1.3 等腰三角形（3） 等腰三角形的判定-八年级数学下册10分钟课前预习练（北师大版）（解析版）

课前预习记录：月日星期10分钟课前预习练（北师大版）1.3等腰三角形（3）—等腰三角形的判定知识要点:1．如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也_________(简述为：等角对等边)．【答案】相等2．等腰三角形判定：两个角__________的三角形是等腰三角形.【答案】相等课堂练习一、选择题1．下列判断错误的是（）A．等腰三角形是轴对称图形B．有两条边相等的三角形是等腰三角形C．等腰三角形的两个底角相等D．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合【答案】D【分析】根据轴对称的定义以及等腰三角形的性质判断即可.【详解】解：A、等腰三角形是轴对称图形，正确；B、两条边相等的三角形叫做等腰三角形，正确；C、等腰三角形的两腰相等，两个底角相等，正确；D、等腰三角形顶角的角平分线与底边上的中线、底边上的高线互相重合，故本选项错误；故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形性质与轴对称的定义是本题的关键．2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，∠ABC的角平分线与线段AC相交于点D，若CD＝8，则AD的长（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD=30°，根据等腰三角形的性质求出BD，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．【详解】解：在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，则∠ABC=90°-30°=60°，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠C=∠CBD，∴BD=CD=8，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=8，∴AD=BD=4，故选：C．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，等腰三角形的判定，掌握30°的角对的直角边是斜边的一半是解题的关键．3．如图，中，是角平分线，交于，交于，若，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用角平分线和平行线的性质得到，再得到△EBD为等腰三角形，所以，最后计算即可．【详解】∵平分，∴，∵，∴，∴，△EDB为等腰三角形，，∴故选：B．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等以及等角对等边即可．4．如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】首先根据条件∠ACB=90°，CD是AB边上的高，可证出∠BCD+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，再根据同角的补角相等可得到∠B=∠DCA，再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE=∠FEC，最后利用等角对等边可证出结论．【详解】∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∵CD是AB边上的高，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠DCA，∵AF是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵∠1+∠B=∠CFE，∠2+∠DCA=∠FEC，∴∠CFE=∠FEC，∴CF=CE，∴△CEF是等腰三角形.故选A【点睛】此题考查等腰三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.5．如图，在中，和的角平分线交于点，过点作交于点，交于点．若，，则的长为（）A．10 B．5.5 C．6 D．5【答案】D【分析】由平行线的性质，得出∠MEB=∠CBE，∠NEC=∠BCE，再由角平分线定义得出∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠BCE，证出ME=MB，NE=NC，即可求得MN的长．【详解】解：∵MN∥BC，

∴∠MEB=∠CBE，∠NEC=∠BCE，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，

∴∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠BCE，

∴∠MEB=∠MBE，∠NEC=∠NCE，

∴ME=MB，NE=NC，

∴MN=ME+NE=BM+CN=2+3=5，

故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．6．如图，是的角平分线，，则的长为（）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】延长CB至点F，使CF=CA，连接DF，证明△FCD≌△ACD，得到∠F=∠A，结合已知得到线段的关系，从而计算BD．【详解】解：延长CB至点F，使CF=CA，连接DF，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD=∠FCD，在△FCD和△ACD中，，∴△FCD≌△ACD（SAS），∴∠F=∠A，∴∠ABC=2∠A且∠ABC=∠F+∠FDB，∴∠F=∠FDB，∴BF=BD，∴CF=BC+BF=BC+BD，∴AC=BD+BC，∴BD=AC-BC=7-4=3，故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是合理作出辅助线，构造全等三角形．二、填空题7．如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，过点O作DE∥BC交AB、AC于D、E，若AB＝7，AC＝5，则△ADE的周长为______．【答案】12【分析】根据DE∥BC，可得∠DOB=∠OBC，再由角平分线的定义，可得∠DBO=∠OBC，从而∠DBO=∠DOB，得到DO=BD，同理可得EO=EC，则有DE=DO+OE=BD+EC，再根据三角形的周长等于三边长度之和，即可求解．【详解】解：∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠OBC，∴∠DBO=∠DOB，∴DO=BD，同理可得EO=EC，∴DE=DO+OE=BD+EC，∴AD+AE+DE=AD+DO+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=7+5=12，即△ADE的周长为12．故答案为：12【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边是解题的关键．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线，则∠ABD＝______°．【答案】36【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°﹣36°）÷2=72°，又∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=36°，故答案为36．9．如图，BM是的角平分线，D是BC边上一点，连接AD，使，且，则的度数是__________度。【答案】35°【分析】根据∠AMB=∠MBC+∠C，想办法求出∠MBC+∠C即可．【详解】解：∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，∵∠ADB=∠C+∠DAC，∴∠ADB=2∠C，∵MB平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∵∠BAD=110°，∴∠ABD+∠ADB=70°，∴2∠DBM+2∠C=70°，∴∠MBC+∠C=35°，∴∠AMB=∠MBC+∠C=35°，故答案为35°．【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质、等腰三角形的性质角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．老师在投影屏上展示了如下一道试题：已知：如图，平分，．求证：．证明：∵平分，∴（①角平分线定义）．∵，∴（②等角对等边）．∴③，∴（④内错角相等，两直线平行）．则以上证明过程中，结论或者依据错误的一项是__________．【答案】②【分析】根据题目条件可以直接判断②错误，应该是等边对等角．【详解】证明：∵平分，∴①（角平分线定义），∵，∴②（等边对等角），∴③，∴④（内错角相等，两直线平行）．故答案为：②．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，理解等腰三角形的性质是解题的关键．三、解答题11．如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．【答案】见解析【分析】证明即可解决问题．【详解】证明：，，，是角平分线，，，，．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．如图，在中，是角平分线，，，垂足分别为、，（1）若，求证：；（2）若，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用SAS证明△BAD△CAD，即可得到结论；（2）首先由角平分线的性质可得DE=DF，由BD=CD，可证Rt△BED≌Rt△DFC（HL），得出∠B=∠C，即可得出结论．【详解】（1）∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，在△BAD与△CAD中，，∴△BAD△CAD(SAS)，∴；（2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，

