第五章 导数及其应用（压轴题专练）（原卷版）

第五章导数及其应用（压轴题专练）题型一实际问题中的平均变化率【例1】物体的运动方程为S＝eq\r(t＋1)(位移单位：m；时间单位：s)，求物体在t＝1s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度．思维升华平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．巩固训练1．已知某物体运动的位移s是时间t的函数，且s(t)＝5t2．(1)求这个物体t从3秒到3．1秒的平均速度；(2)求这个物体t从3秒到3．01秒的平均速度．2．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的函数关系式为h(t)＝－4．9t2＋6．5t＋10．(1)求运动员在第一个0．5s内的平均速度；(2)求运动员在1≤t≤2这段时间内的平均速度．题型二平均变化率的意义【例2】已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝eq\f(4,3)πr3．(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；(2)比较体积V从0L增加到1L和从1L增加到2L半径r的平均变化率；哪段半径变化得快(精确到0．01)？此结论可说明什么意义？思维升华函数的平均变化率在实际的生产生活中有着广泛的应用，如求平均速度、平均劳动生产率、面积和体积的变化率等．解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的．巩固训练1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，从A处到B处会感觉比较轻松，而从C处到D处会感觉比较吃力．试用数学语言给出解释．2．路灯距地面8m，一个身高为1．6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C点处沿直线匀速离开路灯．(1)求身影的长度y(单位：m)与人距C点的距离x(单位：m)之间的关系式；(2)求人离开C点10s内身影长度的平均变化率．题型三瞬时速度及瞬时加速度【例3】一物体做直线运动，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s(t)＝5t－t2，则该物体在t＝3s时的瞬时速度是()A．－1m/s B．1m/sC．2m/s D．6m/s思维升华1．求运动物体瞬时速度的步骤(1)求时间的改变量Δt和位移的改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)；(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)．2．求运动物体瞬时加速度的步骤与求其瞬时速度的步骤相仿，不同的是求瞬时速度时函数值的改变量是位移s(t)的改变量，而求其瞬时加速度时，函数值的改变量是速度v(t)的改变量．巩固训练1．若小球自由落体的运动方程为s(t)＝eq\f(1,2)gt2(g为常数)，该小球在t＝1到t＝3的平均速度为eq\x\to(v)，在t＝2的瞬时速度为v2，则eq\x\to(v)和v2关系为()A．eq\x\to(v)>v2 B．eq\x\to(v)<v2C．eq\x\to(v)＝v2 D．不能确定2．一物体沿斜面自由下滑，测得下滑的位移s与时间t之间的函数关系为s＝3t3，则当t＝1时，该物体的瞬时加速度为()A．18 B．9C．6 D．3题型四导数的简单综合应用【例4】已知直线l：2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．思维升华导数的综合应用的解题技巧(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，这是解决问题的关键所在．(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析．巩固训练1．以正弦曲线y＝sinx上一点P为切点得切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) B．[0，π)C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))2．点P是曲线y＝－x2上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为()A．1 B．eq\f(7\r(2),8)C．eq\f(5\r(2),8) D．eq\r(3)题型五复合函数导数的应用【例5】设f(x)＝ln(x＋1)＋eq\r(x＋1)＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝eq\f(3,2)x在(0,0)点相切．求a，b的值．思维升华有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在求有关切线的问题中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义、导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．巩固训练1．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．该切线与坐标轴围成的面积为________．2．设函数f(x)＝x＋ln(x－5)，g(x)＝ln(x－1)，f′(x)，g′(x)分别为f(x)，g(x)的导函数，解不等式f′(x)＞g′(x)．题型六判断和证明函数的单调性【例6】已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－eq\f(3,a)，讨论函数f(x)的单调性．思维升华1．利用导数判断或证明函数单调性的思路2．含有参数的函数单调性的解题技巧讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行分类讨论，但要始终注意定义域以及分类讨论的标准．含参数的二次不等式问题，一般从最高次项的系数、判别式Δ及根的大小关系等方面进行讨论．巩固训练1．已知函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)－2lnx，a∈R，讨论函数f(x)的单调性．题型七由极值求参数的值或取值范围【例7】(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________．(2)已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值eq\f(1,2)．①求a，b的值；②判断f(x)的单调区间，并求极值．思维升华已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．[提醒]求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．巩固训练1．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．2．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．题型八由函数的最值确定参数的值【例8】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．思维升华已知函数最值求参数的步骤(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值；(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值；(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决．巩固训练1．如果函数f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是________．2．设f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2ax．当0<a<2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－eq\f(16,3)，求f(x)在该区间上的最大值．题型九与最值有关的恒成立问题【例9】设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．思维升华已知不等式恒成立求参数的方法(1)分类讨论(求最值)法将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．求解时要确定一个函数，看哪一个变量的范围已知，即所要确定的函数是以已知范围的变量为自变量的函数．(2)分离参数法在不等式中，参数只出现一次或出现的参数只是一次的形式，可以对不等式进行变形，把参数分离到一边，而另一边则是关于自变量x的表达式，这样的恒成立问题可用分离参数法来解．一般地，λ≥f(x)恒成立⇔λ≥f(x)max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤f(x)min．巩固训练1．若将本例的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？2．若将本例的条件改为“对任意的t1，t2∈(0,2)，都有h(t1)<－2t2＋m”，则实数m的取值范围如何求解？题型十几何中的最值问题【例10】有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？思维升华几何中最值问题的求解思路面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．巩固训练1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________cm．2．将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？题型十一成本最低(费用最省)问题【例11】如图，某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价f(x)(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．思维升华(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的一类问题，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答．(2)利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．巩固训练1．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝eq\f(1,19200)v4－eq\f(1,160)v3＋15v．(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式．(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．题型十二利润最大问题【例12】某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系式为P＝24200－eq\f(1,5)x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x(元)．问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)思维升华利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．求解时要注意：①价格要大于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．巩固训练1．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10