第11讲 直线与圆锥曲线【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

第11讲直线与圆锥曲线【人教A版2019】·模块一直线与圆锥曲线的位置关系·模块二弦长公式·模块三课后作业模块一模块一直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与椭圆的位置关系(1)直线与椭圆的三种位置关系

类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：>0直线与椭圆相交有两个公共点;

=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;

<0直线与椭圆相离无公共点.2．直线与双曲线的位置关系(1)研究直线与双曲线的位置关系：一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断.

①代入②得.

当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.

当0，即时，=.

>0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交；

=0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切；

<0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离.(2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论：

①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件；

②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件>0x1+x2<0x3．直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的三种位置关系：(2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程.①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当<0时，直线与抛物线相离，无交点.②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.【考点1判断直线与圆锥曲线的位置关系】【例1.1】（2023·全国·高二专题练习）直线y=32A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定【例1.2】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线方程y2=4x，过点PA．0条 B．1条 C．2条 D．3条【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C:x225+y29=1A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【变式1.2】（2023·全国·高三对口高考）若直线l被圆C:x2+y2=2所截的弦长不小于A．x-12C．y=x2【考点2根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数】【例2.1】（2023秋·高二课时练习）直线x+2y=m与椭圆x2A．22 B．±2 C．±22【例2.2】（2023秋·高二单元测试）已知双曲线C:x24-y212=1的右焦点为F，点AA．±2 B．±43 C．±23 D【变式2.1】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C的方程为x2=12y，过点A0,-1和点Bt,3的直线A．-∞,-2C．-∞,-22【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线L:y=12x+A．(-2,2) B．(-2,2)模块二模块二弦长公式1．椭圆的弦长问题(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1(a>b>0)于，两点，则或.2．双曲线的弦长问题①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d.

②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.

③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

④双曲线的通径：

过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于.3．抛物线的弦长问题设直线与抛物线交于A,B两点，则

|AB|==或

|AB|==(k为直线的斜率，k≠0).【考点3椭圆的弦长问题】【例3.1】（2023·全国·高二专题练习）已知斜率为1的直线l过椭圆x24+y23=1的右焦点，交椭圆于AA．207 B．227 C．247【例3.2】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆x22+y2=1与直线y=x+m交于A．±1 B．±1C．2 D．±2【变式3.1】（2023·全国·高二专题练习）过椭圆x29+y2=1的左焦点作直线和椭圆交于A、A．0 B．1 C．2 D．3【变式3.2】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知直线l是圆C：x2+y2=1的切线，且l与椭圆E：x23+y2=1A．2 B．3 C．2 D．1【考点4双曲线的弦长问题】【例4.1】（2023·全国·高二专题练习）已知点A，B在双曲线x2-y2=3上，线段AB的中点为MA．25 B．45 C．210【例4.2】（2023·全国·高二专题练习）过双曲线x2-y2=2的左焦点作直线l，与双曲线交于A,BA．1条 B．2条 C．3条 D．4条【变式4.1】（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=2x，过其左焦点A．7 B．8 C．9 D．10【变式4.2】（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若AB=5，则CD=（A．27 B．26 C．35 D．【考点5抛物线的弦长问题】【例5.1】（2023·全国·高二专题练习）过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为π3的弦AB，则A．837 B．163 C．8【例5.2】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知抛物线x2=12y的焦点为F，过焦点F的直线y=kx+m(k>0)与抛物线相交于A．2 B．2 C．22 D．【变式5.1】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知抛物线y2=-4x，过其焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交准线于点D，且B是线段AD的中点，则ABA．92 B．72 C．32【变式5.2】（2023·全国·高二专题练习）已知F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F的直线l交抛物线C于A,BA．1 B．32 C．3 D．【考点6圆锥曲线中的面积问题】【例6.1】（2023秋·四川巴中·高三统考开学考试）已知椭圆C:x2a2+y2b(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的右焦点为F，过点F斜率不为0的直线l交椭圆C于P,Q两点，记直线MP与直线MQ的斜率分别为k1,k2【例6.2】（2023秋·高二课时练习）已知抛物线y2=4x.(1)求以M(1,1)(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D【变式6.1】（2023秋·贵州贵阳·高三校考开学考试）已知点-2,0在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，点Mm,12m≠0在椭圆C内.设点A，(1)求椭圆C的方程；(2)记S△BME，S△AMF分别为△BME，△AMF【变式6.2】（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0离心率为2，A1，A2分别是左、右顶点，点M是直线x=1上一点，且满足3tan(1)求双曲线C的方程；(2)求S1S模块三模块三课后作业1．（2023春·宁夏银川·高二校考阶段练习）若直线y=x+m与椭圆x2A．±6 B．±6 C．±3 D2．（2023春·云南楚雄·高二校考阶段练习）过抛物线y2=2pxp>0的焦点F作直线，交抛物线于A3,y1，A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·全国·高二专题练习）过双曲线x2-y28=1的右焦点作直线与双曲线交于A．一条 B．两条C．三条 D．四条4．（2023春·江西萍乡·高二校考期末）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，若直线x=4与C交于AA．4 B．5 C．6 D．75．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A．23 B．23 C．-26．（2023·江苏盐城·统考三模）定义曲线a2x2-b2y2=1为双曲线x2a2-y2b2=1的“伴随曲线”.在双曲线C1：x2-A．0 B．1 C．2 D．与点P的位置有关系7．（2023秋·重庆·高二校联考期末）设椭圆的方程为x22+y24=1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，BA．直线l与OM一定垂直B．若直线l方程为y=2x+2C．若直线l方程为y=x+1，则点D．若点M坐标为1,1，则直线l方程为28．（2023春·福建厦门·高二校考期中）过抛物线C：y2=6x上一点Px0,y0作两条直线分别与抛物线相交于A，B两点，若直线AB的斜率为2，直线PA，A．154 B．5 C．152 D9．（2023·天津武清·天津市校考模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线C:x24-y2b2=1(b>0)的右焦点为F，以OF为直径的圆与A．6 B．43 C．23 D10．（2023秋·四川成都·高三校考开学考试）如图抛物线Γ1的顶点为A，焦点为F，准线为l1，焦准距为4；抛物线Γ2的顶点为B，焦点也为F，准线为l2，焦准距为6．Γ1和Γ2交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为

①AB=5

②四边形MNST的面积为③FS⋅FT=0

④A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①③11．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何值时，直线（1）有两个公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点．12．（2023·全国·高二课堂例题）设动直线y=kx+m与定椭圆x2a2+(1)求弦长AB及△OAB的面积S（用含a，b，k，m(2)试求△OAB的面积S的最大值13．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C的渐近线为y=±3x(1)求双曲线C的方程；(2)若直线y=ax+1与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a14．（2023秋·江西南昌·高三校考阶段练习）已知