2025年中考数学总复习08 一次不等式(组)及不等式的应用

微专题08一次不等式(组)及不等式的应用

考点精讲

构建知识体系

考点梳理

1.不等式的基本性质

(1)定义：用不等号(如：“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”)连接而成的数学式子叫做不等式

(2)基本性质1：若a＞b，b＞c，则①

(3)基本性质2：若a＞b，则a±c＞b±c；若a＜b，则a±c②b±c

(4)基本性质3：若a＜b，c＞0，则ac③bc，④；若a＜b，c＜0，则

��

ac⑤bc，⑥��

��

2.一元一次不等式�的解法及解集�表示

(1)解法步骤

去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1

(2)解集的表示

解集在数轴上的表示总结

x＜a

x＞a在数轴上表示解集时，要注意：“＞”或“＜”是空心圆

x≤a圈，“≥”或“≤”是实心圆点；小于向左，大于向右

x≥a

3.一元一次不等式组的解法及解集表示(6年6考)

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类型(a＞b)在数轴上的表示口诀解集

同大取大

＞x≥a

�≥�

＜

��同小取小x≤b

��

�≤�大小、小大取中间b≤x≤a

�≤�

＞

�≥�大大、小小取不了无解

＜

��

4.一元一�次�不等式的实际应用(6年3考)

(1)列不等式解应用题的基本步骤：审题→设未知数→列不等式→解不等式→检验

→作答

(2)解决不等式的实际应用问题时，常见的关键词与不等号的对应表：

常见关键词不等号

大于，多于，超过，高于＞

小于，少于，不足，低于＜

至少，不低于，不小于，不少于⑦

至多，不高于，不大于，不超过⑧

练考点

1.若x＞y，则下列结论中不一定成立的是()

A.x－1＞y－1

B.x＋2＞y＋2

C.x2＞y2

D.－＜－

��

33－

2.解不等式＜x－2.

�1

3

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－

3.解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来.

－－

�1<2

3�1≤2

第3题图

4.品茗茶园要划分一片长方形土地种植龙井茶，若要给这块地围一圈栅栏，且栅

栏的总长度不超过10km，已知此长方形土地宽比长少1km，设宽为xkm，则可

列不等式为.

5.小真用100元钱去购买笔记本和钢笔共20件.已知每本笔记本3元，每支钢笔

8元.则小真最多能买支钢笔.

高频考点

考点1不等式的基本性质

例1(2024广州)若a＜b，则()

A.a＋3＞b＋3B.a－2＞b－2C.－a＜－bD.2a＜2b

变式1(2024佛山模拟)若x＜y，且(a－3)x≥(a－3)y，则a的取值范围是()

A.a＞3B.a＜3C.a≥3D.a≤3

考点2一元一次不等式(组)的解法及解集表示(6年6考)

例2(2024河南)下列不等式中，与－x＞1组成的不等式组无解的是()

A.x＞2B.x＜0C.x＜－2D.x＞－3

－

变式2(2024浙江)不等式组的解集在数轴上表示为()

－＞－

2�1≥1

3(2�)6

考点3一元一次不等式的实际应用(6年5考)

例3某商店销售笔记本和笔袋两种文具.

(1)若商店计划购进两种文具共10个，若要求购买的笔记本的数量至．少．是笔袋的

4倍，则购买笔记本的数量至．少．为多少本？

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(2)张老师准备用200元购买笔记本、笔袋共30个，并将这些文具奖给期末进步

的学生.已知笔记本每本5元，笔袋每个8元，则张老师最．多．能购买多少个笔袋？

(3)笔记本的进价为2元，出售时标价为5元，后来由于该文具积压，商店准备打

折出售，但要保证利润率不．低．于．5％，则至．多．可打几折？

真题及变式

命题点1一元一次不等式(组)的解法及解集表示(6年6考)

－

1.(2023广东8题3分)一元一次不等式组的解集为()

�2>1

－＜＜＜＜＜＜

A.1x4B.x4C.x3�<D4.3x4

－－

2.(2020广东8题3分)不等式组的解集为()

－－

23�≥1

A.无解B.x≤1C.x≥�－11≥D2.(�－+1≤2x)≤1

3.(2024广东12题3分)关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则

这个不等式组的解集是.

第3题图

－－

4.(2021广东18题6分)解不等式组－.

