广东省东莞市七校2023-2024学年高二下学期数学期中联考试卷（含答案）

广东省东莞市七校2023-2024学年高二下学学期中联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、､单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项）1．若函数f(x)=1e，则A．1e B．−1e 2．已知P(B∣A)=13,A．56 B．25 C．9103．若(1+x)(A．-1 B．-2 C．2 D．14．现有7件互不相同的产品（其中有4件正品，3件次品），每次从中任取一件测试，直到3件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有（）种.A．72 B．432 C．864 D．10805．若函数y=x+alnx在区间[1,+∞)内单调递增，则A．(−∞,−2) B．(−∞,−1) C．6．设随机变量X的分布列如下：X-101P11m则E(XA．14 B．12 C．37．设f(x)是定义在R上的可导函数，f(2)=3，对任意实数x，有f'(x)<1，则A．(−∞,2) B．(2,+∞) C．8．若函数f(x)=kex−A．(−2e,6e3) B．(0,二、､多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题至少有两个正确选项，全对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分）9．以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（）A．由在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：CB．CC．第2024行中，从左到右看，第1012个数最大D．第100行的所有数中，最大的数为C10．设X为离散型随机变量，下列说法正确的是（）A．若X等可能取1,2,3B．若X的概率分布为P(X=n)=13C．若X服从两点分布，且P(X=1)−P(X=0)=0.2D．X的方差可以用期望表示为D(X)=E(X11．已知函数f(x)=xeA．函数f(x),B．若方程f(x)=a有唯一实根，则a的取值范围为a≥0C．当x>0时，总有f(x)>g(x)D．当x>0时，若f(x1)=g(三、､填空题（共3小题，每小题5分，共15分，将正确答案填写在答题卡指定位置上）12．若函数f(x)=ln(−x)，则函数在x=−1处的切线方程为.13．在多项式(x2+x−y)5的展开式中，含14．若函数f(x)=(x−1)ex−ax在区间[1,3]四、､解答题（共5小题，13+15+15+17+17，共77分，要求有解析过程）15．已知函数f(x)=1（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)在区间[−1,16．某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：方案一：投放该平台广告，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且P(X=20)=0.3，期望方案二：投放传统广告，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为0.（1）请写出方案一的分布列，并求方差D(X)；（2）请根据所学的知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由.17．已知f(x)=e（1）求f(x)的极值；（2）画出函数f(x)的大致图象；（注意：需要说明函数图象的变化趋势，否则扣2分）（3）若函数g(x)=f(x)−a−1(a∈R)至多有一个零点，求实数a的取值范围.18．某学校安排甲､乙､丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%.学生自由选择座位，先到者先选.甲､乙､丙三个班人数分别占总人数的14（1）求选到的学生是艺术生的概率；（2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大.19．帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m,n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的[1,1]阶帕德近似为（1）求实数m,（2）证明：当x≥0时，f(x)≥g(x)；（3）设a为实数，讨论函数h(x)=f(x)−ax的单调性.

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：函数f(x)=1e，f'(x)=0，则f'(−1)=0.

故答案为：C.

【分析】求导，可得2．【答案】B【解析】【解答】解：因为P(B∣A)=13,P(AB)=215，所以P(B∣A)=P(AB)3．【答案】D【解析】【解答】解：令x=1，则(1+1)(a+1)5=64，解得a=1，

二项式(1+x)5展开式的通项为Tr+1=C5rxr4．【答案】A【解析】【解答】解：由题意，第三件次品恰好在第4次被测出，则前三次中有两件次品和一件正品被测出，故第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有C3故答案为：A.【分析】由题意，根据排列组合求解即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：函数y=x+alnx定义域为0，+∞因为函数y=x+alnx在区间[1,+∞)内单调递增，所以y'≥0在[1,因为x∈[1,+∞)，所以1+ax≥0因为x∈[1,+∞)，所以−x∈(−∞,−1]故答案为：D.【分析】求导，利用导数判断函数的单调性求值即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：由随机变量X的分布列可知m=1−1则X2X10P31易知X2服从两点分布，故E(故答案为：C.【分析】根据分布列的性质求出m，再根据题意易得X27．【答案】A【解析】【解答】解：令g(x)=f(x)−(x+1)，g'(x)=f'(x)−1，因为对任意实数x，有f'(x)<1，所以g'(x)=f又因为f(2)=3，所以g(2)=f(2)−3=0，故g(x)>0=g(2)，即x<2，

故f(x)>x+1的解集为(−∞,故答案为：A.【分析】构造函数g(x)=f(x)−(x+1)，求导结合已知条件判断函数的单调性，利用单调性解不等式即可求得f(x)>x+1的解集.8．【答案】B【解析】【解答】解：令f(x)=0，则k=x2−3ex，构造函数g(x)=x2−3ex定义域为R，g'(x)=由图可知：函数f(x)故答案为：B.【分析】令f(9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、由组合数的性质2可知Cn+1B、由A结论可知：C2C、第2024行共有2025个数，从左到右看数字先增后减且对称出现，所以应该是中间的数即第1013个数最大，故C错误；D、由二项式系数的性质知第100行共有101个数，从左到右二项式系数先增后减且对称出现，所以应该是中间第51个数最大，最大为C100故答案为：ABD.【分析】根据杨辉三角的规律，逐项分析判断即可.10．【答案】C,D【解析】【解答】解：A、根据古典概率公式可得3n=0.B、因为P(X=n)=13(n=1，2，3)C、因为X服从两点分布，所以P(X=1)+P(X=0)=1，又因为P(X=1)−P(X=0)=0.2，

