理论力学课件 第五章-分析力学

第五章分析力学§5.1约束与广义坐标§5.2虚功原理§5.3拉格朗日方程§5.5哈密顿正则方程§5.6泊松括号与泊松定理§5.7哈密顿原理1§5.0引言Lagrange(拉格朗日)Hamilton(哈密顿)拉格朗日:1788年:《分析力学》.全书没有一张图,是完全用数学分析来解决所有的力学问题.哈密顿:1834年：哈密顿正则方程；1843年：哈密顿原理。其它人的贡献：如莫培督、欧拉、高斯、雅科毕等人2分析力学：以变分原理为基础，以动能和势能为基本量，从力学体系的一切可能运动中寻找真实运动的学科变分原理虚功原理达朗伯原理哈密顿原理一切可能运动：指力学体系在约束许可下可能存在的运动基本量均是标量3矢量力学和分析力学的区别与联系矢量力学分析力学隔离法方程个数：3n+k力学体系方程个数：3n-k基本量为矢量：基本量为标量：T,V,H,L,Q真实运动可能运动更容易推广到其它分支学科，特别是多粒子体系。4§5.1约束与广义坐标一、约束及分类1.力学体系：有相互作用的大量质点组成的体系。2.约束：加在体系上限制其运动（位置和速度）的条件。约束方程：如：小虫在吹着的气球上运动，自由体系：力学体系的运动状态完全由主动力和初始条件决定非自由体系：力学体系的运动状态受某些预先给定的几何上或运动学上的限制。53.分类：1)几何约束和运动约束仅限制体系位置——几何约束不仅限制位置，且限制速度——运动约束，或称微分约束xyoCm6AyxOLAyxO2）稳定约束和不稳定约束稳定约束：限制体系位置的约束不是时间的函数不稳定约束：限制体系位置的约束是时间的函数3）可解和不可解约束o点固定不动nmolnmol7

例:冰面上滑行的冰刀的简化模型.假定将冰刀抽象为以刚性轻杆相连的两个质点,并设两质点质量相等,杆长为l,当冰刀在冰面上运动时,质心(杆的中点)的速度只能沿杆的方向.选两质点在冰面上的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，则约束条件为OyxvABAy1y2x1x24）完整约束和非完整约束

完整约束：几何约束和可积的运动约束非完整约束：不可积的运动约束完整体系，非完整体系8n个质点系统由n个位矢rl,r

2,…,rn确定，或由N＝3n个直角坐标，(x1，yl，z1),…,(xn，yn，zn)表示.如果该系统存在k个完整约束:二、自由度、广义坐标独立坐标个数：3n-kl1xyO如何选择独立坐标？①④②③9自由度：确定一力学体系的运动（或位形）所需求的独立坐标变量个数，叫体系的自由度。广义坐标：若体系有k个完整约束，则有3n-k个独立坐标，引进s个独立坐标q1,q2…qs称q1,q2…qs为广义坐标注：1）qα不一定是线量

2）qα可自由选取，不一定是3n中的s个，但必须方便确定体系的位置，选择不止一种。

3）几何约束下，独立坐标数=自由度=广义坐标数=3n-k10§5.2虚功原理一、实位移和虚位移P(x,y,z)sxyzo虚位移：在约束许可下，某一时刻质点可能发生的微小位移说明：(1).虚位移的产生不需要时间dt=0,而实位移必须有时间间隔；(2).只要满足约束条件，虚位移可能不止一个；11(3).

对于稳定约束，实位移是虚位移中的一个；对于不稳定约束，实位移不在虚位移之列.f(x,y,z,t)f(x,y,z,t+dt)δrdrPP’mmt时刻t+dt时刻12二、理想约束3.常见理想约束

1)光滑曲面，曲线4)光滑铰链3)不可伸长的轻绳2)刚性杆hnnnABC13三、虚功原理：2.证明:a.必要性

（1）有一受k个稳定的约束体系，处于平衡状态，对每一质点均有b.充分性。反证法结果与（1）矛盾，因此，体系应该静止14例1：轻杆在图示中受两力作用下处于平衡，用虚功原理求aby153.广义坐标下的虚功原理（3）(4)（5）16若作用在体系上的主动力均为保守力，则体系的势能为相应的主动力：（6）(5)说明：（1）广义力的个数=自由度个数=广义坐标个数；（2）广义力的量纲可以是力，力矩等的量纲17p206例1：求平衡时，α，β与主动力之间的关系oyxP2αFP1β(x1,y1)(x2,y2)AB解一：18解二：19例3.在半径为r的铅垂半圆形钢丝上，穿两个重为P和Q的小球，此二球用长为2l的不伸长绳子连接，不计摩擦。求平衡时绳与水平线所成之角nnoxy解：（1）确定自由度s=1,广义坐标（3）写出主动力作用点坐标（1）(2)（3）20§5.3Lagrange方程一、动力学的普遍方程1.D’Alembert-Lagrenge方程体系由n个质点组成，每个质点有称为D’Alembert-Lagrenge方程称达朗伯原理21Chapter222二、基本的拉格朗日方程

