2025年中考数学一轮专题复习强化练习第25课时　矩形、菱形、正方形 （含答案）

第25课时矩形、菱形、正方形

1.(2024·成都)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是()

A.AB=ADB.AC⊥BD

C.AC=BDD.∠ACB=∠ACD

2.(2024·邢台一模)如图,有甲、乙两个四边形,分别标出了部分数据,则下列判断正确的是()

甲乙

A.甲是矩形

B.乙是矩形

C.甲、乙均是矩形

D.甲、乙都不是矩形

3.(2024·济宁)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接OE.若OE=3,则

菱形的边长为()

A.6B.8

C.10D.12

4.(2024·迁安二模)已知下列选项中图形均为菱形,所标数据有误的是()

ABCD

5.(2024·唐山路南区二模)如图1是由一根细铁丝围成的正方形,其边长为1.现将该细铁丝围成一

个三角形(如图2所示),则AB的长可能为()

图1图2

A.1.5B.2.0C.2.5D.3.0

6.(2024·沧州南皮县三模)已知四边形ABCD是平行四边形,若AC⊥BD,要使得四边形ABCD是正

方形,则需要添加条件()

A.AB=BCB.∠ABC=90°

C.∠ADB=30°D.AC=AB

7.(2023·大庆)将两个完全相同的菱形按如图方式放置,若∠BAD=α,∠CBE=β,则β=()

A.45°+αB.45°+αC.90°-αD.90°-α

1313

8.(20242·甘肃)如图,在矩形AB2CD中,对角线AC,BD2相交于点O,∠ABD=620°,AB=2,则AC的长为

()

A.6B.5C.4D.3

9.(2024·邯郸二模)已知:在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,如图,求证,四边形ABCD是菱形.

证明:∵AB=CD,BC=DA,∴四边形ABCD是平行四边形,

又∵“”,

∴四边形ABCD是菱形.

在以上证明过程中,“”可以表示的是()

A.∠A=∠CB.AD∥BCC.AB=BCD.AB∥DC

10.(2024·石家庄长安区模拟)如图,在正方形纸片ABCD上进行如下操作:

第一步:剪去矩形纸条AEFD;

第二步:从矩形纸片BCFE上剪去矩形纸条CFGH.

若矩形纸条AEFD和CFGH的面积相等,则AB的长度为()

A.30cmB.15cmC.16cmD.90cm

11.(2024·邯郸峰峰矿区三模)如图,菱形ABCD中,AC交BD于点O,CE⊥AB于点E,连接OE,若∠

ABC=80°,则∠OEC的度数为°.

12.(2023·台州)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,

垂足为点F,则BF的长为.

13.传统文化“福”字象征着中华民族的历史文化与精神.如图1是小红家大门上的“福”字,如图2是

抽离出来的菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,∠ABC=80°,E是线段AO上一点,且BC=CE,

则∠OBE的度数是.

图1图2

14.(2024·扬州)如图1,将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起,得到四边形ABCD.

图1图2

(1)试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.

(2)已知矩形纸条宽度为2cm,将矩形纸条旋转至如图2位置时,四边形ABCD的面积为8cm2,求此

时直线AD,CD所夹锐角∠1的度数.

1.(2024·通辽)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是

()

A.∠BAC=∠BCAB.∠ABD=∠CBD

C.OA2+OB2=AD2D.AD2+OA2=OD2

2.(2024·邯郸峰峰矿区三模)演示课上,王林用四根长度都为4cm的木条制作了图1所示正方形,

而后将正方形的BC边固定,平推成图2的图形,并测得∠B=60°,则在此变化过程中结论错误的是

()

图1图2

A.AB长度不变,为4cmB.AC长度变小,减少4(-1)cm

C.BD长度变大,增大4(-)cmD.四边形ABCD面积变小2,减少8(-1)cm2

323

3.(2024·邯郸峰峰矿区二模)如图1,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,要在对角线BD上

找两点M,N,使得四边形AMCN是菱形,现有图2中的甲、乙两种方案,则正确的方案是()

图1

图2

A.只有甲B.只有乙

C.甲和乙D.甲乙都不是

4.(2024·邯郸大名县三模)在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是边AB上的一个动点(不与

A,B重合),连接EO并延长,交CD于点F,连接AF,CE,下列四个结论中:

甲:对于动点E,四边形AECF始终是平行四边形;

乙:若∠ABC<90°,则至少存在一个点E,使得四边形AECF是矩形;

丙:若AB>AD,则至少存在一个点E,使得四边形AECF是菱形;

丁:若AB>AD,∠BAC=45°,则至少存在一个点E,使得四边形AECF是正方形.