所以D、设X的分布列为Xaa⋯aPpp⋯p则E(X)=a【分析】利用古典概率公式计算即可判断A；根据条件，利用期望的计算公式求解即可判断B；利用两点分布列的性质，即可判断C；根据期望及方差的定义，变形化简即可判断D.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、f当x<−1时，f'(x)=(1+x)ex<0当x>−1时，f'(x)=(1+x)ex>0所以f(x)=xex有极小值当0<x<1e时，g'(x)=lnx+1<0，则当x>1e时，g'(x)=lnx+1>0，则所以g(x)=xlnx有极小值B、结合A选项的单调性，作出函数图象，如图所示：因为x<0，恒有f(x)=xex<0，所以方程f(x)=a有唯一实根，则a的取值范围为a≥0

C、不等式f(x)>g(x)等价于ex>lnx，由指数不等式exD、当x>0时，由f(x1)=g(即f(x1)=f(lnx2)，显然故答案为：ACD．【分析】利用导数思想，对函数求导后分析原函数单调性，求极小值即可判断A；由A的结论，作出函数图象，数形结合分析即可判断B；利用指对数不等式推理即可判断C；对于两根之积则利用指对数同构思想，再结合单调性求解即可判断D.12．【答案】x+y+1=0【解析】【解答】解：函数f(x)=ln(−x)定义域为-∞，0，f'(x)=1x，且则函数在x=−1处的切线方程为y=−(x+1)，即x+y+1=0.故答案为：x+y+1=0.【分析】求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程.13．【答案】-20【解析】【解答】解：多项式(x2+x−y)含x5y项为C51(−y)⋅故答案为：−20.【分析】根据题意，利用组合的运算方法，求得展开式中含x514．【答案】(−∞,【解析】【解答】解：函数f(x)=(x−1)ex−ax由题意f'(x)=xex−a>0在区间[1则只需a<(xex令h(x)=xex，x∈[1,3]，则h'所以h(x)max=h(3)=3e3故答案为：(−∞,【分析】求出函数的导函数，依题意f'(x)>0在区间[1,3]上有解，即a<xex在区间[1,3]上能成立，则a<(x15．【答案】（1）解：函数f(x)=13x3−令f'(x)=0，解得列表如下：(−∞0(02(2f+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗由上表知，f(x)的单调递增区间是(−∞,0),（2）解：f(−1)=−1由（1）知函数f(x)在区间[−1,当x=0时，f(当x=−1时，f(【解析】【分析】（1）求导，利用导函数值的正负来研究函数的单调性即可；

（2）利用闭区间的单调性和端点值，即可求得最大值和最小值.16．【答案】（1）解：设P(X=0)=a,依题意得a+b+0.3=1又E(X)=0×a+20×0.3+40b=30由①②解得：a=0.则X的分布列为X02040P0.10.30.6则D(X)=(（2）解：由题得Y的分布列为Y102030P0.30.40.3则E(Y)=10×0.3+20×0.由E(X)>E(Y)可知采用平台广告投放期望收益较大，又D(X)>D(Y)，说明平台广告投放的风险较高.综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告.【解析】【分析】（1）设出X=0,X=40的概率，依题列出方程组求解即得（2）由题意，列出Y的分布列，计算期望与方差，再与X的期望与方差比较即可.17．【答案】（1）解：函数f(x)=exx−1的定义域为{x∣x≠1}令f'(x)=0，解得列表如下：x(−∞(12(2f(x)--0+f(x)↘↘极小值e↗由上表知，f(x)在(−∞,1),故当x=2时，f(x)取极小值e2（2）解：令f(x)>0得，x>1；令f(x)<0得，x<1；当x→−∞时，ex→0−,当x→+∞时，ex→+∞，由指数爆炸增长得，当x→1+时，x−1→0结合（1）可画出函数f(x)的大致图像，如图所示：

（3）解：令g(x)=f(x)−a−1=0得f(x)=a+1则函数g(x)至多有一个零点等价于函数f(x)的图像与直线y=a+1至多有一个交点；结合（1）（2）知，当a+1≤e2即a≤e2−1即函数g(x)至多有一个零点时，a≤e即实数a的取值范围为(【解析】【分析】（1）由题意，求导可得f'（2）由（1）知，函数f(x)在(−∞,1),(1,2)上单调递减，在（3）令g(x)=f(x)−a−1=0，根据题意，转化为f(x)的图像与直线y=a+1至多有一个交点，结合图象求解即可.18．【答案】（1）解：设事件A1=“所选学生来自甲班”，A2=“所选学生来自乙班”，则事件B=A1B+由题可知：P(AP(B)=P(A（2）解：如果选到的是艺术生，来自甲班的概率为P(来自乙班的概率为P(来自丙班的概率为P(由于P(A【解析】【分析】（1）由题意，根据全概率公式计算即可；（2）根据条件概率公式分别计算，判断即可.19．【答案】（1）解：由f(x)=ln(x+1),g(x)=mx可知f'由题意，f'所以m=1−2mn=−1，解得m=1（2）证明：由（1）知，g(x)=2x令φ(x)=f(x)−g(x)=ln(x+1)−2x则φ'所以φ(x)在其定义域(−1,又φ(0)=f(0)−g(0)=0，当x≥0时，φ(x)=f(x)−g(x)≥φ(0)=0