2025年中考数学一轮专题复习强化练习专项训练09　利用“将军饮马”解决线段最值问题 （含答案）

专项训练九利用“将军饮马”解决线段最值问题

1.在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区,现要求在MN上选取一点P,向两个小区

铺设电缆.下面四种铺设方案中,使用电缆材料最少的是()

A.B.C.D.

2.如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=α(∠BAE为钝角),∠B=∠E=90°,在BC,DE上分别找一点M,N,

当△AMN周长最小时,∠MAN的度数为()

A.αB.α-90°C.2α-180°D.α-45°

1

3.如2图,等边三角形ABC的边长为2,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A'BC'关于直线l对称,D

为线段BC'上一动点,则AD+CD的最小值是()

A.4B.3C.2D.2+

4.(2023·宜宾)如图,M是正方2形ABCD边CD的中3点,P是正方形内一点,连3接BP,线段BP以点B

为中心逆时针旋转90°得到线段BQ,连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为.

5.如图,E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点,P是对角线AC上的动点,当PE+PF取得最小值

时,的值是.

𝐴

��

6.(2023·达州)在△ABC中,AB=4,∠C=60°,在边BC上有一点P,且BP=AC,连接AP,则AP的最

1

小值为.32

7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以点C为顶点的正方形CDEF(C,D,E,F四个顶点按

逆时针方向排列)可以绕点C自由转动,且CD=,连接AF,BD.

(1)求证:△FCA≌△DCB.2

(2)在正方形CDEF旋转过程中,求BD+AD的最小值.

2

2

1.如图,网格纸上每个小正方形的边长为1,点A,点C均在格点上,点P为x轴上任意一点,则△PAC

周长的最小值为.

2.(2023·自贡)如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起,M,N分别是斜边DE,AB的中

点,DE=2,AB=4.

(1)将△CDE绕顶点C旋转一周,请直接写出点M,N距离的最大值和最小值.

(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2),求MN的长.

图1图2

3.(2023·宜宾)如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰直角三角形ABC的直角顶点C(3,0),顶点

A,B(6,m)恰好落在反比例函数y=第一象限的图象上.

�

(1)分别求反比例函数的解析式和�直线AB所对应的一次函数的解析式.

(2)在x轴上是否存在一点P,使△ABP周长的值最小?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.

【详解答案】

基础夯实

1.A

2.C解析:如图,作点A关于BC对称的点A',作点A关于DE对称的点A'',则A''E=AE,A'B=AB,连接A'A'',分别交

线段BC和线段DE于点M和点N,连接AM,AN,这时候△AMN的周长取最小值.

∵∠B=∠E=90°,

∴A'M=AM,AN=A''N,

∴∠AA'M=∠A'AM,∠AA''N=∠A''AN,

∴∠AMN=2∠A'AM,∠ANM=2∠A''AN,

∵∠MAN+∠MAB+∠NAE=α,∠MAN+∠AMN+∠ANM=180°,

∴∠MAN+2∠BAM+2∠EAN=180°,

∴∠BAM+∠EAN=180°-α,

∴∠MAN=α-(180°-α)=2α-180°.

故选C.

3.A解析:连接CC',如图所示.

∵△ABC、△A'BC'均为等边三角形,

∴∠ABC=∠A'=60°,A'B=BC=A'C',∴A'C'∥BC,

∴四边形A'BCC'为菱形,

∴点C关于BC'对称的点是A',

∴当点D与点B重合时,AD+CD取最小值,最小值为AA'的长.

∵AA'=AB+A'B=2+2=4,

∴AD+CD的最小值为4.故选A.

4.2-1解析:如图,连接BM,将BM以点B为中心逆时针旋转90°,点M的对应点为点E.∵点P的运动轨迹

是以1点0M为圆心,1为半径的半圆,∴点Q的运动轨迹是以点E为圆心,1为半径的半圆.当M,Q,E三点共线时,MQ

的值最小.∵四边形ABCD是正方形,∴CD=AB=BC=4,∠C=90°.∵M是CD的中点,∴CM=2.∴

BM==2.由旋转,得BM=BE,∠MBE=90°.∴ME=BM=2.∴MQ=ME-EQ=2-1.

2222

∴MQ�的�最+小�值�为=22-+1.4521010

10

5.解析:如图,作点F关于AC的对称点F',连接EF'交AC于点P',过点F'作AD的垂线段,交AC于点K.由题

2

7

意,得此时点F'落在AD上,且根据对称的性质,当点P与点P'重合时,PE+PF取得最小值.设正方形ABCD的边

长为a,则AF'=AF=a.∵四边形ABCD是正方形,∴∠F'AK=45°,∠P'AE=45°,AC=a.∵F'K⊥AF',∴∠F'AK=∠

2

3

2''

F'KA=45°.∴∠F'KP'=∠EAP'=45°.∴AK=a.∵∠F'P'K=∠EP'A,∴△F'KP'∽△EAP'.∴=2.∴

'

22��𝐴

'3��=𝐴

AP'=AK=a.∴CP'=AC-AP'=a.∴.∴当PE+PF取得最小值时,的值是.