以上所有正确说法的序号是()

A.甲、丙、丁正确,乙错误

B.甲、乙、丙、丁都正确

C.甲、乙、丙正确,丁错误

D.甲、乙、丙错误,丁正确

5.(2023·菏泽)(1)如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE⊥DF,垂足为G.求证:△ADE

∽△DCF.

【问题解决】

(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连接

DH.求证:∠ADF=∠H.

【类比迁移】

(3)如图3,在菱形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF=11,DE=8,∠AED=60°,求CF的长.

图1图2图3

【详解答案】

基础夯实

1.C解析:∵四边形ABCD是矩形,

∴AC=BD,∠ADC=90°,AD=BC,AD∥BC,OA=AC,

1

2

∴AC⊥BD,∠ACB=∠ACD不一定成立,AC=BD,一定成立,AB=AD不一定成立.故选C.

2.A解析:由题意知,甲中对角线相等且互相平分,

∴甲中的四边形是矩形,

如图,记AC,BD的交点为O,

由图可知,OA=OD,OB=OC,OA,OB的数量关系未知,

∴乙中的四边形不一定是矩形.故选A.

3.A解析:∵四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,

∴△AOB是直角三角形,

∵E是AB的中点,

∴OE=AB,

1

2

∵OE=3,∴AB=6,

即菱形的边长为6.故选A.

4.D解析:由菱形的性质得,菱形的四条边都相等,对角线互相垂直,对角线平分每一对对角得到选项A,B,C不

符合题意,选项D符合题意.故选D.

5.A解析:由正方形的性质知,铁丝的总长度为1+1+1+1=4,

根据三角形的三边关系知,两边之和大于第三边,

∴AB边的长小于2.故选A.

6.B解析:需要添加条件∠ABC=90°,

∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,

∴四边形ABCD是菱形,

∵∠ABC=90°,

∴四边形ABCD是正方形.故选B.

7.D解析:∵四边形ABCD和四边形BGHF是完全相同的菱形,

∴∠DBE=∠BAD=α,AB=AD,∠ABD=∠CBD=∠CBE+∠DBE=β+α,

∴∠ADB=∠ABD=β+α,

∵∠BAD+∠ADB+∠ABD=180°,

∴α+β+α+β+α=180°,

∴β=90°-α.故选D.

3

2

8.C解析:∵四边形ABCD为矩形,对角线AC,BD相交于点O,AB=2,

∴OA=OB=OC=OD,

∵∠ABD=60°,

∴△OAB为等边三角形,

∴OA=OB=AB=2,

∴OC=OA=2,

∴AC=OA+OC=4.故选C.

9.C解析:根据“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”,可得“”可以表示的是AB=BC.故选C.

10.A解析:设正方形ABCD的边长为acm,

由题意,得5a=6(a-5),解得a=30.故选A.

11.40解析:∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=80°,AB=BC,

∴∠CAB=∠ACB=×(180°-80°)=50°,AO=CO,

1

2

∵CE⊥AB,

∴OE=OA=OC,∠AEC=90°,

∴∠OEA=∠OAE=50°,

∴∠OEC=90°-50°=40°

12.2解析:∵四边形ABCD是矩形,

∴AD∥5BC,∠A=90°,

∴∠AEB=∠FBC,

∵CF⊥BE,

∴∠CFB=90°,

∴∠CFB=∠A,

在△ABE和△FCB中,,

∠�=∠𝐶�

∠𝐴�=∠���

𝐴=��

∴△ABE≌△FCB(AAS),

∴FC=AB=4,

∵四边形ABCD是矩形,

∴BC=AD=6,

在Rt△FCB中,由勾股定理得BF=--=2.

