高考数学（人教A版）一轮复习单元质检九

单元质检九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2017浙江,2)椭圆=1的离心率是()A. B. C. D.2.到直线3x4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是()A.3x4y+4=0B.3x4y+4=0或3x4y2=0C.3x4y+16=0D.3x4y+16=0或3x4y14=03.与圆x2+(y2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A.2条 B.3条 C.4条 D.6条4.抛物线y2=8x的焦点到双曲线=1的渐近线的距离为()A.1 B.C. D.5.已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点(c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是(A.B.C.D.6.过点A(0,3),被圆(x1)2+y2=4截得的弦长为2的直线方程是()A.y=x+3 B.x=0或y=x+3C.x=0或y=x+3 D.x=07.若直线xy+2=0与圆C:(x3)2+(y3)2=4相交于A,B,则的值为()A.1 B.0 C.1 D.8.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e29.设双曲线=1的两条渐近线与直线x=分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,) B.(,2)C.(1,2) D.(,+∞)10.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线y2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=()A. B. C.3 D.911.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3 B.6 C.12 D.12.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B.C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2017北京,文12)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(2,0),O为原点,则的最大值为.

14.(2017山东,文15)在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.

15.(2017天津,文12)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠FAC=120°,则圆的方程为.

16.若关于x,y的方程=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:①若C为椭圆,则1<t<4;②若C为双曲线,则t>4或t<1;③曲线C不可能是圆;④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1<t<.其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填在横线上)

