2025年中考数学一轮专题复习强化练习专项训练02 二次函数的最值问题 （含答案）

专项训练二二次函数的最值问题

1.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+m2-m(m为常数)的图象经过点(0,6),其对称轴在y轴左

侧,则该二次函数有()

A.最大值5B.最大值

15

4

C.最小值5D.最小值

15

2.已知关于x的二次函数y=ax2-6ax+9a+5(a<0),在m≤x4≤6的取值范围内,若0<m<3,则()

A.函数有最大值9a+5

B.函数有最大值5

C.函数没有最小值

D.函数没有最大值

3.(2023·杭州)设二次函数y=a(x-m)(x-m-k)(a>0,m,k是实数),则()

A.当k=2时,函数y的最小值为-a

B.当k=2时,函数y的最小值为-2a

C.当k=4时,函数y的最小值为-a

D.当k=4时,函数y的最小值为-2a

4.在平面直角坐标系中,如果点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为“和谐点”.例如点(1,1),

-,-,(-,-),…,都是“和谐点”.若二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个“和谐

11

33

点”,,当20≤x2≤m时,函数y=ax2+4x+c-(a≠0)的最小值为-3,最大值为1,则m的取值范围是

333

(2)24

A.m≤4B.m≥2

C.2≤m≤4D.2<m<4

5.对于题目“当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,求实数m的值.”甲的结果是2或,

乙的结果是-或-,则()3

7

A.甲的结果正确34

B.乙的结果正确

C.甲、乙的结果合在一起才正确

D.甲、乙的结果合在一起也不正确

6.(2023·绍兴)已知二次函数y=-x2+bx+c.

(1)当b=4,c=3时,

①求该函数图象的顶点坐标;

②当-1≤x≤3时,求y的取值范围.

(2)当x≤0时,y的最大值为2;当x>0时,y的最大值为3,求二次函数的解析式.

1.(2024·广西)课堂上,数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a-3的最值问题展开

探究.

【经典回顾】二次函数求最值的方法.

(1)老师给出a=-4,求二次函数y=x2+2ax+a-3的最小值.

①请你写出对应的函数解析式;

②求当x取何值时,函数y有最小值,并写出此时的y值.

【举一反三】老师给出更多a的值,同学们即求出对应的函数在x取何值时,y的最小值.记录结果,

并整理成如表:

a…-4-2024…

x…*20-2-4…

y的最小值…*-9-3-5-15…

注:*为②的计算结果.

【探究发现】老师:“请同学们结合学过的函数知识,观察表格,谈谈你的发现.”

甲同学:“我发现,老师给了a值后,我们只要取x=-a,就能得到y的最小值.”

乙同学:“我发现,y的最小值随a值的变化而变化,当a由小变大时,y的最小值先增大后减小,所以

我猜想y的最小值中存在最大值”.

(2)请结合函数解析式y=x2+2ax+a-3,解释甲同学的说法是否合理?

(3)你认为乙同学的猜想是否正确?若正确,请求出此最大值;若不正确,说明理由.

2.(2024·廊坊广阳区一模)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-5,0)两点,与y轴交于点

C.P是抛物线上的任意一点(不与点C重合),点P的横坐标为m,抛物线上点C与点P之间的部分

(包含端点)记为图象G.

备用图

(1)求抛物线的解析式.

(2)当m符合什么条件时,图象G的最大值与最小值的差为4?

(3)将线段AB先向左平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到线段A'B'.若抛物线y=-x2+

bx+c平移后与线段A'B'有两个交点,且这两个交点恰好将线段A'B'三等分,求抛物线平移的最短路

程.

【详解答案】

基础夯实

222

1.D解析:将点(0,6)代入y=x+mx+m-m,得m-m=6,解得m1=3,m2=-2.∵对称轴在y轴左侧,∴-<0,∴m>0,∴

�

2�

2-

∴∵∴该二次函数图象开口向上有最小值∴最小值故选

m=3,y=x+3x+6.1>0,,,y=2.D.

4×1×6315

-4×1=4

2.B解析:抛物线的对称轴为直线x=-=3,

6�

2�

在m≤x≤6的取值范围内,若0<m<3,则x=m和x=6在对称轴的两侧,

则抛物线在顶点处取得最大值,即x=3时,y=9a-6a×3+9a+5=5.故选B.

