2017圆知识点与习题

圆目

录一．

圆的定义及相关概念二．

垂经定理及其推论三．

圆周角与圆心角四．

圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．

圆内接四边形六．

会用切线

,能证切线七．

切线长定理八．

三角形的内切圆九．

了解弦切角与圆幂定理（选学）十．

圆与圆的位置关系十一．

圆的有关计算十二．

圆的基础综合测试十三．

圆的终极综合测试1一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点

1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点

2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点

3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：2考点

4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。考点

5点和圆的位置关系设圆的半径为

r，点到圆心的距离为

d，则点与圆的位置关系有三种。①点在圆外

d＞r；②点在圆上

d=r；③点在圆内

d＜r；【典型例题】例

1

在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是

AB边上的中线，以点

C为圆心，以试确定

A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。5

为半径作圆，AMBC例

2．已知，如图，CD是直径，

EOD

84

，AE交⊙O于

B，且

AB=OC，求∠A的度数。EBDAOC3二．垂径定理及其推论【考点速览】考点

1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤．推论

1：①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤．推论

2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．垂径定理及推论

1中的三条可概括为：①

经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例

1如图

AB、CD是⊙O的弦，M、N分别是

AB、CD的中点，且

AMN

CNM

．求证：AB=CD．ACMNOBDlll例

2已知，不过圆心的直线

交⊙O于

C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥

于

E，BF⊥

于

F。求证：CE=DF．BBOABOOAlD

FElF

DE

CHlD

FCHE

CHA问题一图

3问题一图

1问题一图

24三．圆周角与圆心角【考点速览】考点

1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg:判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可．Eg:

判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点

2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．Eg:如下三图，请证明。5考点

34.推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．②

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90

的圆周角所对的弦是直径．③

如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．经典例题例

1：如图，∠A是⊙O的圆周角，且∠A＝35°,则∠OBC=_____.BAOCOBAC例

2：如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=________．ACC1FE·OGBDOGABOCEFDED（例

4）例

3例

3：如图

2，⊙O的直径CD

过弦

EF

的中点G

，

EOD

40o

DCF

_______，则例４：如图１，

AB

是⊙O的直径，点C，D，

E

都在⊙O上，若则∠A∠

B

________º．∠∠

∠CD

E

，例

5：已知：如图，AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=_______．_DC__O_B_

.

.

.A_

C

30o，AB

2cm

，则⊙O的半径为________cm．例

7：已知⊙O中，6四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例

1．如图所示，点

O是∠EPF的平分线上一点，以

O为圆心的圆和角的两边分别交于

A、B和

C、D，求证：AB=CD．EBAO1P2CDF例

2、已知：如图，EF为⊙O的直径，过

EF上一点

P作弦

AB、CD，且∠APF=∠CPF。求证：PA=PC。7五．圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。【典型例题】例

1（1）已知圆内接四边形

ABCD中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D的度数．（2）已知圆内接四边形

ABCD中，如图所示，AB、BC、CD、AD的度数之比为

1:2:3:4,求∠A、∠B、∠C、∠D的度数．AB·OCD例

2

四边形

ABCD内接于⊙O，点

P在

CD的延长线上，且

AP∥BD．求证：

PD

BC

AB

AD

BA·OCPD8六．会用切线，能证切线考点速览：考点

1直线与圆的位置关系图形公共点个数

d与

r的关系

直线与圆的位置关系0d>r相离12d=rd<r相切相交考点

2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。符号语言∵

OA⊥

l

于

A，

OA为半径∴

l

为⊙O的切线OAl考点

3判断直线是圆的切线的方法：①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点

4O切线的性质定理：AB圆的切线垂直于经过切点的半径。推论

1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论

2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（请务必记住切线重要用法：

见切线就要连圆心和切点得到垂直）经典例题：D

C例

1.如图，△ABC内接于⊙O，

AB是

⊙O的直径，∠CAD＝

∠ABC，判断直线

AD与⊙O的位置关系，并说明理由。9七．切线长定理考点速览：考点

1切线长概念：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．A考点

2切线长定理：PODC从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．B要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切⊙O于