2�＞4>3(�2)

�7

4�2

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命题点2一元一次不等式的实际应用(6年3考)

5.(2023广东14题3分·北师八下随堂练习改编)某商品进价4元，标价5元出售，

商家准备打折销售，但其利润率不能少于10％，则最多可打折.

5.1变设问——将最多可打折变为最多可降价

某商品的进价为4元，标价6元出售.商店准备降价销售，但其利润率不能少于

20％，则最多可降价元.

6.(2019广东21题7分)某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共

60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元.

(1)若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？

(2)若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？

新考法

7.[真实问题情境](2024江西)如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数

学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm.

(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少

本？

(2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？

第7题图

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8.[注重过程性](人教七下阅读与思考改编)阅读感悟：

代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某

个数学命题的正确性，如下例题：

例：已知实数x、y满足x＞y＞0，证明：x2＞y2.

证明：∵x＞y且x，y均为正数，

∴x2＞，xy＞，(不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方

向不变)

∴x2＞y2.(不等式的传递性)

解决问题：

(1)请将上面的证明过程填写完整；

＋

(2)尝试证明：若a＜b，则＜b.

��

2

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考点精讲

①a＞c②＜③＜④＜⑤＞⑥＞⑦≥⑧≤

教材改编题练考点

1.C

2.解：去分母，得x－1＜3(x－2)，

去括号，得x－1＜3x－6，

移项，合并同类项，得－2x＜－5，

系数化为1，得x＞.

5

3.解：解不等式x－21＜2，得x＜3，

解不等式－3x－1≤2，得x≥－1，

∴该不等式组的解集为－1≤x＜3，

将解集在数轴上表示如解图.

第3题解图

4.2x＋2(x＋1)≤10【解析】∵此长方形土地宽比长少1km，∴长为(x＋1)km，

又∵栅栏的长度不超过10km，∴可列不等式为2x＋2(x＋1)≤10.

5.8【解析】设小真购买x支钢笔，则购买(20－x)本笔记本，根据题意，得8x

＋3(20－x)≤100，解得x≤8，∴x的最大值为8，即小真最多能买8支钢笔.

高频考点

例1D【解析】由题知，a＜b，两边同时加上3，得a＋3＜b＋3，则A不符

合题意；两边同时减去2，得a－2＜b－2，则B选项不符合题意；两边同时乘－

1，得－a＞－b，则C选项不符合题意；两边同时乘2，得2a＜2b，则D选项符

合题意.

变式1D【解析】∵若x＜y，且(a－3)x≥(a－3)y，∴a－3≤0，∴a≤3.

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例2A【解析】∵－x＞1，∴x＜－1，∴选项中的与x＜－1组成的不等式组

无解的是x＞2.

变式2A【解析】解不等式2x－1≥1，得x≥1，解不等式3(2－x)＞－6，得x

＜4，∴不等式组的解集为1≤x＜4，解集在数轴上表示如选项A所示.

例3解：(1)设购买笔记本的数量为x本，则购买笔袋的数量为(10－x)个，

根据题意可得x≥4(10－x)，解得x≥8，

∴购买笔记本的数量至少为8本；

(2)设购买笔袋的数量为x个，则购买笔记本的数量为(30－x)本，

根据题意可得8x＋5(30－x)≤200，解得x≤，

50

∵x为正整数，3

∴张老师最多能购买笔袋16个；

(3)设打x折出售，

根据题意可得5×－2≥2×5％，解得x≥4.2，

�

∴至多可打4.2折10.

真题及变式

－

1.D【解析】令，解不等式①得x＞3，∴该不等式组的解集为3

�2>1①

＜x＜4.�<4②

2.D【解析】解不等式2－3x≥－1得x≤1，解不等式x－1≥－2(x＋2)得x≥－1，

∴不等式组的解集是－1≤x≤1.

3.x≥3

－－

4.解：令－，

2�＞4>3(�2)①

�7

解不等式①4，�得x2＜2②，(2分)

解不等式②，得x＞－1，(4分)

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∴原不等式组的解集为－1＜x＜2.(6分)

5.8.8【解析】设这种商品打x折销售，根据题意可列不等式5×0.1x－4≥4×10％，

解得x≥8.8，∴该商品最多可以打8.8折.

－－

变式5.11.2【解析】设该商品可降价x元，根据题意，得×100％≥20％，

6�4

解得x≤1.2，∴最多可降价1.2元.4

6.解：(1)设买了x个篮球，y个足球，(1分)

＋

由题意得，(2分)

＝

��=60

解得70.�(3+分80)�4600

