散系统稳定的充要条件例：某离散系统的闭环脉冲传递函数为

试分析系统的稳定性。解：根据已知条件可知的极点为由于，故该系统是不稳定的。

例2-13设线性离散系统采样周期T=1s,试分析当K=4和K=5时系统的稳定性。解：系统的开环脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为闭环特征方程为1）K=4,T=1s,有特征根：均在单位圆内，系统稳定。2）K=5,T=1s,有特征根：z2在单位圆外，系统不稳定。

思路:找出与连续系统稳定性相关性,用劳斯判据来判断其稳定性。（2）.离散控制系统的稳定判据令：代入特征方程中，得关于ω的方程，列劳斯表，判断第一列元素符号变化情况，判断稳定性。判定离散系统稳定的代数方法——劳斯稳定判据对于高阶的闭环特征方程，或当需要寻找使系统稳定的增益变化范围时（2）.离散控制系统的稳定判据例2-14设系统的特征方程为解：化简后得试用劳斯稳定判据判别系统稳定性。令代入特征方程得第一列元素有两次符号改变，所以系统不稳定，有两个单位圆外的极点。劳斯表w3

12w2 2 40w1 -180w040例某线性离散系统如图所示，K=1，试判断当T=1s和T=4s时系统的稳定性。

解：系统的开环脉冲传递函数闭环传递函数为：特征方程为：z2+(T-2)z+1-Te-T=0整理，得当T=1s时,系统的特征方程为z2-z+0.632=0直接解得极点为z1,2=0.5±j0.618。由于极点都在单位圆内,所以系统稳定。当T=4s时,系统的特征方程为z2+2z+0.927=0

解得极点为z1=-0.73,z2=-1.27。有一个极点在单位圆外,所以系统不稳定。结论1：T越大,系统的稳定性就越差。例2-15设采样系统如图所示,采样周期T=1s,求能使系统稳定的K值范围。解:开环脉冲传递函数为闭环传递函数为闭环系统的特征方程为T=1，得：令代入上式得整理后可得Routh表为w2 0.632K 2.736-0.632Kw1 1.264w02.736-0.632K

要使系统稳定,必须使劳斯表中第一列各项大于零,即0.632K＞0和2.736-0.632K＞0所以使系统稳定的K值范围是0＜K＜4.32。结论2：T一定，K越大,系统的稳定性就越差。T、k对离散系统性能的影响TK结论：T不变时,K越大性能越差K不变时,T越大性能越差2．离散系统的动态性能计算机控制系统的典型暂态响应调节时间、上升时间、峰值时间、超调量稳态误差ImRe01位于z平面上左半单位园内闭环实极点,其输出为衰减脉冲交替变号,所以,动态过程质量差。（1）z平面上极点分布与单位脉冲响应的关系

闭环实极点分布与相应的动态响应形式

闭环复极点分布与相应的动态响应形式位于z平面左半单位园内闭环复数极点,其输出为衰减高频振荡脉冲,所以,动态过程性能不理想。例系统结构图如图所示，T=K=1，r(t)=1,求系统动态指标。解:y（2）用闭环脉冲传递函数分析离散系统的动态特性输出稳态值长除法可得出系统的单位阶跃响应序列y*(t):Y由响应序列可以求出系统动态性能指标：对应的连续系统性能指标：

采样器使系统的调节时间、上升时间、峰值时间略有减小，但超调增大，降低稳定性。2T3TTty*(t)4T15T6T例2-17在上例中，增加采样保持器，系统如图所示，T=1，r(t)=1(t),

求系统动态指标。解:开环脉冲传函闭环脉冲传函动态性能指标：

零阶保持器使系统的调节时间、上升时间、峰值时间及超调增大，这是因为零阶保持器的相角滞后作用，降低了稳定性。3.离散系统的稳态误差由于离散控制系统没有唯一的结构形式，因此无法给出误差脉冲传递函数的一般形式，只能根据具体结构进行具体求取。（1）终值定理法：由此可得误差信号的z变换为：如果的极点（即闭环极点）全部严格位于Z平面的单位圆内，即若离散系统是稳定的，则可用Z变换的终值定理求出采样瞬时的终值误差为或：例2-18，设离散系统如图所示，T=1s,输入连续信号r(t)分别为1(t)和t，求离散系统的稳态误差。解:开环脉冲传函误差脉冲传函

