2025年中考数学总复习15 二次函数综合题

微专题15二次函数综合题

类型一二次函数与线段有关问题

一阶设问突破

方法解读

1.求线段长

(1)与x轴垂直的线段的长：纵坐标相减(上减下)；

(2)与y轴垂直的线段的长：横坐标相减(右减左).

2.线段数量关系问题

若两条线段的长均可计算或表示出来，直接根据线段数量关系列方程即可求解，

若两条线段的长无法直接计算或表示出来，可通过x轴或y轴的平行线构造相似

三角形，将线段进行转化，再根据线段数量关系列方程求解.

3.利用二次函数性质求线段最值

(1)求竖直线段的最值

第一步：设M(t，at2＋bt＋c)，则N(t，mt＋n)；

第二步：表示线段MN的长，MN＝at2＋bt＋c－mt－n；

第三步：化简MN＝at2＋bt＋c－mt－n＝at2＋(b－m)t＋c－n，利用二次函数性质

求最值；

(2)求斜线段的最值

利用锐角三角函数化斜为直得：MP＝MN·sin∠MNP，再根据(1)的步骤解题即可.

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4.利用对称性质求线段和最值及点坐标，即“将军饮马”问题(求PA＋PB的最小

值及点P的坐标)；

(1)求点B关于对称轴l对称的点C的坐标；

(2)连接AC交直线l于点P，此时点P满足要求，从而可求出PA＋PB的最小值；

(3)用待定系数法求直线AC的函数表达式；

(4)将l对应的x的值代入AC的函数表达式可得点P的坐标.

例1如图①，已知二次函数y＝－x2－2x＋3的图象与x轴相交于A，B两点(A

点在B点左侧)，与y轴相交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上的一个动

点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，交直线AC于点Q.设点P的横坐标为m.

例1题图①

一、表示点坐标

(1)点P的坐标为，点D的坐标为，点Q的坐标为；

二、表示线段长

(2)PD的长为，QD的长为，PQ的长为；

(3)点P到对称轴的距离为，CQ的长为；

三、与线段数量关系有关的计算

(4)如图②，若PQ＝DQ，求点P的坐标；

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例1题图②

(5)如图③，若AQ＝2CQ，求点P的坐标；[2020广东25(2)题考查]

例1题图③

四、线段最值

(6)如图④，过点P作x轴的平行线，交直线AC于M点，求MQ的最大值；

例1题图④

(7)如图⑤，点G是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△GBC的周长最小时，

求的值.

𝐺

𝐺

例1题图⑤

二阶综合训练

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1.(2024佛山二模)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于点A(0，

－4)，B(5，6)，直线AB与x轴相交于点C.

(1)求抛物线与直线AB的表达式；

(2)点D是抛物线在直线AB下方部分上的一个动点，过点D作DE∥x轴交AB

于点E，过点D作DF∥y轴交AB于点F，求DF－DE的最大值.

第1题图

类型二二次函数与面积有关问题

一阶设问突破

方法解读

求几何图形面积

方法一：直接公式法

一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)，S△ABC＝AB·h.

1

2

方法二：分割法

三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴).

S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝BD·(AE＋CF)＝BD·(yC－yA).

11

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方法三：补全法

三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴).

S△ABC＝S△ACD－S△ABD－S△BCC.

注：对于四边形面积计算，可连接一条对角线将四边形转化为两个三角形面积之

和求解.

例2如图，抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，

与y轴交于点C，点D是第一象限抛物线上的动点，设点D的横坐标为t.

一、求三角形、四边形面积

(1)如图①，当点D位于抛物线的顶点处时，连接OD，CD，求△OCD的面积；

例2题图①

(2)如图②，若t＝2，连接AC，CD，BD，求四边形ABDC的面积；

例2题图②

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二、面积定值及最值

(3)如图③，连接AD，BD，若△ABD的面积为15，求点D的坐标；

例2题图③

方法解读

利用二次函数性质求面积最值：用同一未知数表示出动点的坐标，进而表示出所

求图形的面积，利用二次函数性质求解最值.

(4)核心设问如图④，连接BD，过点C作CP∥BD交x轴于点P，连接PD，求

△BPD面积的最大值及此时点D的坐标；[2022广东23(2)题考查]

例2题图④

三、面积等值、倍分关系

(5)如图⑤，连接BD，CD，OD，若S△BOD＝S△COD，求点D的坐标.

例2题图⑤

二阶综合训练

1.(2024福建)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，

与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2).

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(1)求二次函数的表达式；

(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，

△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标.

第1题图

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类型一二次函数与线段有关问题

一阶设问突破

例1解：(1)(m，－m2－2m＋3)，(m，0)，(m，m＋3)；【解法提示】令y＝0，

2

得－x－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴点A(－3，0)，点B(1，0)；令x＝0，

得y＝3，∴点C(0，3)；设直线AC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将点A(－3，0)，

－＋

点C(0，3)代入y＝kx＋b中，得，解得，∴直线AC的表达

3��=0�=1

式为＝＋∵点的横坐标为，∴点纵坐标为－2－＋，∵⊥轴，

yx3.Pm�=3P�m=32m3PQx

∴点Q横坐标为m，则纵坐标为m＋3，∵PD⊥x轴，∴点D横坐标为m，纵坐

标为0.

