2025年高考数学模拟卷8（浙江专用）含答案及解析

备战2025年高考数学模拟卷(浙江专用)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

第I卷(选择题)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求

的。

1.已知集合A={x||x|<4},B={x|x2-5x-6>0},贝。()

A.(4,6)B.(-4,2)C.(-4,-1)D.(-1,4)

2.已知1=1一ni,其中m,n是实数，i是虚数单位，则m+ni=()

1+1

A.l+2zB.l-2iC.2+iD.2-i

3.函数尸聂g+sirA,xdR的值域是()

Ar133\_V2^172八「以1瓶I1

A・[-2，-]B.[—2»]]C.[r一区+^，丁+引D.[一二一]，~2~~2)

4.“40,Q0”是“abV(竽产的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(171,16),现在该市随机选择一名高三

男生，则他的身高位于[171,179)内的概率(结果保留三位有效数字)是()

参考数据：P(|i-o<X<pi+o)=0.683,P(|i-2o<X<|i+2o)=0.954,P(pi-3o<X<pi+3o)=0.997.

A.0.477B.0.478C.0.479D.0.480

6.若多项式f+xl°=ao+ai(x+1)+...+a<)(x+1)9+aio(x+1)10,则。9=()

A.9B.10C.-9D.-10

7.如图，设抛物线『=4x的焦点为尸，不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛

S2

物线上，点C在X轴上，记ABCF的面积为S1，AACF的面积为S2，则能等于是()

$2

|BF|-1|BF|2-1|BF|+1\BF\2+1

\AF\-1'\AF\2-1'\AF\+1'\AF\2+1

8.存在函数/(x)满足，对任意xGR都有()

A.f（cos2x）=sinxB.f（x2-2x）=|x-H

C.f（J^+D=|x+l|D.f（cos2x）=x1+x

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.某地区5家超市销售额y（单位：万元）与广告支出x（单位：万元）有如下一组数据:

超市ABCDE

广告支出（万元）1461014

销售额（万元）620364048

下列说法正确的是（）

幺二.々一君（无一历;力仁小看一行（无一①--

参考公式：样本相关系数r==，b=——------------n——,a=y—bx

3（X/-X）

A.根据表中数据计算得到尤与y之间的经验回归方程为y=bx+8.3,贝帕=3.1

B.x与〉之间的样本相关系数r=3.1

C.若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好

D.若该地区某超市的广告支出是3万元，则该超市的销售额一定是17.6万元

（多选）10.已知函数/（x）=?-ax-bix,下列命题正确的是（）

A.若尤=1是函数/（X）的极值点，则a=lB.若/（x）在（1,+co）上单调递增，则aNl

7

C.若/（I）=2,则恒成立D.若（尤-1）lnx>f（x）在xd[l,2]上恒成立，则位2-/〃2

（多选）11.棱长为1的正方体，£是CCi的中点，尸是平面ADD14上的动点，平面尸2£与平面ABCZ）

的交线为/，则（）

A.£尸的最小值为1B.EP+2P的最小值为一

2

_1

C.存在一点尸，使得EPLCDD.二面角E-7-C最小时，平面角的正切值为刁

第n卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种.小张用10元钱买杂志（每种至多买一本,

10元钱刚好用完），则不同买法的种数是（用数字作答）.

13.已知等差数列｛斯｝中,首项为6（m#））,公差为d,前〃项和为且满足aiS5+15=0,则实数d的

取值范围是.

1

14.中，ZC=90°,M是BC的中点，^sin^BAM=j,则sin/BAC=.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（本题13分）如图，矩形ABCD和梯形MFC所在平面互相垂直，ZBCF=ZCEF=90°,AD=W，EF=

2.（I）求证：AE〃平面DCF；（II）当48的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60。？

16.（本题15分）某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品.已知生产一件产品为一等品、二等品、

三等品的概率分别为尸1、P2、尸3,Pi+P2+P3=l.从该工厂生产的产品中随机抽取力件，设其中一等品的

数量为X,二等品的数量为K

（1）若”=10,已知X的数列期望E（X）=4,X的方差。（X）=2.4,求尸1的值.

（2）若〃=20,且y服从二项分布8（20,p2）.己P（r=6）=p（y=8）,求P2的值.

（3）已知尸1=0.4,22=0.3,在抽取的“件商品中，一等品和二等品的数量之和为求当〃为何值时,

M的数学期望取得最大值？

17.（本题15分）已知函数/（无）=e（-ax1,aGR.

（1）若函数/（x）无极值，求a的取值范围；（2）当证明/（无）＞1+xlnx.

