2025年中考数学总复习05 微专题 一次方程(组)及其应用

微专题05一次方程(组)及其应用

考点精讲

构建知识体系

考点梳理

1.等式的基本性质

(1)性质1：同加减：等式两边加(或减去)同一个数(或式子)，结果仍相等，即如果

a＝b，那么a±c＝①解方程中的移项

(2)性质2：同乘除：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相

等，即如果a＝b，那么②＝bc解方程中的去分母；如果a＝b(c≠0)，

那么③＝解方程中的系数化为1

�

2.一元一次方程及�其解法

(1)一元一次方程：两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，

这样的方程叫做一元一次方程

(2)解题步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1

3.二元一次方程组及其解法(6年2考)

(1)基本思想：二元一次方程组一元一次方程

(2)解法：①代入消元法：当方程组中某个方程中的未知数的系数是1或－1时，

选用此方法较简单；

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②加减消元法：当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用此方

法较简单

4.*三元一次组方程及其解法

通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化

为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程，这与解二元一次方程组的

思路相同

5.一次方程(组)的实际应用(6年2考)

(1)利润问题：售价＝标价×折扣；销售额＝④×销量；利润＝⑤－成

本；利润率＝利润％

成本×100

(2)行程问题：①基本量间的关系：⑥＝速度×时间；

②相遇问题：总路程＝甲走的路程⑦乙走的路程；

③追及问题：同地不同时出发：前者走的路程⑧追者走的路程；

同时不同地出发：前者走的路程＋两地间的距离⑨追者走的路程

(3)列方程(组)解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答

练考点

1.下列判断正确的是()

A.若a＝b，则a－2＝b＋2

B.若＝，则2a＝3b

��

C.若2a＝3b，则＝

��

D.若ac＝bc，则2a2＝b

2.解方程：2(x－1)－3＝x.

＋

3.解方程组.

－

��=4

4.若共有x名2学�生�，=分5成y个学习小组.若每组10人，则还差5人；若每组9人，

还余下3人.若求冬令营学生的人数，所列的方程组为.

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高频考点

考点1解一次方程(组)(6年2考)

例1(人教七上例题改编)解方程：－＝1.

2�+1�

【答题模板】23

解：去分母，得，

去括号，得，

移项，得，

合并同类项，得，

系数化为1，得.

＋

例2(北师七上习题改编)用下列方法解方程组.

－

5��=3

方法一(代入消元法)：方法二3�(加减2�消=元7法)：

变式1(人教七上习题改编)关于x的一元一次方程3x＋m＝7的解为x＝2，则m

的值为()

A.1B.－1C.6D.－6

＋＝，

变式2(2023朝阳改编)已知关于x，y的方程组的解满足x－y

－

5���

＝3，则a的值为.3�2�=2�+1

考点2一次方程(组)的实际应用(6年2考)

例3端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华

民族的传统习俗.某超市在端午节前计划购进A，B两种品牌粽子进行销售.

(1)该超市采购员发现，2盒A品牌粽子和1盒B品牌粽子共需97元，1盒A品

牌粽子和2盒B品牌粽子共需86元，求A，B两种品牌粽子每盒进价各为多少

元？

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(2)该超市购进A，B两种品牌粽子若干盒进行销售，若A品牌粽子的售价比B

品牌粽子的售价贵15元，且7盒A品牌粽子和10盒B品牌粽子售价相同，求A，

B两种品牌粽子每盒售价各为多少元？

(3)该超市按照(1)中的进价购进A，B两种品牌粽子共200盒，再按照(2)中的售

价全部售出，共获利2500元，求购进A，B两种品牌粽子各多少盒？

(4)端午节当天超市开展促销活动，A，B两种品牌粽子按(2)中的售价打相同的折

扣销售，节日当天购买20盒A品牌粽子和20盒B品牌粽子一共只需1360元，

求A，B两种品牌粽子是按原价的几折销售？

真题及变式

命题点1一次方程(组)及其解法(6年2考)

＝－

1.(2021广东11题4分)二元一次方程组的解为.

＋

�+2�2

2��=2

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＝－

2.[2020广东21(1)题4分]已知关于x，y的方程组与

＋

��+23�103

－��=4

的解相同，求a，b的值.