(2)－m2－2m＋3，m＋3，－m2－3m；

(3)｜m＋1｜，－m；

(4)由(2)可知QD的2长为m＋3，PQ的长为－m2－3m，

∵PQ＝DQ，

∴－m2－3m＝m＋3，

解得m＝－1或m＝－3，

∵点P不与点A重合，

∴m的值为－1，

∴P(－1，4)；

(5)∵PD∥y轴，

∴＝，

𝐴𝐴

∵A𝐺Q＝�2�CQ，

∴＝，

𝐴2

∴𝐺＝3，

𝐴2

∵A𝐴(－3，0)，

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∴AO＝3，

∴AD＝2，OD＝1，

∴m＝－1，此时－m2－2m＋3＝4，

∴P(－1，4)，

(6)∵OA＝OC＝3，PM∥x轴，

∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，

∵PD⊥x轴，

∴∠ADQ＝∠QPM＝90°，

∴△PMQ为等腰直角三角形，

∴MQ＝PQ，

∵PQ＝－2m2－3m＝－(m＋)2＋，－1＜0，－3＜m＜0，

39

∴PQ的最大值为.24

9

∴MQ的最大值为4.

92

－

∵＝－2－＋4，∴抛物线对称轴为直线＝－＝－

(7)yx2x3x－1.

2

如解图，连接AC，交抛物线对称轴l于点G，由抛物2线的对称性得GA＝GB，

∴GB＋GC＝AG＋GC≥AC，即当A，G，C三点共线时，GB＋GC取得最小值，

此时△GBC周长最小.

由(1)得直线AC的表达式为y＝x＋3，

当x＝－1时，y＝2，

∴G(－1，2).

∵B(1，0)，C(0，3)，

＋

∴＝22＝.

𝐺1＋11

𝐺222

22

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例1题解图

二阶综合训练

1.解：(1)由题意，将点A(0，－4)，B(5，6)代入y＝x2＋bx＋c中，

＝－＝－

得，解得，

＋＝－

�4�3

∴抛2物5+线5的�表�达=式6为y＝x2－�3x－44.

将点A(0，－4)，B(5，6)代入y＝kx＋m中，

＝－

得，解得＝－，

＋＝

�4�4

∴直5线�A�B的6表达式为�y=＝22x－4；

(2)由题意，设D(a，a2－3a－4)(0＜a＜5)，

令2x－4＝a2－3a－4，得x＝(a2－3a)，

1

∴E(a2－a，a2－3a－4).2

13

令x＝2a，2则y＝2a－4，

∴F(a，2a－4).

∴DF－DE＝2a－4－(a2－3a－4)－[a－(a2－a)]

13

＝－a2＋a22

15

＝－2(a－2)2＋.

1525

∵－2＜0，20＜a8＜5，

1

∴当2a＝时，DF－DE取得最大值，最大值为.

525

类型二2二次函数与面积有关问题8

一阶设问突破

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例2解：(1)令x＝0，得y＝4，

∴C(0，4)，

∴OC＝4，

∵y＝－x2＋3x＋4＝－(x－)2＋，

325

∴D(，)，24

325

24

∴S△OCD＝OC·｜xD｜＝×4×＝3；

113

(2)如解图①2，连接BC，2过点2D作DE⊥x轴交BC于点E，

令－x2＋3x＋4＝0，解得x＝－1或x＝4，

∴A(－1，0)，B(4，0)，

由(1)可知，C(0，4)，

∴AB＝5，OB＝OC＝4，

设BC所在直线的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，

将B(4，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b中，

得＋，解得＝－，

4��=0�1

∴所在直线的表达式为＝－＋，

B�C=4�=4yx4

∴当t＝2时，－t2＋3t＋4＝6，－t＋4＝2，

∴D(2，6)，E(2，2)，

∴DE＝4，

∴S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝×5×4＋×4×4＝18；

11

22

例2题解图①

(3)由(2)可知，AB＝5，

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2

∴S△ABD＝AB·yD＝×5×(－t＋3t＋4)＝15，

11

解得t＝12或t＝2.2

当t＝1时，－t2＋3t＋4＝－12＋3×1＋4＝6；

当t＝2时，－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，

综上所述，点D的坐标为(1，6)或(2，6)；

(4)如解图②，连接BC，CD，过点D作DQ⊥x轴交BC于点Q，

∵CP∥BD，

∴S△BPD＝S△BCD＝S△BDQ＋S△CDQ＝DQ·OB，

1

由(2)可知，BC所在直线的解析式2为y＝－x＋4，

∴Q(t，－t＋4)，

∴DQ＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t，

22

∴S△BPD＝(－t＋4t)×4＝－2(t－2)＋8，

1

∵－2＜0，20＜t＜4，

∴当t＝2时，S△BPD有最大值，最大值为8，

此时－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，

∴点D的坐标为(2，6)；

例2题解图②

(5)由(2)可知，OB＝OC＝4，