福建省宁德市2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试题 含解析

宁德市2024-2025学年度第一学期期末高一质量检测数学试题本试卷共19题.考试时间120分钟，满分150分.注意事项：1.答题前考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；填空题和解答题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的.1.已知命题，则命题的否定是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得答案.【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得命题的否定是：.故选：D.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的性质解不等式，利用集合间的关系确定选项.【详解】由得，解得.记集合，，∵⫋，∴“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.若幂函数的图象经过点，则在定义域内为（）A.减函数 B.增函数 C.偶函数 D.奇函数【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义可求出函数的解析式，即可判断函数的单调性与奇偶性.【详解】设，则，解得，∴，定义域为，为非奇非偶函数，∵，∴在上为增函数.故选：B.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】举反例可说明选项A、B、C错误；作差法可证明选项D正确.【详解】对于选项A、B、C，令，，，，满足.，选项A错误.，，选项B错误.，选项C错误.D.，∵，∴，∴，∴，∴，即，选项D正确故选：D.5.记，设，则函数的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查分段函数的性质，依据题意写出分段函数的解析式，进而确定函数的单调性，得出函数的最小值.【详解】由题可得，函数的解析式为，令，解得或x=-1,当或时，；当时，，∴fx在上单调递减，在上单调递增，∴fx的最小值为.故选：B.6.已知函数的零点为a，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的单调性，确定零点的取值范围，即可得到的大小关系.【详解】∵在R上为减函数，在R上为减函数，∴函数在R上为减函数，∵，，∴，∴，，∴.故选：C.7.已知函数，，则图象为如图的函数可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性可以排除选项A,B；利用函数的单调性可排除选项C.【详解】根据图像可得函数关于原点对称，为奇函数，对于选项A：为非奇非偶函数，故A错误；对于选项B：为非奇非偶函数，故B错误；对于选项C：在区间上单调递减，在区间上单调递增，故C错误；对于选项D：为奇函数，在区间上单调递增，故D正确；故选：D8.定义在上的函数满足，且，则（）A. B.是奇函数C.是偶函数 D.是减函数【答案】B【解析】【分析】令得，令可得选项A错误；令得，可得选项B正确；根据可得选项C错误；令，由可得选项D错误.【详解】令得，，即，∵，∴不恒为0，∴，即.A.令，则，∴，即，∵，∴，选项A错误.B.令，则，∴，令，则的定义域为，且，∴是奇函数，选项B正确.C.令，则，由得，，令，则，即，故，由得，，∴不是偶函数，选项C错误.D.令，则，，由得不是减函数，选项D错误.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是通过赋值求函数值，根据奇偶性及单调性的定义判断选项.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.已知函数y=fx用列表法表示如下，则下列说法正确的是（123321A.的定义域与值域相同B.C.若，则D.是减函数【答案】ACD【解析】【分析】由表格得选项A正确；根据函数定义域可得选项B错误；由条件得，解出可得选项C正确；根据表格数据可得选项D正确.【详解】A.函数y=fx的定义域为，值域为，A正确.B.由函数y=fx的定义域为可得选项B错误.C.由得，，故，C正确.D.由表格得，随的增大而减小，故在定义域上是减函数，D正确.故选：ACD.10.已知二次函数，则下列说法正确的是（）A.当时，B.当时，C.若恒成立，则D.若在内有零点，则【答案】ACD【解析】【分析】利用二次函数的性质，基本不等式，根的判别式和开口方向，零点存在定理及结合解不等式依次对每个选项进行分析求解．【详解】A．当时，，选项正确；B．当时，，则，当时，，选项错误；C．若恒成立，则，解得：，选项正确；D．，要使得在内有零点，则，即，解得：，选项正确；故选：ACD．11.已知桌面上有一个周长为2的由铁丝围成的封闭图形，则（）A.当封闭曲线为半圆时，用直径为1的圆形纸片可以完全覆盖B.当封闭曲线为正六边形时，用直径为1的圆形纸片可以完全覆盖C.当封闭曲线为平行四边形时，用直径1的圆形纸片不可以完全覆盖D.