＋

��=2

命�题点��2=1一5次方程(组)的实际应用(6年2考)

3.(2022广东19题9分)《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱

购买1本.若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元.问学生人数

和该书单价各是多少？

拓展训练

4.(2024陕西)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次

大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h.当天，小峰

先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫

任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间.

新考法

第5题图

5.“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”.观察

图①，我们可以归纳出“九宫图”中各数字之间的关系，即九宫图中每行、每列及

对角线上的3个数之和都相等.同图①的规律，那么在图②中，mn＝.

6.如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成.

(1)求一块长方形墙砖的长和宽；

(2)求电视背景墙的面积.

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第6题图

请完成分层作业本第8～9页

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考点精讲

①b±c②ac③④单价⑤销售收入

�

⑥路程⑦＋⑧�＝⑨＝

练考点

1.C

2.解：2x－2－3＝x，

2x－x＝2＋3，

x＝5.

3.方法一：代入消元法

＋①

解：令，

－②

��=4

由①得x2＝�4－�y=③5，

将③代入②中，得2(4－y)－y＝5，

化简得8－3y＝5，

解得y＝1，

将y＝1代入③中，得x＝3，

∴方程组的解为.

�=3

一题多解法�=1

方法二：加减消元法

＋①

解：令，

－②

��=4

①＋②得2�3x＋�y=－5y＝9，

解得x＝3，

将x＝3代入①中，解得y＝1，

∴方程组的解为.

�=3第7页共11页

�=1

＝

4.

＝－

10��+5

高频9考�点�3

例1解：3(2x＋1)－2x＝6，6x＋3－2x＝6，6x－2x＝6－3，4x＝3，x＝.

3

例2解：方法一：4

＋①

令，

－②

5��=3

由①3得�，2y�＝=3－75x③，

将③代入②中，得3x－2(3－5x)＝7，

解得x＝1，

将x＝1代入③中，得y＝－2，

∴原方程组的解为；

＝－

�=1

方法二：�2

＋①

令，

－②

5��=3

①×32�，得2�1=0x7＋2y＝6③，

②＋③，得3x＋10x＝7＋6，

解得x＝1，

将x＝1代入①中，得5×1＋y＝3，

解得y＝－2，

∴原方程组的解为.

＝－

�=1

变式1A【解析�】∵x＝22是关于x的一元一次方程3x＋m＝7的解，∴3×2

＋m＝7，解得m＝1.

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＋＝①

变式23【解析】∵x－y＝3，∴y＝x－3.令，将y＝x－

－②

5���

－③3�2�=2�+1

3分别代入①，②中，得，6×④－③，得12a－a＝30＋3，解得a

④

6�3=�

＝3.�+5=2�

例3解：(1)设A品牌粽子的进价为x元/盒，B品牌粽子的进价为y元/盒，

＋

根据题意可得，

2��=97

解得，�+2�=86

�=36

答：A�品=牌25粽子的进价为36元/盒，B品牌粽子的进价为25元/盒；

(2)设A品牌粽子的售价为a元/盒，B品牌粽子的售价为b元/盒，

根据题意可得，

�=15+�

解得，7�=10�

�=50

答：品牌粽子的售价为元盒，品牌粽子的售价为元盒；

A�=3550/B35/

(3)设购进A品牌粽子m盒，则购进B品牌粽子(200－m)盒，

根据题意可得(50－36)m＋(35－25)(200－m)＝2500，

解得m＝125，

∴200－125＝75，

答：购进A品牌粽子125盒，购进B品牌粽子75盒；

(4)设A，B两种品牌粽子按原价的n％销售，

根据题意可得20×(50＋35)×n％＝1360，

解得n＝80，

答：A，B两种品牌粽子是按原价的八折销售.

真题及变式

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＝－①

1.【解析】令，①×2得2x＋4y＝－4③，③－②得

＝－＋②

�=2�+2�2

3y＝�－6，2解得y＝－2，将2y�＝－�2=代2入①中，得x＋2×(－2)＝－2，解得x＝2，

∴方程组的解为.

＝－

�=2

�＋2

2.解：由题意得，

－

��=4

解得.��=2

�=3

把�=代1入ax＋2y＝－10，

�=3

33

得3�a=＋12＝－10，

解得a＝－34，(2分3)

把代入3x＋by＝15，得3＋b＝15，

�=3

解得�=b＝112.(4分)

3.解：设学生人数有x人，该书单价为y元，

－

由题意可得，(4分)

8�3=