2025年中考数学总复习23 微专题 锐角三角函数及其应用 学案（含答案）

微专题23锐角三角函数及其应用

考点精讲

构建知识体系

考点梳理

1.锐角三角函数(6年5考)

图①

定义：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为△ABC中的一锐角，则∠A

的正弦：＝对边＝，∠的余弦：＝邻边＝①，∠的正切：

sinA斜边AcosA斜边AtanA

�

�

＝对边＝②

邻边

2.特殊角的三角函数值(6年8考)

示意图

α30°45°60°

sinα③

13

cosα④2⑤2

2

第1页共14页2

tanα⑥1⑦

3.锐角三角函数的实际应用(6年3考)

(1)仰角、俯角：如图②，图中仰角是∠1，俯角是∠2

(2)坡度(坡比)、坡角：如图③，坡角为α，坡度(坡比)i＝tanα＝

ℎ

(3)方向角：如图④，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于�O点的南偏东

60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向

练考点

1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosB的值为.

第1题图

2.如图，AD是△ABC的高，AB＝4，∠BAD＝60°，tan∠CAD＝，则BC的

1

长为.2

第2题图

3.在Rt△ABC中，∠C＝90°.

(1)若∠A＝60°，则sinA＝，cosA＝；

(2)若tanA＝1，则∠A＝°.

4.如图，从热气球P看一面墙底部B的俯角是.(用字母表示)

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第4题图

高频考点

考点1锐角三角函数(6年5考)

例1(2024东莞一模)如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA

的值是()

A.B.C.D.2

344

553

例1题图

变式1(2024江西)将图①所示的七巧板，拼成图②所示的四边形ABCD，连接

AC，则tan∠CAB＝.

变式1题图

考点2锐角三角函数及其应用(6年3考)

例2小明家与小华家住在同一栋楼，他俩对所住楼对面商业大厦的高MN进行

了测量.(结果均保留整数)

(1)如图①，小明与小华在楼下点A处测得点A到M的距离为50m，测得商业大

厦顶部N的仰角为58°，试求商业大厦的高MN；

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(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)

例2题图①

(2)现在商场楼下停了一辆车，没办法直接测量出AM的长度，小华想了其他办法

也可以测量.

①如图②，小明与小华在楼顶的B处，测得商业大厦顶部N的仰角为37°，测

得商业大厦底部M的俯角为60°，已知BA⊥AM，MN⊥AM，AB＝56m，试求

商业大厦的高MN；

(参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73)

3

例2题图②

②如图③，小华站在点A处测得塔尖商业大厦顶部N的仰角为45°，向前走了

35m到达点B处测得商业大厦顶部N的仰角为61°，已知小华眼睛到地面的高

度AC(BD)为1.6m，点A，B，M在同一水平线上，MN⊥AB，试求商业大厦的

高MN；

(参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80)

例2题图③

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(3)如图④，大厦楼顶上有一信号塔EF(F，E，H三点共线)，小明和小华想测得

塔尖F到地面的高度，小明在楼顶的B处，测得商业大厦顶部N的仰角为37°，

小华在大厦楼顶G处测得信号塔顶部F的仰角为60°，已知BA⊥AM，MN⊥AM，

EF⊥NE，AB＝56m，AM＝50m，GE＝10m，试求塔尖F到地面的高度.(结果

保留整数)(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73)

3

例2题图④

真题及变式

命题点锐角三角函数及其应用(6年9考)

模型分析

模型模型分析模型模型分析

基础模型基础模型

背AB＝AD＋BDAD＝AC－CD

母

对

子

背模型演变模型演变

AB＝AD＋CE型FG＝AD＋DC，BG＝

型

＋BFBC＋AF

1.(2022广东11题3分)sin30°＝.

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2.(2019广东15题4分·人教九下例题改编)如图，某校教学楼AC与实验楼BD

的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，

底部C点的俯角是453°，则教学楼AC的高度是米(结果保留根号).

第2题图

3.(2023广东18题7分)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满

成功，3名航天员顺利进驻中国空间站.如图中的照片展示了中国空间站上机械臂

的一种工作状态.当两臂AC＝BC＝10m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B

两点间的距离.(结果精确到0.1m，参考数据sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，

tan50°≈1.192)

第3题图

4.(2024广东18题7分)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作

出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩

形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，∠ABQ

＝60°，AB＝5.4m，CE＝1.6m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位

的长宽相同，按图示并列划定.

根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1m，参考数据≈1.73)

(1)求PQ的长；3

(2)该充电站有20个停车位，求PN的长.

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第4题图

拓展训练

5.(2024中山一模)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，

其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各

类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务.如图，小敏一家准备自驾到

风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶10千米至

B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A

地的北偏东15°方向.

(1)求∠C的度数；

(2)求B，C两地的距离.(如果运算结果有根号，请保留根号)

第5题图

新考法

6.[项目式学习](2024兰州)单摆是一种能够产生往复摆动的装置.某兴趣小组利

用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下.