一对共轭极点位于z平面单位圆内，根据z变换的终值定理，稳态误差终值为:闭环极点设离散系统开环脉冲传函

式中Kg为系统的增益，zi为系统的开环零点，pj为系统的开环极点。z=1的极点（对应积分环节，G(s)中s=0的极点，映射到G(z)中z=1的极点）有N重，当N=0，1，2时，分别称为0型、1型、2型系统。（2）误差系数法：1）输入信号为单位阶跃函数时的稳态误差－－位置误差系数当为0型系统时当为1，2型系统时（2）输入信号为单位斜坡函数时的稳态误差当为2型系统时当为0型系统时当为1型系统时－－速度误差系数（3）输入信号为单位抛物线函数时的稳态误差当为3型系统时当为0,1型系统时当为2型系统时－－加速度误差系数系统类型位置误差r(t)=1(t)速度误差r(t)=t加速度误差r(t)=t2/20型1/Kp∞∞Ⅰ型01/Kv∞Ⅱ型001/Ka采样时刻稳态误差e(∞)例2-19设采样周期T=0.1秒，试确定系统分别在单位阶跃、单位斜坡和单位抛物线函数输入信号作用下的稳态误差。解：系统的开环传递函数为开环脉冲传递函数闭环特征方程为令，有系数均大于零，系统稳定单位阶跃输入：单位斜坡输入：单位抛物线输入：例:设系统的结构图如下图所示，K=1,T=0.1s,r(t)=1(t)+t,求系统的稳态误差。

Y(s)R(s)

—系统的稳态误差为

解：系统的开环传递函数为把T=0.1代入化简得2.3离散控制系统的Matlab仿真MATLAB的控制系统工具箱中提供的模型转换函数：ss2tf、ss2zp、tf2ss、tf2zp、zp2ss、zp2tf均适用于采样系统1．模型的转换例2-20：设某一控制系统的控制框图如图2-46所示，采样周期T=0.05s，求取（1）数字控制器脉冲传递函数，s域的传递函数、系统开环传递函数，闭环传递函数（2）系统开环和闭环z域的脉冲传递函数解:因为数字控制器的脉冲传递函数为：则数字控制器脉冲传递函数的MATLAB表达为：dnum=[3.4,-1.5]；dden=[1,–1.6,0.8]dnum=[3.4-1.5];dden=[1-1.60.8];Ts=0.05;sysd=tf(dnum,dden,Ts);sysc1=d2c(sysd,'zoh');num1=0.25;den1=[11];num2=1;den2=[12];sys1=tf(num1,den1);sys2=tf(num2,den2);sysc2=sys1*sys2;sysc=sysc1*sysc2;sysbc=feedback(sysc,1)程序执行结果：数字控制器脉冲传递函数：Transferfunction:3.4z-1.5-----------------z^2-1.6z+0.8Samplingtime:0.05数字控制器转换成为s传递函数:Transferfunction:55.97s+864.2---------------------s^2+4.463s+90.97系统的开环传递函数：Transferfunction:13.99s+216---------------------------------------------s^4+7.463s^3+106.4s^2+281.8s+181.9系统的闭环传递函数：Transferfunction:13.99s+216-------------------------------------------s^4+7.463s^3+106.4s^2+295.8s+398（1）求取数字控制器脉冲传递函数和s域的传递函数、系统开环传递函数，闭环传递函数：dnum=[3.4-1.5];dden=[1-1.60.8];Ts=0.05;sysd=tf(dnum,dden,Ts);num1=0.25;den1=[11];num2=1;den2=[12];sys1=tf(num1,den1);sys2=tf(num2,den2);sysc2=sys1*sys2;syscd

=c2d(sysc2,Ts,’zoh’)dsys=sysd*syscddsysb=feedback(dsys,1)

（2）求取系统开环和闭环z域的脉冲传递函数程序程序执行结果：s传递函数转换成z传递函数:Transferfunction:0.0002973z+0.0002828--------------------------------z^2-1.856z+0.8607Samplingtime:0.05系统开环z传递函数:Transferfunction:0.001011z^2+0.0005156z-0.0004242------------------------------------------------------z^4-3.456z^3+4.63z^2-2.862z+0.6886Samplingtime:0.05系统闭环脉冲传递函数:Transferfunction:0.001011z^2+0.0005156z-0.0004242--------------------------------------------------------z^4-3.456z^3+4.631z^2-2.861z+0.6881Samplingtime:0.052.4离散化方法模拟调节器离散化的目的就是由模拟调节器的传递函数得到数字控