三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.18.(12分)已知圆心在x轴上的圆C过点(0,0)和(1,1),圆D的方程为(x4)2+y2=4.(1)求圆C的方程;(2)由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A,B两点,求|AB|的取值范围.19.(12分)已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k(k>0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.(1)求k的取值范围;(2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.20.(12分)已知椭圆C1:=1(a>b>0)与椭圆C2:+y2=1有相同的离心率,经过椭圆C2的左顶点作直线l,与椭圆C2相交于P,Q两点,与椭圆C1相交于A,B两点.(1)若直线y=x经过线段PQ的中点M,求直线l的方程:(2)若存在直线l,使得,求b的取值范围.21.(12分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为,求双曲线的离心率.22.(12分)(2017天津,文20)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.答案：1.B解析:e=,故选B.2.D解析:设所求直线方程为3x4y+m=0,由=3,解得m=16或m=14.即所求直线方程为3x4y+16=0或3x4y14=0.3.C解析:过原点与圆x2+(y2)2=1相切的直线有2条;斜率为1且与圆x2+(y2)2=1相切的直线也有2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆x2+(y2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条.4.A解析:抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),其到双曲线=1的渐近线x±y=0的距离d==1.5.D解析:由题意可知2n2=2m2+c又m2+n2=c2,所以m=.因为c是a,m的等比中项,所以c2=am,代入m=,解得e=.6.B解析:当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0;此时被圆(x1)2+y2=4截得的弦长为2.当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kxy+3=0.因为弦长为2,圆的半径为2,所以弦心距为=1.由点到直线距离公式得=1,解得k=.综上所述,所求直线方程为x=0或y=x+3.7.B解析:依题意,圆心C(3,3)到直线xy+2=0的距离为,从而易得cos∠ACB=,即∠ACB=45°,所以∠ACB=90°,所以=0,故选B.8.D解析:由条件知=1+=1+,当a>b时,,则,所以e1<e2.当a<b时,,则,所以e1>e2.所以,当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2.9.B解析:双曲线=1的两条渐近线方程为y=±x,当x=时,y=±,所以不妨令A,B.因为60°<∠AFB<90°,所以<kFB<1,即<1,即<1.所以<1,即1<e21<3,故<e<2.10.A解析:由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=4,则p=8,所以点M(1,4).因为双曲线y2=1的左顶点为A(,0),所以直线AM的斜率为.由题意得,解得a=.11.B解析:因为双曲线的离心率为2,所以e2==4,即b2=3a2所以双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,代入y2=2px(p>0),得x=p或x=0,故xA=xB=p.又因为|AF|=xA+p+=7,所以p=6.12.A解析:如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,则|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.故a=2不妨设M(0,b),则,即b≥1.所以e=.因为0<e<1,所以0<e≤.故选A.13.6解析:(方法一)设P(cosα,sinα),α∈R,则=(2,0),=(cosα+2,sinα),=2cosα+4.当α=2kπ,k∈Z时,2cosα+4取得最大值,最大值为6.故的最大值为6.(方法二)设P(x,y),x2+y2=1,1≤x≤1,=(2,0),=(x+2,y),=2x+4,故的最大值为6.14.y=±x解析:抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y22pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以.所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.15.(x+1)2+(y)2=1解析:∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=1,由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(yb)2=1(b>0),则C(1,b),A(0,b).∵∠FAC=120°,∴kAF=tan120°=,直线AF的方程为y=x+.∵点A在直线AF上,∴b=.则圆的方程为(x+1)2+(y)2=1.16.②解析:若C为椭圆,则有4t>0,t1>0,且4t≠t1,解得1<t<4,且t≠,所以①不正确;若C为双曲线,则有(4t)(t1)<0,解得t>4或t<1,所以②正确;若t=时,该曲线表示圆,所以③不正确;若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则4t>t1>0,解得1<t<,所以④错误.17.解:(1)由得圆心C(3,2).又因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x3)2+(y2)2=1.显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kxy+3=0,则=1,所以|3k+1|=,即2k(4k+3)=0.所以k=0或k=.所以所求圆C的切线方程为y=3或y=x+3,即y=3或3x+4y12=0.(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x4上,可设圆心C为(a,2a则圆C的方程为(xa)2+[y(2a4)]2=1又因为|MA|=2|MO|,所以设M(x,y),则=2,整理得x2+(y+1)2=4.设方程x2+(y+1)2=4表示的是圆D,所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,所以21≤≤2+1,解得a的取值范围为.18.解:(1)过两点(0,0)和(1,1)的直线的斜率为1,则线段AB的垂直平分线方程为y=1×,整理得y=x+1.取y=0,得x=1.所以圆C的圆心坐标为(1,0),半径为1,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=1.(2)设P(x0,y0),A(0,a),B(0,b),则直线PA方程为,整理得(y0a)xx0y+ax0=0.因为直线PA与圆C相切,可得=1,化简得(x0+2)a22y0ax0=0同理可得PB方程(x0+2)b22y0bx0=0,所以a,b为方程(x0+2)x22y0xx0=0的两根,所以|AB|=|ab|===2,令t=x0+2∈[4,8],则|AB|=2,求得|AB|min=,|AB|max=.|AB|的取值范围是.19.解:(1)抛物线y=x2的焦点为.由题意,得直线AB的方程为y1=k(x1),令x=0,得y=1k,即直线AB与y轴相交于点(0,1k).因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,所以1k>,解得k<.因为k>0,所以0<k<.即k的取值范围是.(2)结论:四边形ABDC不可能为梯形.理由如下:假设四边形ABDC为梯形.由题意,设B(x1,),C(x2,),D(x3,y3),联立方程消去y,得x2kx+k1=0,由根与系数的关系,得1+x1=k,所以x1=k1.同理,得x2=1.对函数y=x2求导,得y'=2x,所以抛物线y=x2在点B处的切线BD的斜率为2x1=2k2,抛物线y=x2在点C处的切线CD的斜率为2x2=2.由四边形ABDC为梯形,得AB∥CD或AC∥BD.若AB∥CD,则k=2,即k2+2k+2=0,因为方程k2+2k+2=0无解,所以AB与CD不平行.若AC∥BD,则=2k2,即2k22k+1=0,因为方程2k22k+1=0无解,所以AC与BD不平行.所以四边形ABDC不是梯形,与假设矛盾.因此四边形ABDC不可能为梯形.20.解:(1)设P(2,0),Q(x,y),则线段PQ的中点M为,则=0,即x+y=2.联立解得所以直线l的方程为y=0或y0=(x+2),化为x4y+2=0.(2)由题意,得椭圆C2:+y2=1的离心率e=.设2c是椭圆C1:=1(a>b>0)的焦距则.由a2=b2+c2,可得a=2b,c=b,椭圆C1的方程可化为x2+4y2=4b2.设直线l的方程为y=k(x+2),P(x3,y3),Q(x4,y4),A(x1,y1),B(x2,y2).联立消去y,得(1+4k2)x2+16k2x+16k24=0,所以x3+x4=,x3x4=,|PQ|=.联立消去y得(1+4k2)x2+16k2x+16k24b2=0,所以x1+x2=,x1x2=,|AB|==.因为,所以||=3||,即3×.所以b2=1+∈(1,9],即b∈(1,3].所以b的取值范围是(1,3].21.解:(1)双曲线=1的渐近线方程为y=±x,由双曲线的一条渐近线方程为y=x,可得=1,解得a=b.因为c==2,所以a=b=.由此可得双曲线方程为=1.(2)设A的坐标为(m,n),可得直线AO的斜率满足k=,即m=n.①因为以点O为圆心,c为半径的圆的方程为x2+y2=c2,所以将①代入圆的方程,