高考备考资料之数学人教A版全国用课件96双曲线

§9.6

双曲线第九章

平面解析几何基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的

等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做

，两焦点间的距离叫做

.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当

时，P点的轨迹是双曲线；(2)当

时，P点的轨迹是两条射线；(3)当

时，P点不存在.知识梳理距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距2a<|F1F2|2a=|F1F2|2a>|F1F2|2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程－

＝1(a>0，b>0)－

＝1(a>0，b>0)图形性质范围_________________________________________对称性对称轴：

对称中心：_______________顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线_____________________离心率e＝

，e∈

，其中c＝___________________________实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝

，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝

；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝

(c>a>0，c>b>0)x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a坐标轴原点(1，＋∞)2a2ba2＋b2巧设双曲线方程(1)与双曲线

＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为

＝t(t≠0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为

＝1(mn<0)【知识拓展】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(

)(2)方程

＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(

)(3)双曲线方程

＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是

＝0，即

＝0.(

)基础自测×123456√×(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于

.(

)(5)若双曲线

＝1(a>0，b>0)与

＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则

＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).(

)√√123456解析

由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为

＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝

＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝

＝5，∴e＝

.题组二教材改编答案解析2.[P61T1]若双曲线

＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为A. B.5C. D.2√1234563.[P62A组T6]经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.解析答案解析

设双曲线的方程为

＝±1(a>0)，把点A(3，－1)代入，得a2＝8(舍负)，故所求方程为

＝1.1234564.(2016·全国Ⅰ)已知方程

＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A.(－1，3) B.(－1，

)C.(0，3) D.(0，

)答案√题组三易错自纠解析

∵方程

＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3，故选A.解析123456解析答案5.若双曲线

＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为√即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，1234566.已知双曲线过点(4，

)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为_________.解析答案123456题型分类深度剖析命题点1利用定义求轨迹方程典例(2018·大连调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.题型一双曲线的定义及标准方程多维探究解析答案几何画板展示解析

如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－

＝1(x≤－1).命题点2利用待定系数法求双曲线方程典例

根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为

；解答(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；解答解

∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为

＝1.解答命题点3利用定义解决焦点三角形问题典例

已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝___.解析

∵由双曲线的定义有解析答案1.本例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？引申探究解答解

不妨设点P在双曲线的右支上，在△F1PF2中，由余弦定理，得2.本例中，若将条件“”改为“

＝0”，则△F1PF2的面积是多少？解答解

不妨设点P在双曲线的右支上，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.(3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为

＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.思维升华跟踪训练(1)(2018·沈阳调研)设椭圆C1的离心率为

，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_________.解析答案解析

由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.由双曲线的定义知，a＝4，b＝3.(2)(2016·天津)已知双曲线

＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为解析答案√典例(1)已知F1，F2是双曲线C：

＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是解析题型二双曲线的几何性质师生共研答案√解析

由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以有|PF2|<|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos30°，得c＝

a，所以b＝所以双曲线的渐近线方程为(2)(2016·山东)已知双曲线E：

＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是____.答案解析2双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线

＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.思维升华跟踪训练(2016·全国Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：

＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝

，则E的离心率为解析答案√典例(2018·福州模拟)已知直线y＝kx－1和双曲线x2－y2＝1的右支交于不同两点，则k的取值范围是________.解析题型三直线与双曲线的综合问题师生共研答案解析

由直线y＝kx－1和双曲线x2－y2＝1联立方程组，消y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，因为该方程有两个不等且都大于1的根，(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.思维升华跟踪训练(2017·贵州贵阳第一中学月考)已知双曲线

＝1上存在两点P，Q关于直线y＝x＋b对称，且PQ的中点M在抛物线y2＝9x上，则实数b的值为解析答案A.0或－10 B.0或－2C.－2 D.－10√解析

因为点P，Q关于直线y＝x＋b对称，所以PQ的垂直平分线为y＝x＋b，所以直线PQ的斜率为－1.设直线PQ的方程为y＝－x＋m，所以xP＋xQ＝－4m，所以xM＝－2m，所以M(－2m,3m).因为PQ的中点M在抛物线y2＝9x上，所以9m2＝9(－2m)，解得m＝0或m＝－2，又PQ的中点M也在直线y＝x＋b上，得b＝5m，∴b＝0或－10，故选A.典例

若直线y＝kx＋2与曲线x＝

交于不同的两点，那么k的取值范围是直线与圆锥曲线的交点现场纠错纠错心得现场纠错错解展示错解展示：由直线y＝kx＋2与曲线x2－y2＝6相切，得x2－(kx＋2)2＝6，Δ＝16k2－4(1－k2)(－10)＝0，解得k＝±，所以k的取值范围是错误答案

A现场纠错解析

曲线x＝

表示焦点在x轴上的双曲线的右支，由直线y＝kx＋2与双曲线方程联立得消去y，得(1－k2)x2－4kx－10＝0.由直线与双曲线右支交于不同两点，故选D.答案

D纠错心得

(1)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.(2)直线与圆锥曲线的交点问题往往需考虑圆锥曲线的几何性质，数形结合求解.课时作业1.(2018·新余摸底)双曲线

＝1(a≠0)的渐近线方程为基础保分练12345678910111213141516解析

根据双曲线的渐近线方程知，y＝±x＝±2x，故选A.解析答案√2.(2017·山西省四校联考)已知双曲线C：

＝1(a>0，b>0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为答案12345678910111213141516解析√12345678910111213141516解析

∵右焦点F到渐近线的距离为2，3.(2017·河南新乡二模)已知双曲线C：

＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若

且

＝4，则双曲线C的方程为答案12345678910111213141516√解析12345678910111213141516由①②可得，a2＝4，b2＝6，A.32B.16C.84D.44.(2017·福建龙岩二模)已知离心率为

的双曲线C：

＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若

＝16，则双曲线的实轴长是解析答案12345678910111213141516√123456789101112131415165.(2018·开封模拟)已知l是双曲线C：

＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若

＝0，则P到x轴的距离为解析答案12345678910111213141516√6.(2018·武汉调研)过双曲线

＝1(a>0，b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为

，则双曲线的离心率为解析答案12345678910111213141516√解析答案123456789101112131415167.过双曲线C：

＝1(a>0，b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为√12345678910111213141516由题意知右焦点到原点的距离为c＝4，答案123456789101112131415168.若双曲线

＝1(a>0，b>0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是解析√解析

由条件，得|OP|2＝2ab，又P为双曲线上一点，从而|OP|≥a，解析9.(2016·北京)已知双曲线

＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝____；b＝____.12345678910111213141516答案1210.设动圆C与两圆C1：(x＋

)2＋y2＝4，C2：(x－

)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C的轨迹方程为_________.解析12345678910111213141516答案解析

设圆C的圆心C的坐标为(x，y)，半径为r，由题设知r>2，11.(2018·南昌调研)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线

＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是____.12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l，12345678910111213141516所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2.12.设双曲线x2－

＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是__________.12345678910111213141516解析答案解析

如图，12345678910111213141516设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，技能提升练123456789101112131415