18.（本题17分）已知数列｛斯｝和｛氏｝满足…斯=（V2）6n（”GN*）.若｛斯｝为等比数列，且ai=2,

63=6+历.

（I）求斯和加

（II）设Cn=W（«EN*）.记数列｛Cn｝的前〃项和为

（z）求S；5）求正整数上使得对任意“CN*均有S亡

7n2%2

19.（本题17分）已知相＞1,直线/：x-⑺一吟=0,椭圆C：—+y2=l,FB/2分别为椭圆C的左、

,mz

右焦点.

（I）当直线/过右焦点厂2时，求直线/的方程；

(II)设直线/与椭圆C交于A、B两点，△4F1F2，△8小92的重心分别为G、H.若原点。在以线段G”

为直径的圆内，求实数机的取值范围.

备战2025年高考数学模拟卷（浙江专用）

参考答案

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求

的。

12345678

CCCDADAB

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分

91011

ACADABD

第H卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.【答案】26613.【答案】（-8,-V3]U[V3,+°°）.14.【答案】：y.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）【答案】见试题解答内容

【解】（I）证明：过点E作EG_LCF并CF于G,连接OG,可得四边形BCGE为矩形.2分

又ABC。为矩形，所以/W_L〃EG,从而四边形ADGE为平行四边形，故AE〃DG.…・2分

因为AEC平面。CF,OGu平面。CF,所以AE〃平面OCF.…•1分

（II）解：过点B作B”J_EF交FE的延长线于“，连接…分

由平面ABCO_L平面BEFG,AB±BC,得AB_L平面BEFC,从而…•3分

所以为二面角A-EF-C的平面角.…分

在RtAEFG中，因为EG=AD=W，EF=2,所以乙CFE=60。，FG=1.••••1分

又因为CE_LEF,所以CF=4,从而BE=CG=3.于是BH=BE・sin/BE〃=孥•2分

Q

因为AB=B”・tan/AHB,所以当AB=2时，二面角A-EF-G的大小为60。.1分

D

v

16.(15分)【答案】(1)0.4；(2)P2=；(3)n取工厂的总产量时，E(M)取最大值.

【解】：⑴由题意知X〜B(10,Pi),则［HU警“解得Pi=0.4;…・3分

(〃(X)=10匕(1—匕)=2.4

(2)由y〜B(20,P2),则P(y=k)=C%P?(1-22)2。-气k=0,L2,20),….2分

由p(y=6)=p(r=8)得，。品・尸外(1一22)14=。品他”(1一「2产一一2分

化简可得粤=———,即"-=———解得P2=马等於；…•3分

2

%(1一「2)213(1-P2)

(3)由题意知，M~B(n,P1+P2),又Pi=0.4,02=0.3,…•2分

所以M〜B(0,0.7),则E(M)=0.7",…・2分

当"增大时，E(M)也增大，所以，当"f+8,E(M)f+8,故M的数学期望没有最大值.

但在实际情境中，n的取值是有限的，比如取工厂的总产量时，E(M)取最大值.…分

17.(15分)【答案】⑴ae[0,|]；(2)见解析.

