1.5 直角三角形（1） 直角三角形的性质与判定-八年级数学下册10分钟课前预习练（北师大版）（解析版）

课前预习记录：月日星期10分钟课前预习练（北师大版）1.5直角三角形（1）—直角三角形的性质与判定知识要点:1．直角三角形的两个锐角_______．【答案】互余2．有两个角互余的三角形是______________.【答案】直角三角形3．勾股定理：直角三角形的两条直角边的__________等于斜边的平方.【答案】平方和4．如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是________________.【答案】直角三角形课堂练习一、选择题1．△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（）A．b2-c2=a2 B．a:b:c=5:12:13C．∠A:∠B:∠C=3:4:5 D．∠C=∠A-∠B【答案】C【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】A.b2-c2=a2，根据勾股定理逆定理可以判断，△ABC是直角三角形，故不符合题意；B.a:b:c=5:12:13，设，则，则，根据勾股定理逆定理可以判断，△ABC是直角三角形，故不符合题意；C.∠A:∠B:∠C=3:4:5，设∠A、∠B、∠C分别是，则，，则，所以△ABC是不直角三角形，故符合题意；D.∠C=∠A-∠B，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠A=90°，是直角三角形，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了直角三角形的判定，涉及了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2．如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝52°，则∠2的度数是（）A．38° B．42° C．48° D．52°【答案】A【分析】利用直角三角形的性质先求出∠B，再利用平行线的性质求出∠2．【详解】解：∵AB⊥AC，∠1＝52°，∴∠B＝90°﹣∠1＝90°﹣52°＝38°∵a∥b，∴∠2＝∠B＝38°．故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质、两直线平行同位角相等，直角三角形两个锐角互余等知识，在基础考点，掌握相关知识是解题关键．3．如图，，于点，与交于点，若，则等于（）A．20° B．50° C．70° D．110°【答案】C【分析】由与，即可求得的度数，又由，根据两直线平行，同位角相等，即可求得的度数．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴．故选：C．【点睛】题目主要考查了平行线的性质与垂直的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．4．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】首先由勾股定理得AB，AC，BC的三边长，从而有AB2+AC2＝BC2，得∠BAC＝90°，再根据S△ABC，代入计算即可．【详解】解：由勾股定理得：AB，AC，BC，∵AB2+AC2＝25，BC2＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴S△ABC，∴，∴AD＝2，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC＝90°是解题的关键．5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则它的顶角度数是（）A．50° B．50°或130° C．40°或140° D．60°或120°【答案】B【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为130°．【详解】如图1，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD=40°，∴∠A=50°，即顶角的度数为50°；如图2，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA=40°，∴∠BAD=50°，∴∠BAC=130°，即顶角的度数为130°．故选：B．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．二、填空题6．在中，锐角，则另一个锐角_______．【答案】【分析】根据直角三角形两锐角互余，即可求解．【详解】解：在中，∵锐角，∴另一个锐角．故答案为：【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．7．△ABC的三条边长、、满足，，则△ABC____直角三角形（填“是”或“不是”）【答案】不是【分析】根据二次根式有意义的条件以及绝对值的非负性，得出的值，运用勾股定理逆定理验证即可．【详解】解：∵，∴，，∴，则，∴，∴△ABC不是直角三角形，故答案为：不是．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，勾股定理逆定理等知识点，根据题意得出的值是解本题的关键．8．如图，中，，点在边上，，若，则的度数为_______．【答案】【分析】先求出∠EDC=35°，然后根据平行线的性质得到∠C=∠EDC=35°，再由直角三角形两锐角互余即可求解．【详解】解：∵∠1=145°，∴∠EDC=35°，∵DE∥BC，∴∠C=∠EDC=35°，又∵∠A=90°，∴∠B=90°-∠C=55°，故答案为：55°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，求出∠C的度数是解题的关键．9．如图，AD⊥BC，∠1＝∠B，∠C=65°，∠BAC＝__________【答案】70°【分析】先根据AD⊥BC可知∠ADB＝∠ADC＝90°，再根据直角三角形的性质求出∠1与∠DAC的度数，由∠BAC＝∠1+∠DAC即可得出结论．【详解】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣65°＝25°，∠1＝∠B＝45°，∴∠BAC＝∠1+∠DAC＝45°+25°＝70°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．10．如图，在中，∠ACB﹦90°，CD⊥AB，垂足为D，∠B＝52°，那么∠ACD﹦____________．【答案】【分析】先根据角的和差可得，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，由此即可得．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．11．如图，，，，则_________．【答案】50°【分析】只需要证明Rt△ABC≌Rt△ADC得到∠1=∠CAD=40°，则∠2=90°-∠CAD=50°．【详解】解：∵∠B=∠D=90°，∴△ABC和△ADC均为直角三角形，在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠1=∠CAD=40°，∴∠2=90°-∠CAD=50°．故答案为：50°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．12．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BCD＝2∠B，AC＝4，则BD的长为________．【答案】6【分析】由∠BCD＝2∠B，可得∠B=∠ACD=30゜,则由含30度直角三角形的性质可求得AD与AB的长，从而其差即是BD的长．【详解】∵CD⊥AB∴∠B+∠BCD=90゜∵∠BCD＝2∠B∴∠B+2∠B=90゜∴∠B=30゜∴∠BCD=60゜,AB=2AC=8∵∠ACB＝90°∴∠ACD=30゜∴∴故答案为；6【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，关键是含30度角的直角三角形的性质的运用．三、解答题13．如图，已知在中，于，，，．（1）求；（2）求证：是直角三角形．【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）根据勾股定理求出CD长，再根据勾股定理求出AD即可；（2）求出AB的长，求出AC2＋BC2＝AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°即可．【详解】（1）解：∵CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ADC＝90°，在Rt△BDC中，，，由勾股定理得：CD＝，在Rt△ADC中，，，由勾股定理得：AD＝，故答案为：；（2）证明：∵由（1）求得，，∴，∵，，∴，，∴，即是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记知识点是解此题的关键．14．如图，四边形中，，，，，．

（1）连接AC，求AC的长．（2）求四边形的面积．【答案】（1）；（2）四边形的面积为36．【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△CAD是直角三角形，分别求出△ABC和△CAD的面积，即可得出答案．【详解】解：（1）连接，在中，，，，，（2），在中，，，，，是直角三角形，．四边形的面积．答：AC的长为5，四边形的面积为36【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABC和△CAD的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．15．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．AD＝1，BD＝4，CD＝2．求证：∠ACB＝90°．

【答案】见解析【分析】在直角△ACD和直角△BCD中，运用勾股定理得到AC2=5、BC2=20，结合AB2=25，易得AC2+BC2=AB2，则∠ACB=90°．【详解】证明：∵CD是△ABC的高，∴∠ADC=∠BDC=90°．∵AD=1，BD=4，CD=2，∴AC2=AD2+CD2=12+22=5，BC2=BD2+CD2=42+22=20，AB2=（1+4）2=25．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB=90°．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．16．点A，B，C，在平面直角坐标系的位置如图所示．（1）分别写出点A，B，C的坐标．（2）连接AB，BC，CA，判断△ABC的形状