高考备考资料之数学人教A版全国用课件第八章立体几何与空间向量88

§8.8

立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离第八章

立体几何与空间向量基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝_____.

l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围[0，π]求法cosθ＝_______1.两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则知识梳理(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝______________，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).3.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝_________.|cos〈n1，n2〉|利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，

【知识拓展】(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(

)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(

)(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(

)(4)两异面直线夹角的范围是

，直线与平面所成角的范围是

，二面角的范围是[0，π].(

)(5)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.(

)题组一思考辨析基础自测×××√124563×2.[P104T2]已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为

A.45° B.135°C.45°或135° D.90°题组二教材改编12456解析3答案√∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.12456答案3.[P117A组T4(2)]如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为__.3解析124563∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，题组三易错自纠4.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为

解析12456答案√3124563解析以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设直三棱柱的棱长为2，则可得A(2,0,0)，B(0,2,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.5.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－

，则l与α所成的角为____.12456答案3解析30°6.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的角为____.解析124563答案45°124563解析如图，以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，知AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，又CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD.故平面PAB与平面PCD所成的角为45°.题型分类深度剖析典例

如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；

题型一求异面直线所成的角师生共研证明证明如图所示，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，AC，FG⊂平面AFC，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.解答解

如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC所在直线为x轴，y轴，用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.思维升华证明

∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥AE.又∵AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACFE，∴BD⊥平面ACFE.跟踪训练

(2017·广东五校第一次诊断)如图所示，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.(1)求证：BD⊥平面ACFE；

证明(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值的大小.解答解以O为原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，令z＝1，则n＝(－2,0,1)，典例

(2016·全国Ⅲ)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.(1)证明：MN∥平面PAB；

证明题型二求直线与平面所成的角师生共研取BP的中点T，连接AT，TN，又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.解答解取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，以A为坐标原点，AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，设AN与平面PMN所成的角为θ，利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.思维升华跟踪训练

如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；

证明证明易知AB，AD，AA1两两垂直，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).

(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.解答设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ，设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，题型三求二面角师生共研典例

(2017·全国Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝

AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点.(1)证明：直线CE∥平面PAB；

证明

取PA的中点F，连接EF，BF.证明所以EF綊BC，四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB.(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值.解答设M(x，y，z)(0<x<1)，因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量，即(x－1)2＋y2－z2＝0.①设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，由图可知二面角M—AB—D是锐角，利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.思维升华跟踪训练

(2017·天津)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.(1)求证：MN∥平面BDE；

证明证明如图，以A为原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.由题意，可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0).设n＝(x，y，z)为平面BDE的一个法向量，因为MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE.(2)求二面角C-EM-N的正弦值；解答解易知n1＝(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n2＝(x1，y1，z1)为平面EMN的一个法向量，不妨设y1＝1，可得n2＝(－4,1，－2).解答解由题意，设AH＝h(0≤h≤4)，题型四求空间距离(供选用)师生共研典例

(2018·株洲模拟)如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，求点A到平面MBC的距离.解答解如图，取CD的中点O，连接OB，OM，因为△BCD与△MCD均为正三角形，所以OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，平面MCD∩平面BCD＝CD，OM⊂平面MCD，所以MO⊥平面BCD.以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，

设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，求点面距一般有以下三种方法：(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)等体积法.(3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.思维升华跟踪训练

(2018·武昌质检)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝

，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD的中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；

解答解在△PAD中，PA＝PD，O为AD的中点，∴PO⊥AD.又∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD.在直角梯形ABCD中，O为AD的中点，∴OA＝BC＝1，∴OC⊥AD.以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，∵OA⊥OP，OA⊥OC，OP∩OC＝O，∴OA⊥平面POC.则P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，

(2)求B点到平面PCD的距离；解答设平面PCD的法向量为u＝(x，y，z)，取z＝1，得u＝(1,1,1).解答设平面CAQ的法向量为m＝(x1，y1，z1)，取z1＝1＋λ，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1).平面CAD的一个法向量为n＝(0,0,1)，整理化简，得3λ2－10λ＋3＝0.典例

(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值.利用空间向量求解空间角答题模板规范解答答题模板(1)证明

由题意，以点A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图，规范解答可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).[1分]设n＝(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，设n1＝(x1，y1，z1)为平面FAB的一个法向量，不妨令z1＝1，可得n1＝(0，－3,1).取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)，因为二面角F－AB－P是锐角，答题模板利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系；第二步：确定点的坐标；第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；第四步：计算向量的夹角(或函数值)；第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.课时作业1.(2018·抚顺调研)在正方体A1B1C1D1—ABCD中，AC与B1D所成角的大小为