在Rt△BED和Rt△DFC中，，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴∠B=∠C，

∴AB=AC．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定；证明三角形全等是解题的关键．13．如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．(1)求证AD=ED；(2)若AC=AB，DE=3，求AC的长．【答案】(1)证明见解析；(2)6.【解析】【分析】（1）由AE是∠BAC的角平分线可得∠DAE=∠BAE，由DE∥AB，可得∠DEA=∠EAB，则∠DEA=∠DAE，可得结论．

（2）根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，可证∠C=∠CED则CD=DE，即可求AC的长．【详解】证明：(1)∵AE是∠BAC的角平分线∴∠DAE=∠BAE，∵DE∥AB∴∠DEA=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE-；(2)∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分线∴AE⊥BC∴∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°，∵∠CAE=∠DEA，∴∠C=∠CED，∴DE=CD，∴AD=DE=CD=3，∴AC=6.故答案为(1)证明见解析；(2)6.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，关键是利用这些性质解决问题．14．在△ABC中，∠A＝∠C＝∠ABC，BD是角平分线，求：（1）∠A的度数？（2）求证：△DBC是等腰三角形．【答案】(1)36°，(2)答案见详解【分析】(1)设∠A=x,则∠ABC=∠ACB=2x,利用三角形内角和即可解答；（2）利用角平分线的性质求出∠ABD的度数，再利用外角的性质求出∠BDC的度数，从而得到△DBC是等腰三角形．【详解】解:(1)∵∠A＝∠C＝∠ABC∴设∠A=x,则∠ABC=∠ACB=2x∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴x+2x+2x=180°解得:x=36°∴∠A=36°证明:(2)由(1)可知∠ABC=∠ACB=2×36°=72°∵BD是角平分线∴∠ABD=∠ABC=36°∵∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°∴∠BDC=∠C∴BD=BC，即△DBC是等腰三角形【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和，三角形外角的性质以及等腰三角形的判定，利用三角形内角和等于180°求出各内角的度数是解题的关键．15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点F，DE过点F且平行于BC．（1）判断三角形BDF的形状，并证明．（2）若∠A＝70°，求∠BFC的度数．【答案】（1）是等腰三角形，证明见解析；（2）125°【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得，进而可得三角形BDF的形状为等腰三角形；（2）根据三角形内角和定理求得，进而求得，即，再根据三角形内角和定理即可求得的度数．【详解】（1）是等腰三角形，理由如下，为的角平分线，，，，，，是等腰三角形，（2），，分别为∠ABC和∠ACB的角平分线，，，．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．16．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE是三角形的角平分线，交AD于F．（1）若∠ABC=40°，求∠AFE的度数．（2）若∠BAC是直角，请猜想：△AFE的形状，并写出证明．【答案】（1）∠AFE=70°；（2）等腰三角形，证明见解析．【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠DBF，再根据三角形内角和定理求出∠BFD即可解决问题．（2）结论：△AEF是等腰三角形．想办法证明∠AEF=∠AF