【解】:(1)因为/(x)=ex-ax2,求导得f'(x)=e，-2ax，•…1分

x

令f(x)=0f即—=2a,••••1分

x

亦为等式两边函数的图象的交点横坐标，设g(x)=g,…・1分

则g'(x)=?(\O'••••1分

x乙

当x〈0以及OVxVl时，g'(x)<0；当x>l时，g'(x)>0,

则函数g(x)在(-8,o)和(o,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，…・1分

大致图象如图所示：二•函数/(x)=眇-ox?没有极值点，.,.0W2oWe,・・・OWa4*…・1分

11_y

(2)设m(x)=lnx-x+1(x>0),则m'(x)=--1=-^-,••••1^

当0<xVl时，m'(x)>0；当x>l时，m'(x)<0,

所以m(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，…・1分

所以m(X)max=m(1)=0,所以/ex-X+1W0,所以/"xWx-l,

要证明ax2-xlnx-1>0,

先把不等式左边看成关于o的一次函数人(。)，显然力(。)单调递减，h(a)min=h(1),1分

即证那-X2-x/cx-l>0.再消去对数，由不等式/"Wx-1,X>0,........1分

2%—%+1

则只需证卧-X2-x(x-1)-1>0(x>0),等价于证明---------K0,.........1分

ex

2

A/、2%—%+1-

令C()，

X=-----e-x7-------1

求导n'(x)=(A2)*_2%),……1分

11

此时xE(0,-),n1(x)<0,n(x)单调递减；xe(-,2),n'(x)>0,n(x)单调递增；xG(2,

22

+8),n'(x)<0,n(x)单调递减.....2分

7

而n(0)=0,n(2)=——1V0,1分

18.【解】：(I)V010203,，•C7n=(夜卢(nGN*)①,

a

当心2,"EN*时，a1a2^3...n-i=(/卢②，.........1分

由①②知：61n=(鱼)如一如T,令〃=3,则有的=(夜)%一也....2分

•・"3=6+①，・•・03=8.为等比数列，且01=2,・・・{0〃}的公比为q,贝叼2=*=4,.........2分

Ui

n

由题意知所>0,.*.q>0,.\q=2.Aan=2(nGN*)..........1分

又由。1。2。3=(V2)dn(nGN*)得：21X22X23…X2n=(V2)dn,

2九(%1)=(鱼卢,jebn=n(n+1)(nGN*)..........2分

u、/・、・・_11_11141、。八

U）（0•5=需一吼=环一：^15=呼一（百一巾）•……2分

••Sn-Ci+C2+C3+-+Cn

1Z1k.1/1、1.141、11..1-1、

=2_(1_力+/_(2_引+,“+尹一(加_由)=]+/+,“+尹一(1_由)

1..111r八

=41-环-1+市=E-/;……2分

(//)因为ci=O,C2>0,C3>0,C4>0；当“25时，”=["K"-I]，.........2分

/(1/ll-J-J/,

n(n+l)(n+l)(n+2)(n+l)(n-2)n(n+l)5-(5+l)

而2n——声i-22侍方--<L2分

所以，当“25时，cn<0,综上，对任意〃6N*恒有S42S〃，故k=4.........1分

2______

19.【解】：(I)解：因为直线/：x-my-^-=0,经过F2(Vm2-1,0),

所以Sn2-1=今得n?2=2,........1分

又因为m>l,所以m=&,

故直线/的方程为x—鱼y-1=0.•…・2分

(II)解：设Z(xi，yi),B(X2，V2).

X=my+-5-

22，消去x得

(■^2+y2=1

2

2y2+my+——1=0.......2分

4

贝I」由A=m2-8(-----1)=-m2+8>0,矢口/T?2<8,.........2分

4

且有yi+yi=一竽，yiy2=专--1......1分

由于Fi(-c,0),F2(c,0),故。为F1F2的中点,

TT—T%1VlV

由AG=2G。，BH=2H0,可知G(一，),H(一，一7)1分

3,333

22

师|2=鱼科+蛆科..…1分

设/W是G”的中点，则M(:"+'2,>1+3~),…1分

66

由题意可知2\MO\<\GH\…”1分

22

即4[(如左)2+(上及)2]<四科+呜*即用2+"2<。…一2分

66VV

「:771.2TTl^TTL^11

而xiX2+yiy2=(myi+—)(my2+—)+yiy2—(m,+l)--)........2分

772.2i

所以(--——)VO,即团2<4,又因为且A>0,所以l〈mV2.........1分

82

所以m的取值范围是（1,2）.

y

备战2025年高考数学模拟卷(浙江专用)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

第I卷(选择题)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求

的。

1.已知集合4=团仇|<4},B={x\x2-5x-6>Q],贝()

A.(4,6)B.(-4,2)C.(-4,-1)D.(-1,4)

【答案】C

【解】：集合A={x||x|<4}=(-4,4),B={x|x2-5x-6>0}=(-co,-1)U(6,+oo),

则ACB=(-4,-1).故选：C.

2.已知E;=1-ni,其中m,n是实数，i是虚数单位，则m+ni=()

l+i

A.l+2zB.1-2zC.2+zD.2-i

【答案】C

m

【解】：=1-ni=>m=(1+n)+(1-n)i,由于m、n是实数，

得。-'L=>m+ni=2+i,故选：C.

ll+ri=TH=2

3.函数y=^sinZx+sin2^,x£R的值域是()

c.[-f+1,f+i]D.[-f-l，f-i]

【答案】c

【解】:ysin2x+sin2x=sin2x—cos2x+=sin（2x~故选：C.

4.%>0,b>0”是“温〈（竽产的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解】：“。>0,Q0”时，>Vab<当时，“a6V(竽)2”不成立，

故"a>0,6>0”是“ab〈(竽的不充分条件，

“abV(竽产，时，a,万可以异号，故"a>0,6>0”不一定成立，

故"a>0,b>0”是“abV(粤的既不充分也不必要条件，故选：D.

5.某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(171,16),现在该市随机选择一名高三

男生，则他的身高位于[171,179)内的概率(结果保留三位有效数字)是()

参考数据：P(|i-a<X<|i+o)=0.683,P(|i-2o<X<|i+2a)=0.954,P([i-3o<X<g+3o)=0.997.