'

127𝐴2𝐴2

39292��=7��7

6.2-2解析:如图,作△ABC的外接圆,圆心为点M,连接AM,BM,CM,过点M作MD⊥AB于点D,过点B作

BN⊥1A3B,交BP的垂直平分线于点N,连接AN,BN,PN,以点N为圆心,BN(PN)的长为半径作圆.∵∠ACB=60°,点M

°-

为△ABC的外接圆的圆心,∴∠AMB=2∠ACB=120°,AM=BM.∴∠MAB=∠MBA==30°.∴MD=AM.∵

180∠���1

22

MD⊥AB,∴AD=AB=2.在Rt△ADM中,∵AM2=MD2+AD2,∴AM2=AM2+(2)2.

11

∴AM=4,即AM=2BM=CM3=4.由作图可知BN⊥AB,点N在BP的垂直平2分线上,∴∠3PBN=∠BPN=90°-∠ABC.∴

∠PNB=180°-(∠PBN+∠BPN)=2∠ABC.又∵点M为△ABC的外接圆的圆心,∴∠AMC=2∠ABC.∴∠AMC=∠

PNB.∵,∴△AMC∽△PNB.∴.∵BP=AC,∴=2,即BN=CM=2.∴PN=BN=2.在Rt△ABN

������𝑃1��𝑃1

��=𝑃𝑃=��2𝑃=��2

中,AN=()=2.由AP≥AN-PN=2-2,得AP的最小值为2-2.

2222

��+𝑃=43+2131313

7.解:(1)证明:∵四边形CDEF是正方形,

∴CF=CD,∠FCD=∠ACB=90°,

∴∠ACF=∠BCD,

∵AC=BC,∴△FCA≌△DCB(SAS).

(2)如图,取AC的中点M,连接DM,BM.

∵CD=,CA=2,CM=1,

∴CD2=C2M·CA,

∴,

����

����

∵∠D=CM=∠ACD,

∴△DCM∽△ACD,

∴,

����2

𝐶=𝑃=2

∴DM=AD,

2

2

∴BD+AD=BD+DM≥BM,

2

2

∴BD+AD的最小值为BM的长,

2

∵BM=2,

2222

∴BD+�A�D的+最��小值=为2+.1=5

2

25能力提升

1.2+2解析:如图,点P即为所求.

210

∵A(2,4),C(4,2),C'(4,-2),

∴AC==2,AC'==2,

2222

∴△PAC2的+周2长的最2小值=A2C++A6P+PC=1A0C+AP+PC'=AC+AC'=2+2.

2.解:(1)点M,N距离的最大值为3,最小值为1.210

(2)如图,连接MC,过点N作NP⊥MC,交MC的延长线于点P.

∵△CDE绕顶点C逆时针旋转120°,

∴∠BCE=120°.

∵∠BCN=∠ECM=45°,

∴∠MCN=(∠BCE+∠ECM)-

∠BCN=∠BCE=120°.

∴∠NCP=180°-∠MCN=60°.

∴∠CNP=90°-∠NCP=30°.

∴CP=CN=1.

1

2

在Rt△CNP中,NP=-=.

22

在Rt△MNP中,MP=M�C�+C�P�=1+1=32,

∴MN=.

22

3.解:(1)如�图�1+,过�点�A=作3AE+⊥4x=轴于7点E,过点B作BD⊥x轴于点D,则∠AEC=∠CDB=90°.

图1

∵点C(3,0),B(6,m),

∴OC=3,OD=6,BD=m.

∴CD=OD-OC=3.

∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠ACB=90°,AC=BC.

∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°,∴∠ACE=∠CBD.

∴△ACE≌△CBD(AAS).

∴AE=CD=3,CE=BD=m.

∴OE=OC-EC=3-m.

∴点A的坐标是(3-m,3).

∵点A,B(6,m)恰好落在反比例函数y=第一象限的图象上,

�

�

∴3(3-m)=6m.解得m=1.

∴点A的坐标是(2,3),点B的坐标是(6,1).∴k=6m=6.

∴反比例函数的解析式是y=.

6

�

设直线AB所对应的一次函数的解析式为y=px+q.

把点A(2,3),B(6,1)代入,

,

得解得-,

.1.

2�+�=3�=2

∴直6�线+A�B=所1对应的一�=次4函数的解析式为y=-x+4.

1