当封闭曲线为三角形时，用直径为1的圆形纸片不可以完全覆盖【答案】AB【解析】【分析】逐项分析各图形的外接圆半径或直径，与圆形纸片的直径比较即可确定正确选项.【详解】A.设半圆半径为，则，解得，故直径为1的圆形纸片可以完全覆盖半圆，选项A正确.B.当封闭曲线为正六边形时，正六边形的边长为，正六边形外接圆的直径为，故直径为1的圆形纸片可以完全覆盖正六边形，选项B正确.C.当封闭曲线为正方形时，正方形边长为，正方形的外接圆直径为，故直径为1的圆形纸片可以完全覆盖正方形，由正方形为平行四边形可得选项C错误.D.当封闭曲线为正三角形时，正三角形边长为，正三角形的外接圆半径为，故直径为1的圆形纸片可以完全覆盖正三角形，选项D错误.故选：AB.三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置.12.一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______.【答案】【解析】【分析】根据扇形弧长及面积公式求解可得结果.【详解】设扇形的半径为，圆心角的弧度数为，则，两式相除得，.故答案为：.13.______.【答案】【解析】【分析】根据指数幂的运算性质及对数运算法则可得结果.【详解】故答案为：.14.已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点（A点位于B点的左侧），过A点作x轴的垂线交的图象于点C，若BC与x轴平行，则A点的坐标为______.【答案】【解析】【分析】设，则，根据BC与x轴平行得，利用求出，即可得到A点的坐标.【详解】设，m>0，则，由BC与x轴平行得，，由得，，故，由三点共线得，，∴，即，解得，，∴A点的坐标为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知集合，集合.（1）当时，求；（2）若，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式，化简集合，根据集合的基本运算可得结果.（2）化简集合，利用集合间的关系可求的取值范围.【小问1详解】由得，，解得，∴，当时，，∴.【小问2详解】当时，∵，∴，∴的取值范围为.16.近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示：建立平台第x个月12345会员人数y（万）256.788.9为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③.（1）选出最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数达到14万.【答案】（1）①，理由见解析（2），第16个月【解析】【分析】（1）根据函数定义域以及指、对数函数的单调性特征分析判断；（2）根据点，，求，即可得函数解析式，再根据函数解析式运算求解【小问1详解】最符合实际的函数模型为①，根据表格知函数解析式需满足在上有定义，所以②不满足，又随着月份增加，会员人数增加速度又会减慢，所以③不符合，只有①同时满足上述两个特征，故最符合.【小问2详解】可选取表格中的两组数据为：，，代入得解得，即，当时，，解得，，所以，可预测第16个月，会员人数达到14万人.17.在单位圆中，已知锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按照逆时针方向旋转，交单位圆于点，点关于x轴的对称点为.（1）若，求的值；（2）若，求.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义、同角三角函数的基本关系及诱导公式可得结果.（2）利用诱导公式及对称表示，根据齐次式或同角三角函数的基本关系可求的值.【小问1详解】由三角函数定义得，.∵，为锐角，∴，∴，，，，∴.【小问2详解】解法一：由题意得，，，，，∴，，∵为锐角，∴，即，∴，即，∴，故，∴，即，解得或.解法二：由题意得，，，，，∴，，∵锐角，∴，即，∵，∴或，∴或.18.已知函数（1）证明：为奇函数；（2）讨论函数在区间上的单调性；（3），，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）函数在区间上是增函数，在区间上是减函数（3）【解析】【分析】（1）根据的定义域为R且可得为奇函数.（2）利用定义法可得函数在区间上的单调性.（3）根据函数性质可得，分析范围，利用集合间的关系可求参数的范围.【小问1详解】∵的定义域为R，且∴为奇函数.【小问2详解】，且，则，∵，∴，当时，，故，即，∴在上是增函数，当时，，故，即，∴在上是减函数.综上，函数在上是增函数，在上是减函数.【小问3详解】解法一：∵，∴，，，∴，.由（2）知，函数为奇函数，在区间上是增函数，在区间上是减函数.∵，∴，∴，∵，，使得，∴，∴，解得，∴.解法二：∵，∴，，，由（2）知，函数为奇函数，在区间上是增函数，在区间上是减函数，∴，即，故，∵，∴，∴，即，∵，，使得，∴，∴，解得，∴.19.定义：函数的定义域为，若对上的任意不同的两个数和任意的，都有，则称在上是凸函数.（1）判断是否为凸函数，并说明理由；（2）已知偶函数在上是凸函数，证明：在上也是凸函数；（3）若在上是凸函数，对于定义域内任意不同的三个数和任意的，证明：当时，都有成立.【答案】（1）是凸函数，理由见解析（