A.0.477B.0.478C.0.479D.0.480

【答案】A

【解工由题意可知，o=4,

所以P(171<X<179)=P(|i<X<|i+2cy)=0.954+2=0.477.故选：A.

6.若多项式d+xiOuQo+ai(x+1)+…+〃9(x+1)9+^io(x+1)10,贝U“9=()

A.9B.10C.-9D.-10

【答案】D

【解】：x3+x10=x3+[(x+1)-I]10,

题中49(x+1)9只是[(x+1)-l]10展开式中(x+1)9的系数，故〃9=C1()1(-1)1=-10故选：D.

7.如图，设抛物线y=4%的焦点为R不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,a其中点A,3在抛

物线上，点C在X轴上，记ABCF的面积为S1，AACF的面积为S2，则T等于是(

|BF|-1\BF\2-1\BF\+1\BF\2+1

1^1-1\AF\2-I\AF\+1'\AF\2+1

【答案】A

【解】：由题意，抛物线的准线方程为x=-1.设A（XI，yi）,B（X2,>2）

由抛物线的定义知X2=|BF|-1，x\=\AF\-1,则冬=^7='」二1'故选：A.

s：yi2久1\AF\-I

8.存在函数/(无)满足，对任意XGR都有()

A.f(cos2x)=sinxB./(/-2x)=\x-11

C.f(J?+I)=|x+l|D.f(cos2x)=x2+x

【答案】B

【解】：对于A,令k与得/（0）=冬令x=-3导/（0）=-芋，错误；

对于3,令％2-2x=f（仑-1）,则x=l±“+t.

故/G）=Vl+tCt>-1）.

所以/（x）=Vl+x（x>-1）符合题意，故正确；

对于C,令x=l,得/（2）=2；令x=-1,得/（2）=0,错误；

对于，令x=今，得/（0）=jg+,；令x=—%得/（0）=%—左，错误.故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.某地区5家超市销售额y（单位：万元）与广告支出x（单位：万元）有如下一组数据:

超市ABCDE

广告支出（万元）1461014

销售额（万元）620364048

下列说法正确的是（）

iM__iTl__

>..(Xj-^Cy-y)'Z,一(项一幻⑶「历

参考公式:样本相关系数r=a=y—bx

2

尾13一幻2.卜之］(%一歹)2'£占1(Xi-x)

A.根据表中数据计算得到x与y之间的经验回归方程为丫=人工+8.3,贝肥=3.1

B.x与〉之间的样本相关系数r=3.1

C.若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好

D.若该地区某超市的广告支出是3万元，则该超市的销售额一定是17.6万元

【答案】AC

大日而誓p夕日—1+4+6+10+14—6+20+36+40+48

【解】：由题思可7r得％=------g------=7,y=--------g-------=30,

.・・样本中心点为（7,30）,将其代入y=b%+8.3中，可得b=3.1,故A正确;

2

:2：=式勾-功（％-歹）=324,］空=1（%-为2=V104=2V26,J^f=1（y；-y）=4V71,

55_

Wt=i（凡一无）。「历

324

“0.943,故B错误;

用i=（%一元产小巳（y「刃22V26X4V71

由残差的计算可知，若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好，故C正确;

若该地区某超市的广告支出是3万元,

则该超市的销售额估计值为y=3.1%+8.3=3,1X3+8.3=17.6（万元），

但不一定是17.6万元，故。错误.故选：AC.

（多选）10.已知函数/（X）=j?-ax-Inx,下列命题正确的是（）

A.若x=l是函数/（X）的极值点，贝。a=lB.若/（尤）在（1,+oo）上单调递增，则壮1

C.若/（I）=2,则/（%）2：恒成立D.若（X-1）lnx>f（x）在2]上恒成立，则位2-勿2

【答案】AD

【解】：函数/（无）=/-ox-历x的定义域为（0,+co）,

1

对于A,/z（x）=2x-a--,由x=l是函数/（%）的极值点，得/（1）=1-〃=0,解得a=l,

此时（（X）=2x-1-1=色吐乎二口，显然X=1是7（x）在（0,+00）上的变号零点，因此4=1,

A正确；

对于8,f（x）在（1,+oo）上单调递增，贝f（x）>0a<2%-p

而函数y=2x—]在（1,+oo）上单调递增，2久一1>1恒成立，因此。勺，B错误;

对于C,由/（I）=2,得a=T,/（无）=j?+x-Inx,f'{x）—~2%J

当时，f（x）<0,f（x）递减，当x*时，f（x）>0,f（x）递增，

因此/（x）2/（}=,+m2,而|+伍2<：,C错误；

对于D,[1,2],（x-1）lnx>f（x）<^xlnx>j?-ax<^a>x-Inx,

1

令g(x)=x-live,[1,2],求导得g'(x)=1—亍20,当且仅当x=l取等号，

因此函数g(x)在[1,2]上单调递增，g(x).=g(2)=2-M2,所以定2-加2,。正确.