2222

13.25°解析:∵四边形ABCD是菱形��,∠�AB�C=80°6,45

∴∠ABO=∠CBO=40°,AC⊥BD,

∴∠BAC=90°-40°=50°=∠ACB,

∵BC=CE,

∴∠CBE=∠CEB=×(180°-50°)=65°,

1

2

∴∠OBE=65°-40°=25°.

14.解:(1)四边形ABCD是菱形,理由如下:如图1,过点C作CH⊥AB,垂足为H,CG⊥AD,垂足为G,

∵两个纸条均为矩形,

∴AB∥CD,AD∥BC,

∴四边形ABCD是平行四边形,

∵▱=AB·CH=AD·CG,且CH=CG,∴AB=AD,

∴�四�边��形�ABCD是菱形.

图1图2

(2)如图2,过点A作AM⊥CD,垂足为M,

2

∵菱形=CD·AM=8cm,且AM=2cm,

���𝐵

∴CD=4cm,

∴AD=CD=4cm,

在Rt△ADM中,sin∠1=,

𝐴1

𝐵2

∴∠1=30°.=

能力提升

1.D解析:A.∵∠BAC=∠BCA,∴AB=BC,

∴▱ABCD是菱形,故选项A不符合题意;

B.∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,

∵∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,

∴▱ABCD是菱形,故选项B不符合题意;

C.∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OB=OD,

∵OA2+OB2=AD2,∴OA2+OD2=AD2,∴∠AOD=90°,

∴AC⊥BD,∴▱ABCD是菱形,故选项C不符合题意,

D.∵AD2+OA2=OD2,∴∠OAD=90°,∴OA⊥AD,

∴不能证得▱ABCD是菱形,故选项D符合题意.故选D.

2.D解析:如图1,连接AC,BD,

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠ABC=90°,AB=BC=4cm,AB2+BC2=AC2,

∴AC2=32,正方形ABCD面积=42=16(cm2),

∴AC=BD=4cm,

2

如图2,在菱形ABCD中,连接AC,BD,过A作AH⊥BC于点H,AB=BC=4cm,BO=DO,AO=CO,

∵∠ABC=60°,

∴△ABC是等边三角形,

∴AC=AB=BC=4cm,AO=2cm,BH=CH=2cm,

∴BD=2BO=2-=4(cm),

22

AH=-=�2��(c�m),3

22

∴菱形��ABC�D�面积=34×2=8(cm2),

故选项A不符合题意;33

∵4-4=4(-1)(cm),

故选项2B不符2合题意;

∵4-4=4()(cm),

323−2

故选项C不符合题意;

∵16-8=8(2-)(cm2),

故选项D3符合题3意.故选D.

3.C解析:∵四边形ABCD是菱形,

∴OB=OD,OA=OC,AC⊥BD,

∵BM=DN,

∴OM=ON,

∵OA=OC,MN⊥AC,

∴四边形AMCN是菱形,

故方案甲正确;

∵四边形ABCD是菱形,

∴OB=OD,OA=OC,AC⊥BD,∠BAC=∠DAC,

∵AM,AN分别是∠BAC和∠DAC的平分线,

∴∠MAC=∠NAC,

∵∠AOM=∠AON=90°,

,

在△AOM和△AON中,,

∠���=∠���,

��=��

∴△AOM≌△AON(ASA∠),�𝐴=∠���

∴OM=ON,

∵OA=OC,

∴四边形AMCN是平行四边形,

∵AC⊥MN,

∴四边形AMCN是菱形,

故方案乙正确.故选C.

4.A解析:如图1,

图1

∵四边形ABCD为平行四边形,对角线AC与BD交于点O,

∴AB∥DC,AB=DC,OA=OC,OB=OD,

∴∠OAE=∠OCF,

∵∠AOE=∠COF,

∴△AOE≌△COF(ASA),

∴AE=CF,