高考备考资料之数学人教B版全国用课件第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ29

§2.9

函数模型及其应用第二章

函数概念与基本初等函数Ⅰ基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.几类函数模型知识梳理函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝

＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)2.三种函数模型的性质

函数

性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调_____单调______单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与____平行随x的增大逐渐表现为与_____平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax递增递增y轴x轴1.解函数应用题的步骤【知识拓展】2.“对勾”函数题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.(

)(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(

)(3)不存在x0，使

<

<logax0.(

)(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.(

)(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.(

)基础自测×××√×123456题组二教材改编12456答案解析32.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的

收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元√解析由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；12456312456答案解析3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝

x2＋2x＋20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为___万件.解析利润L(x)＝20x－C(x)＝－

(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值.3184.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为____.解析设隔墙的长度为x(0<x<6)，解析124563答案3∴当x＝3时，y最大.题组三易错自纠5.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_______________.解析设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，解析12456答案36.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只.解析12456200答案解析由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1).当x＝8时，y＝100log39＝200.3题型分类深度剖析1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是题型一用函数图象刻画变化过程自主演练答案解析√解析v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.2.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是解析解析由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凸的，故选B.答案√3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，

甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，

消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙

车更省油解析答案√解析根据图象所给数据，逐个验证选项.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.思维升华典例

(1)(2017·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为______分钟.解析答案题型二已知函数模型的实际问题师生共研3.75解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，(2)(2017·醴陵期中)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)A.30元

B.60元C.28000元

D.23000元解析答案√解析设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).当p∈(0,30)时，L′(p)>0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23000.求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.思维升华跟踪训练

(1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元.解析∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.4.24解析答案(2)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－

Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.2500解析答案则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2500万元.命题点1构造一次函数、二次函数模型典例

(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为_____kg.解析题型三构建函数模型的实际问题多维探究答案19解析由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.解析(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为_____元.解析答案95解析设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225].∴当x＝95时，y最大.命题点2构造指数函数、对数函数模型典例

一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的

，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的

.(1)求每年砍伐面积的百分比；解答解设每年降低的百分比为x(0<x<1)，(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解答故到今年为止，该森林已砍伐了5年.本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？引申探究解设从今年开始，以后砍了n年，解答故今后最多还能砍伐15年.命题点3构造y＝x＋

(a>0)型函数典例

(1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为_____.解析答案5解析根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)(2017·南昌模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于

米.记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________.解析答案命题点4构造分段函数模型典例(2017·孝义模拟)某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).(1)求函数y＝f(x)的解析式；解答解当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x>2.3，∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6<x≤20，x∈Z.(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，显然当x＝6时，ymax＝185；解答当x＝11时，ymax＝270.∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多.构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.思维升华跟踪训练

(1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少

，至少应过滤____次才能达到市场要求.(已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)解析解析

设至少过滤n次才能达到市场要求，8答案所以n≥7.39，所以n＝8.(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)＝

则总利润最大时，该门面经营的天数是_____.解析答案300所以当x＝300时，ymax＝25000；当x>400时，y＝60000－100x<20000，综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25000元.典例

(12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.函数应用问题答题模板思维点拨根据题意，要利用分段函数求最大利润.列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论.规范解答答题模板思维点拨解(1)当0<x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，

[2分]当x>40时，W＝xR(x)－(16x＋40)规范解答(2)①当0<x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6104，所以Wmax＝W(32)＝6104；

[6分]所以此时W的最大值为5760. [10分]综合①②知，当x＝32时，W取得最大值6104万美元. [12分]答题模板解函数应用题的一般步骤第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的

数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结

果对实际问题的合理性.课时作业1.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是基础保分练12345678910111213141516解析答案x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y＝2x－2 B.y＝

(x2－1)C.y＝log2x

D.y＝

√解析由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.123456789101112131415162.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是答案12345678910111213141516解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.解析√3.国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是A.560万元

B.420万元

C.350万元

D.320万元答案12345678910111213141516√解析设该公司的年收入为x万元(x>280)，则有解析解得x＝320.故该公司的年收入为320万元.4.(2017·湖南衡阳、长郡中学等十三校联考)某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A.2017年

B.2018年

C.2019年

D.2020年解析答案12345678910111213141516√解析设从2016年起，过了n(n∈N＋)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，12345678910111213141516由题意取n＝4，则n＋2016＝2020.故选D.5.某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10m3的，按每立方米m元收费；用水超过10m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为A.13m3

B.14m3

C.18m3

D.26m3解析答案12345678910111213141516√解析设该职工用水xm3时，缴纳的水费为y元，则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.6.某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是万元

B.11万元

C.43万元

万元解析答案12345678910111213141516√解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×(10.5)2＋32.因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.解析答案123456789101112131415167.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝_______，经过5小时，1个病毒能繁殖为_____个.解析解析当t＝0.5时，y＝2，∴2＝

，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2，当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.2ln21024答案123456789101112131415168.西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L＝

(x>0).则当年广告费投入____万元时，该公司的年利润最大.4解析故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大.12345678910111213141516解析12345678910111213141516答案9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_____m.20解析设内接矩形另一边长为ym，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0<x<40)，所以当x＝20时，Smax＝400.10.某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以vkm/h的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于

km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是___h.(车身长度不计)解析1234567891011121314151612答案12345678910111213141516解析设全部物资到达灾区所需时间为th，由题意可知，11.声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2).(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；解当声强为10－6W/m2时，解答12345678910111213141516(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？解答12345678910111213141516则常人能听到的最低声强为10－12W/m2.(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解答12345678910111213141516＝50＋10lg5，因为50＋10lg5>50，所以这两位同学会影响其他同学休息.解当声强为5×10－7W/m2时，12.某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15－0.1x万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？解答12345678910111213141516解每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，12345678910111213141516书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元).(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解答1234567891011121314151612345678910111213141516解得0<x<150.依题意，单套丛书利润因为0<x<150，所以150－x>0，12345678910111213141516即x＝140时等号成立，此时，Pmax＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元.技能提升练12345678910111213141516解析13.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/小时，每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小.答案4012345678910111213141516解析设每小时的总费用为y元，则y＝kv2＋96，又当v＝10时，k×102＝6，解得k＝0.06，所以每小时的总费用y＝0.06v2＋96，故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时.解析12345678910111213141516答案14.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a).这里，x被称为乐观系数.