第07讲 直线与圆综合问题【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

第07讲直线与圆综合问题【人教A版2019】·模块一直线与圆的位置关系·模块二直线与圆相交问题·模块三直线与圆的方程的应用·模块四课后作业模块一模块一直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：位置相交相切相离交点个数两个一个零个图形d与r的关系d<rd=rd>r方程组

解的情况有两组不

同的解仅有一组解无解(2)直线与圆的位置关系的判定方法

①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.

②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.2．圆的切线及切线方程(1)自一点引圆的切线的条数：

①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

(2)求过圆上的一点的圆的切线方程：

①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.②重要结论：a.经过圆上一点P的切线方程为.

b.经过圆上一点P的切线方程为.

c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.【考点1判断直线与圆的位置关系】【例1.1】（2023春·贵州·高二校联考期末）圆C：x2+y2+4x-A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定【例1.2】（2023·全国·高二专题练习）圆C：(x-1)2+(yA．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）M(x0,y0)A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知点Px0,y0为圆C:xA．相交 B．相离 C．相切 D．相切或相交【考点2直线与圆的相切问题】【例2.1】（2023秋·江苏盐城·高二校联考期末）过点M-3,3作圆C：A．4x+3y+3=0 B．4x-【例2.2】（2023·全国·高二专题练习）从圆x2-2x+A．12 B．35 C．32【变式2.1】（2023·全国·高二专题练习）已知点P在圆C:x-a2+y2=a2a>0．上，点A．x=0或7x+24y-C．x=1或24x-7y【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）已知圆O:x2+y2=1，直线3x+4y-10=0上动点A．1 B．2 C．3 D．2模块二模块二直线与圆相交问题1．圆的弦长问题设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：

(1)几何法

如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.2．解与圆有关的最值问题(1)利用圆的几何性质求最值的问题

求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.

①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题

解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.【考点3圆的弦长问题】【例3.1】（2023·全国·高二专题练习）已知直线l:x-2y+3=0与圆C:A．1655 B．855 C．【例3.2】（2023·全国·高三专题练习）直线l：x+y+m=0与圆C：x+12+yA．±2 B．±2 C．±6 D【变式3.1】（2023·全国·模拟预测）过三点A(1,0)，B(2,1)，C(2,-3)的圆与直线x-2y-1=0交于A．455 B．655 C．【变式3.2】（2023·全国·高二专题练习）已知过点P1,3的直线l被圆x-22+y2A．4x+3yC．3x+4y-15=0或x【考点4直线与部分圆的相交问题】【例4.1】（2023春·四川成都·高二校考期中）直线y=x+b与曲线x=A．b=2 B．-1<C．-1<b≤1 D．【例4.2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线l:x+y+t=0，曲线C:y=4-x2，则A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式4.1】（2023春·山西晋城·高二校考开学考试）直线y=x+b与曲线y=1-A．1-22,1+22C．-1,1+22 D【变式4.2】（2023·全国·高三专题练习）过点2,0引直线l与曲线y=1-x2相交于A、B两点，O为坐标原点，当△A．±3 B．-33 C．±【考点5直线与圆有关的最值问题】【例5.1】（2023·全国·高二专题练习）已知圆C:x2+y2-2x=0，过直线l:A．22 B．2 C．322【例5.2】（2023春·河北保定·高二校考阶段练习）已知点M在圆C：x+12+y+22=1上，直线l：2m+1A．52+1 B．52-1 C【变式5.1】（2023·河南开封·校考模拟预测）过直线l：3x+4y-1=0上一点P作圆M：x2+(yA．1 B．2 C．2 D．2【变式5.2】（2023·全国·高二专题练习）已知点P是圆x-12+y-62=425上的点，点QA．7 B．335 C．6 D．模块三模块三直线与圆的方程的应用1．直线与圆的方程的应用(1)解决实际问题的步骤：①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据；②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程；③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解；④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释.(2)建系原则

建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：

①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴.

②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上.【考点6直线与圆的方程的应用】【例6.1】（2023·全国·高二专题练习）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为8m、4m）和圆弧构成，截面总高度为6m，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5

(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？【例6.2】（2023秋·山东枣庄·高二统考期末）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向202米的点A处，有一360°(1)在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度．【变式6.1】（2022·全国·高二专题练习）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）.规划在公路l上选两个点P､Q，并修建两段直线型道路PB､QA.规划要求，线段PB､QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD（C,D为垂足），测得AB=10，(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，点Q能否选在D处？并说明理由.【变式6.2】（2023秋·高二课时练习）如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B(1)求圆C的方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?模块四模块四课后作业1．（2023·全国·高二专题练习）已知圆C:x2+y2+2x-A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心2．（2023·全国·高二专题练习）圆C:x2+y2+2A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个3．（2023·全国·高二课堂例题）已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0A．(x+1)2+C．(x-1)4．（2023·全国·高二专题练习）已知圆C：x2+y2-6xA．x+2y-C．x+y-5．（2023·全国·高二专题练习）过点-33,0且倾斜角为π3的直线l交圆x2+yA．42 B．22 C．2106．（2023·全国·高一专题练习）一条光线从点A-2,3射出，经x轴反射后，与圆C：A．3x-4y-6=0或C．4x+3y-6=0或37．（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为1003km．则城市A受台风影响的时间为（

A．5h B．53h C．523h8．（2023秋·全国·高二阶段练习）已知圆O：x2+y2=2，过直线l：2x+y=5在第一象限内一动点P作圆O的两条切线，切点分别是A，BA．12 B．1625 C．25169．（2023春·福建莆田·高二校考阶段练习）若P是直线l:x+2y-25=0上一动点，过P作圆A．3 B．3 C．2 D．210．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C1:(x-2)2+(y+3)2=1，圆C2:(xA．52+4 BC．52 D．11．（2022·全国·高二专题练习）判断下列直线l与圆C的位置关系：(1)l:x+(2)l:2x-(3)l:2x+1=012．（2022秋·北京·高二校考期中）已知圆C过点(1,1)，圆心为(2,0)．(1)求圆C的方程；(2)判断直线y=x-(3)已知过点P(1,3)的直线l交圆C于A,B两点，且AB13．（2023·全国·高二专题练习）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B(1)求圆C的标准方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东6