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实验主题探究摆球运动过程中高度的变化

实验用具摆球，摆线，支架，摄像机等

如图①，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松

手，摆球开始往复运动.(摆线的长度变化忽略不计)

实验说明如图②，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，

BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5cm；当摆球运动至点C时，∠COA

＝37°，CE⊥OA.(点O，A，B，C，D，E在同一平面内)

实验图示

第6题图

解决问题：根据以上信息，求ED的长.(结果精确到0.1cm)

参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，

cos64°≈0.44，tan64°≈2.05.

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考点精讲

①②③④⑤⑥⑦

��2313

教材�改编�题练考2点2233

1.

25

2.25＋1

3.(1)3，；(2)45

31

4.∠B2PC2

高频考点

例1C【解析】如解图，连接格点BD，CD.在Rt△ABD中，tanA＝＝.

𝐵4

𝐵3

例1题解图

变式1【解析】根据题意，易知AB＝CD.设AB＝2，则CD＝BD＝2，∵∠ABD

1

＝45°＋245°＝90°，∠BDC＝90°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边

形.如解图，设AC，BD交于点O，∴BO＝BD＝1，∴tan∠CAB＝＝.

1𝐵1

2��2

变式1解图

例2解：(1)∵MN⊥AM，

∴在Rt△AMN中，tan∠MAN＝，∠MAN＝58°，AM＝50，

𝑀

∴MN＝AM·tan58°≈50×1.60＝��80，

答：商业大厦的高MN约为80m；

(2)①如解图①，过点B作BC⊥MN于点C，

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∴四边形ABCM是矩形，

∴BA＝CM＝56，

在Rt△BCM中，tan∠MBC＝＝≈1.73，

��

∴BC＝≈32.4，��3

��

在Rt△BtaCn6N0°中，tan∠NBC＝，

��

∴NC＝BC·tan37°≈32.4×0�.�75＝24.3，

∴MN＝CM＋NC＝56＋24.3＝80.3≈80，

答：商业大厦的高MN约为80m；

例题解图①

②如解图②，连接CD并延长交MN于点E，

由题意可知，四边形ABDC，BMED均为矩形，

AC＝BD＝ME＝1.6，CD＝AB＝35，

设EN＝x，

∵在Rt△CEN中，∠ECN＝45°，

∴EN＝CE＝x，

∴DE＝CE－CD＝x－35，

∵在Rt△DNE中，∠NDE＝61°，

∴∠＝＝≈.，

tanNDE－180

𝑀�

解得x≈78.8，�∴�E�N≈3578.8，

∴MN＝EN＋ME≈78.8＋1.6＝80.4≈80，

答：商业大厦的高MN约为80m；

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例题解图②

(3)如解图③，过点B作BC⊥EH于点C，交MN于点D，FH即为F到地面的高

度.

易得DN＝CE，AB＝DM＝CH＝56，

由题意得BD＝AM＝50，∠NBD＝37°，GE＝10，

在Rt△BDN中，DN＝BD·tan37°≈37.5，

在Rt△EFG中，EF＝GE·tan60°≈17.3，

∴FH＝EF＋CE＋CH＝EF＋DN＋AB≈17.3＋37.5＋56＝110.8≈111，

答：塔尖F到地面的高度约为111m.

例题解图③

真题及变式

1.

1

2.(215＋15)【解析】如解图，设过点B的水平线与AC交于点E，易得四边

形BDCE为矩3形，则BE＝CD＝15，∵∠CBE＝45°，∴CE＝BE＝15，在

Rt△ABE中，AE＝BE·tan30°＝153×＝15，∴AC＝AE＋EC＝(15＋153)

3

米.333

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第2题解图

3.解：如解图，连接AB，过点C作CD⊥AB于点D，

∵AC＝BC，∠ACB＝100°，

∴∠ACD＝∠ACB＝×100°＝50°，(3分)

11

∴AD＝AC·s2in50°≈210×0.766＝7.66(m)，

∴AB＝2AD＝2×7.66≈15.3(m)，

答：A，B两点间的距离约为15.3m.(7分)

第3题解图

4.解：(1)由题意，得∠Q＝90°，∠ABQ＝60°，AB＝5.4m，

∴在Rt△ABQ中，∠BAQ＝30°，BQ＝5.4×cos60°＝2.7m，

AQ＝5.4×sin60°＝m，(1分)

273

∵四边形ABCD为矩形10，CE＝1.6m，

∴∠ABC＝90°，∠CBE＝180°－∠ABC－∠ABQ＝30°，

在Rt△CBE中，BC＝＝m，BE＝＝3.2m，

��83��

∴BC＝AD＝m，tan30°5sin30°

83

同理可得，在5Rt△PAD中，∠PAD＝60°，

∴PA＝AD·cos60°＝×cos60°＝m，(3分)

8343

∴PQ＝PA＋AQ＝＋5＝≈6.15m，

4327373

答：PQ的长约为65.1m；10(4分2)

(2)∵充电站有20个停车位，

∴QM＝QB＋20BE，

由(1)得，QB＝2.7m，BE＝3.2m，

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∴QM＝2.7＋3.2×20＝66.7m，