广义力222323证明：24各项的物理意义：可见L方程是以qα为变量的s个二阶线性微分方程组,方程个数=自由度数，约束越多，自由度越少，方程越少，只要写出T，Qα，代入方程即可得到运动方程.适用条件：理想的完整体系25ξηζryx0例1.质点P受力F，求相对运动微分方程（非保守系）（P217）解：1）选广义坐标x,y,z;2)求T,Qα3)代入L-方程26例：5.12ABFCxyθmgO2a解：1）确定自由度，选广义坐标2）写出T，Qα

273)代入方程2829三、保守系的L-方程保守体系的L方程30例子：在光滑的水平面上放置一质量为M的三棱柱，一个质量为m的均质圆柱严三棱柱的斜面无滑动地滚动。已经斜面倾角为α，求三棱柱的加速度。解：（1）分析约束：三个约束；确定自由度

s=2，确定广义坐标：x,x1(2)分析受力情况(3)写出T，V，Lαhh(x,y)mMyxo31(4)由保守系下的拉格朗日方程得到加速度L-方程32四、循环积分如在L函数中，不显含qα，则该坐标为循环坐标。运用L-方程求解问题时应注意的问题：i).使用的条件：（a）理想、完整约束；（b）保守、理想、完整约束。ii).动能的表达式T应是广义坐标、广义速度及时间的函数；动能是对惯性系而言的，应为绝对动能。33如有心力场中，θ为循环坐标又如上例：水平方向动量守恒34四、能量积分设一完整保守系，有s个自由度351.齐次欧拉定理：应用齐次欧拉定理：362.广义能量积分令广义能量37则1）L中不显含t，叫广义能量守恒2）稳定体系，不显含t表明时间变更不影响L，表明L的时间均匀性——广义能量守恒。能量守恒38例:习题5.6解:选q=θ为广义坐标约束方程：是非稳定约束θ不是循环坐标，L中不显含t,有广义能量积分.oxyθcM(x,y)aωtω39例子：有一物体P1沿光滑水平面滑动，二另一物体P2则由一无重量的杆子与之相连，并在铅直面内摆动。假设二物体的质量分别为m1和m2,轻杆长为l,求体系的运动规律。no

yx解：分析约束，s=2,广义坐标：保守、理想、完整体系为循环坐标,因此有：积分一次上式(1)40代人L-方程(2)41例5.9：求运动方程zyxoθαrz425.7s=1(约束方程x2=4ay)xyoωxmgPv’4344§5.5Hamilton正则方程一、勒襄特变换（1）引入新变量引入新函数G：比较（4）和（5），有：45二、哈密顿正则方程引入新变量引入新函数H为哈密顿函数46哈密顿正则方程47说明：正则方程与L-方程完全等价。具有更广泛的适用性广义坐标和广义动量组成2s维的相空间三、能量积分和循环积分1.H函数的性质对于稳定约束：H为总能量482.能量积分2.循环积分49Example1:电子绕原子核的运动50rRθOO’AA’φD5.245152§5.6泊松括号一、泊松括号的定义和性质泊松括号：53二、泊松括号与正则方程1.正则方程的泊松表达式哈密顿正则方程542.运动积分定理：若函数，则为哈密顿正则方程的一个运动积分证明：先从线性偏微分方程：u=c（constant)的偏微分方程的解5556example57三、泊松定理定理：若和是正则方程的两个运动积分，那么和组成的泊松括号也是正则方程的一个运动积分。证明：？58§5.7哈密顿原理力学原理变分原理：从一切可能的运动中寻找真实运动。变分不变分微分（虚功原理）积分（哈密顿原理）微分（达朗伯原理）积分（机械能守恒）公元二世纪提出光的最小化原理，1657费马修订1747年莫培督提出最小作用量原理1828年高斯-最小拘束原理赫芝-最小曲