3.A解析:令y=0,则0=a(x-m)·(x-m-k),解得x1=m,x2=m+k.∴抛物线的对称轴为直线x=.当k=2时,

�+�+�2�+�

22

抛物线的对称轴为直线x=m+1.把x=m+1代入y=a(x-m)(x-m-2),得y=-a.∵a>0,∴当x=m+1,k==2时,y有最小值,

最小值为-a.故A正确,B错误.当k=4时,抛物线的对称轴为直线x=m+2.把x=m+2代入y=a(x-m)(x-m-4),得y=-4a.

∵a>0,∴当x=m+2,k=4时,y有最小值,最小值为-4a.故C,D错误.故选A.

4.C解析:令ax2+4x+c=x,即ax2+3x+c=0,

由题意知,Δ=32-4ac=0,即4ac=9,

又方程的根为-,

33

2�=2

解得a=-1,c=-.

9

4

故函数y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3,

3

4

如图,该函数图象顶点为(2,1),与y轴交点为(0,-3),由对称性知,该函数图象也经过点(4,-3).

由于函数图象在对称轴(直线x=2)左侧y随x的增大而增大,在对称轴右侧y随x的增大而减小,且当0≤x≤m时,

函数y=-x2+4x-3的最小值为-3,最大值为1,

∴2≤m≤4.故选C.

5.D解析:二次函数的对称轴为直线x=m,

①m<-2时,x=-2时二次函数有最大值,

此时-(-2-m)2+m2+1=4,

解得m=-,与m<-2矛盾,舍去;

7

4

②当-2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值,

此时,m2+1=4,

解得m=-或m=(舍去);

③当m>1时3,x=1时3二次函数有最大值,

此时-(1-m)2+m2+1=4,

解得m=2.

综上所述,m的值为2或-,

所以甲、乙的结果合在一起3也不正确.故选D.

6.解:(1)①当b=4,c=3时,y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7,

∴该函数图象的顶点坐标为(2,7).

②顶点坐标为(2,7),抛物线开口向下,

当-1≤x≤2时,y随x的增大而增大,

当2≤x≤3时,y随x的增大而减小.

∴当x=2时,y有最大值7.

又∵2-(-1)>3-2,

∴当x=-1时,y取得最小值,最小值为-2.

∴当-1≤x≤3时,-2≤y≤7.

(2)∵当x≤0时,y的最大值为2,当x>0时,y的最大值为3,

∴抛物线的对称轴直线x=在y轴的右侧,∴>0.

��

22

∴b>0.

∵抛物线开口向下,当x≤0时,y的最大值为2,

∴c=2.

(-)-

又∵=3,

(-)2

4×1×��

4×1

∴b=±2.

∵b>0,∴b=2.

∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+2.

能力提升

1.解:(1)①a=-4,y=x2+2ax+a-3=x2-8x-7.

②当x=-=4时,y取得最小值,为16-32-7=-23.

�

2�

(2)合理,理由:

∵1>0,∴函数有最小值,

当x=-a时,y取得最小值,

故甲同学的说法合理.

(3)乙同学的猜想正确.

当x=-a时,y=x2+2ax+a-3=-a2+a-3,

∵-1<0,∴y有最大值,

∴当a=时,y的最大值为-+-3=-.

11111

2424

2.解:(1)将A(1,0),B(-5,0)代入y=-x2+bx+c,

得-,

--,

1+�+�=0

解得255�-+,�=0

,

�=4

∴抛物�线=的5解析式为y=-x2-4x+5.

(2)在y=-x2-4x+5中,

令x=0,则y=5,

∴C(0,5),

∵y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9,

∴抛物线的顶点为(-2,9),

当y=5时,-x2-4x+5=5,

∴x=0或x=-4,

当m≤-4时,

图象G的最大值为9,最小值为-m2-4m+5,

∴9-(-m2-4m+5)=4,

解得m=0(舍去)或m=-4,

∴当m=-4时,图象G的最大值与最小值的差为4.

当-4<m≤-2时,

图象G的最大值为9,最小值为5,图象G的最大值与最小值的差为4.

当-2<m<0时,

图象G的最大值为-m2-4m+5,最小值为5,

∴-m2-4m+5-5=4,

解得m=-2(舍去).

当m>0时,

图象G的最大值为5,最小值为-m2-4m+5,

∴5-(-m2-4m+5)=4,