基础保分练12345678910111213141516解析答案√12345678910111213141516解析以A点为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B1(1,0,1)，D(0,1,0).答案12345678910111213141516√解析12345678910111213141516解析以C点为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(1,0,2)，B1(0,1,3)，123456789101112131415163.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为

答案√解析12345678910111213141516解析以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，12345678910111213141516∴n1＝(1,2,2).∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，4.(2017·西安调研)已知六面体ABC—A1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则直线CC1与平面AB1D所成的角为

A.45° B.60°C.90° D.30°

解析答案12345678910111213141516√12345678910111213141516解析如图所示，取AC的中点N，连接NB，以N为坐标原点，NB，NC所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系.设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，12345678910111213141516∵直线与平面所成角的范围是[0°，90°]，∴直线CC1与平面AB1D所成的角为45°.5.(2018·大同模拟)设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是

解析答案12345678910111213141516√12345678910111213141516解析如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立坐标系，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，解析答案12345678910111213141516√6.二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为

A.150° B.45°C.60° D.120°12345678910111213141516解析123456789101112131415167.(2017·昆明质检)如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_____.答案60°12345678910111213141516解析以B点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，∵异面直线所成角的范围是(0,90°]，∴EF和BC1所成的角为60°.123456789101112131415168.(2018·南宁质检)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值为_____.解析答案12345678910111213141516解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)

设平面BDC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1).设CD与平面BDC1所成的角为θ，9.已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为____.12345678910111213141516答案解析解析方法一延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示.设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，作BH⊥AG于点H，连接EH，则∠EHB为所求锐二面角的平面角.12345678910111213141516方法二如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设DA＝1，由已知条件得12345678910111213141516设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，12345678910111213141516令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)，取平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1)，10.(2017·河北石家庄二模)设二面角α—CD—β的大小为45°，A点在平面α内，B点在CD上，且∠ABC＝45°，则AB与平面β所成角的大小为_____.12345678910111213141516答案30°解析12345678910111213141516解析如图，作AE⊥平面β于点E，在平面β内过E作EF⊥CD于点F，连接AF，∵AE⊥CD，AE∩EF＝E，∴CD⊥平面AEF，∴AF⊥CD，所以∠AFE为二面角α—CD—β的平面角，所以∠AFE＝45°，因为∠ABC＝45°，所以∠BAF＝45°.连接BE，则∠ABE为AB与平面β所成的角.又因为∠ABE为锐角，所以∠ABE＝30°.11.(2017·洛阳二模)已知三棱锥A—BCD，AD⊥平面BCD，BD⊥CD，AD＝BD＝2，CD＝2，E，F分别是AC，BC的中点，P为线段BC上一点，且CP＝2PB.(1)求证：AP⊥DE；

12345678910111213141516证明12345678910111213141516证明作PG∥BD交CD于G，连接AG.∵AD⊥平面BCD，∴AD⊥DC，∴∠DAG＝30°，在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝4＋12＝16，∴AC＝4，又E为AC的中点，∴DE＝AE＝2，12345678910111213141516又AD＝2，∴∠ADE＝60°，∴AG⊥DE.∵AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD，又∵BD⊥CD，AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ADC，∴BD⊥平面ADC，∴PG⊥平面ADC，∴PG⊥DE.又∵AG∩PG＝G，AG，PG⊂平面AGP，∴DE⊥平面AGP，又AP⊂平面AGP，∴AP⊥DE.(2)求直线AC与平面DEF所成角的正弦值.12345678910111213141516解答12345678910111213141516解以D为坐标原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，

设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，12345678910111213141516设直线AC与平面DEF所成的角为θ，12.如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB＝AC＝

，点E在AD上，且AE＝2ED.(1)已知点F在BC上，且CF＝2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC；12345678910111213141516证明12345678910111213141516证明

∵AB⊥AC，AB＝AC，∴∠ACB＝45°，∵底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC，∴∠ACD＝45°，又∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF，∴AC⊥EF，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴EF⊥平面PAC，又EF⊂平面PEF，∴平面PEF⊥平面PAC.(2)当二面角A—PB—E的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45°？12345678910111213141516解答12345678910111213141516解∵PA⊥AC，AC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴AC⊥平面PAB，则∠APC为PC与平面PAB所成的角，若PC与平面PAB所成的角为45°，取BC的中点G，连接AG，则AG⊥BC，以A为坐标原点，AG，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设平面PBE的法向量为n＝(x，y，z)，1234567891011121314151613.(2017·全国Ⅱ)已知直三棱柱A-BCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为

技能提升练12345678910111213141516答案√解析12345678910111213141516解析方法一将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图①所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，

图①在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，又AB1与AD1所成的角即为AB1与