A、B两点，①PA=PB②PO平分

APB

．考点

3两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．经典例题：例

已知

PA、PB、DE分别切⊙O于

A、B、C三点，若

PO=13㎝，

PED

的周长为

24㎝，求：①⊙O的半径；②若

APB

40

，

EOD

的度数．AEC·OPDB10八．三角形内切圆考点速览考点

1概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．考点

2三角形外接圆与内切圆比较：名称确定方法图形性质（1）OA=OB=OC；外心（三角形

三角形三边外接圆的圆

中垂线的交（2）外心不一定在三角形的内部．心）点（1）到三边的距离相等；内心（三角形

三角形三条内切圆的圆

角平分线的（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；心）交点（3）内心在三角形内部．考点

3求三角形的内切圆的半径Aa

b

c1、直角三角形△ABC内切圆⊙O的半径为

r

2、一般三角形.c

b2OEBBAa

D2S

a

b

c①已知三边，求△ABC内切圆⊙O的半径

r.r

F

OEa

b

cC（海伦公式

S

＝

s(s

a)(s

b)(s

c)

，

其中

s=△)D211经典例题：例

1．阅读材料：如图（1），△ABC的周长为

L，内切圆

O的半径为

r，连结

OA，OB，△ABC被划分为三个小三角形，用

S△ABC表示△ABC的面积．∵S△ABC

=S△OAB

+S△OBC

+S△OCA111又∵S△OAB

=

AB·r，S=

BC·r，S=

AC·r2△OBC△OCA22111∴S△ABC

=

AB·r+

BC·r+

CA·r2221=

L·r（可作为三角形内切圆半径公式）2（1）理解与应用：利用公式计算边长分为

5，12，13的三角形内切圆半径；（2）类比与推理：若四边形

ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）且面积为

S，各边长分别为

a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个

n边形（n为不小于

3的整数）存在内切圆，且面积为

S，各边长分别为a

，a

，a

，…a

，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．123n例

2．如图，△ABC中，∠A=m°．（1）如图（1），当

O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数；（2）如图（2），当

O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；（3）如图（3），当

O是高线

BD与

CE的交点时，求∠BOC的度数．12九．了解弦切角与圆幂定理（选学）【考点速览】考点

11.弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。注意：弦切角必须具备三个条件：（1）顶点在圆上（切点），（2）一边和圆相切，（3）一边和圆相交（弦），三者缺一不可。2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。3.弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。考点

2圆幂定理：圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。1、相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。2、相交弦定理的推论：如果弦与直径相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。3、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。4、切割线定理的推论（或称割线定理）：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。典型例题：例

1.如图，经过⊙O上的点

T的切线和弦

AB的延长线相交于点

C。求证：∠ATC＝∠TBC13ETOABC例

2.已知：如图，AB是⊙O的弦，P是

AB上的一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。OBAP例

3.AB是半圆

O的直径，C是

AB延长线上一点，CD切半圆于

D，连结

AD，3若

AD＝15，

sinC

，求

BC的长。514十．圆与圆位置的关系考点速览：1圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为

R和

r，圆心距为

d）外离外切相交内切内含O1O2O1图形O1O1O2O2O1O2O2公共点0个1个2个1个0个d、r、R的关系d

Rrd

RrR

r

dRrd

R

rd

R

r外公切线内公切线2条2条2条1条2条0条1条0条0条0条2．有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁外公切3．相交两圆的性质内公切定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。4．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点经典例题：例

1、如图，已知⊙O

与⊙O

相交于

A、B两点，P是⊙O

上一点，PB的延长线交⊙O

于点

C，PA交1212⊙O

于点

D，CD的延长线交⊙O

于为

N.P21B（1）过点

A作

AE//CN交⊙O

于点