故选：AD.

(多选)11.棱长为1的正方体，E是CCi的中点，P是平面AD5Al上的动点，平面PBE与平面ABC。

V21

B."+BP的最小值为一

2

1

C.存在一点尸，使得EPLCDD.二面角E-/-C最小时，平面角的正切值为万

【答案】ABD

【解1根据题意，建系如图:

1,0),Bi(1,1,1),Ci(0,1,1),Di(0,

1

0,1),E(0,1,办

—1\EP\=lx2+(z-^)2+1,当％=0,z=2时,

对于A,设尸(x,0,z),故EP=(x,—1,z—

E尸的最小值为1,故A正确；

对于B,作点8关于平面如z的对称点以，

则EP+BP的最小值为利用勾股定理计算可得EB'=4+(导+22=浮,故B正确;

—>—>—>

对于C,因为DC=（O,1,0）,EP-DC=-1^0,所以不存在一点尸，使得EPLCZ）,故C错误;

—>T1T1

对于D,设平面P2E的法向量为几=(a,b,c),EP=[x,-1,z-金，BE=(-1,0,分

CLX_b+c(z-5)=0-

1乙，取几=(L%+2z-L2),

{—ct+2c=0

又平面ABC。的一个法向量为而1=(0,0,1),

2—>T

所以IcosOi,DDr>\=,当x+2z-1=0时,|cos<n,DD]>|取得最大值一

——R->—>1

此时二面角£1-/-C最小，此时|s讥⑴，DDr)\=-g-,|tan<n,

1

即平面角的正切值为3,故D正确.故选：ABD.

第口卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种.小张用10元钱买杂志（每种至多买一本,

10元钱刚好用完），则不同买法的种数是—（用数字作答）.

【答案】见试题解答内容

【解】：根据题意，可有以下两种情况：

①用10元钱买2元1本的杂志，共有C/=56

42

②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本共有C8«C3=70X3=210,

故不同买法的种数是210+56=266,故答案为266.

13.已知等差数列｛斯｝中，首项为ai（m¥0）,公差为d,前〃项和为S”且满足。~5+15=0,则实数d的

取值范围是

【答案】见试题解答内容

【解】：,.,等差数列｛斯｝中，首项为ai（。1彳0）,公差为d,前“项和为S”且满足。~5+15=0,

1x4

CL^H—2~d)+15=0,5al2+10々山+15=0,（也可以判别式法）

1

-2，

:.d=2al-2^1

当。1>0时，d=——义〃仁-2I(―9~)(—

乙乙Al/CL]乙

当41Vo时，d=—----义〃122I(―oT-)(-5

乙CI]乙Y/Ct]乙

，实数d的取值范围是（-8,-V3]U[V3,+oo）.

故答案为：(-8,--\/3]U[V3,+oo).

V6

14."BC中,ZC=90°,M是BC的中点，若Sin/BAM=叁则sin/BAC=

【答案】见试题解答内容

【解】：如图，设AC=8,AB=c,CM=MB^ZMAC=^,

a

在中，由正弦定理可得2

sinZ-BAMsinZ-AMB'

a

代入数据可得苧=.C…，解得sinZAMB=杂,

-stnZ-AMB3a

3

,,712c

故cosp=cos(——ZAMC)=sinAAMC—sin(K-ZAMB)=sinNAA/3=茄,

ACb

而在中，cos归就

J(妒+/

jj2,c

故可得一/==，化简可得/-4〃2■+4》4=(/_2廿)2=0,

肾+抉3a

解之可得a=>[2b,再由勾股定理可得。2+廿=°2,联立可得。=日人

故在RT4ABC中，sinN2AC=吃=色=增■=4,

ABCV3b3

另解：设N84M为a,NM4C为0,正弦定理得3M：sina=AM：sinZB,BM：sinP=AM

又有sinB=cosNAMC=cos(a+ZB),联立消去AAf得sinN3cos(a+ZB)=sina,

tanB

拆开，将1化成sidN^+cosZ/B,构造二次齐次式，同除cos?/—可得tana=

l+2tan25,

^sinZ-BAM=贝UcosN3AM=tan/3AM=中，解得tanN8=挈，cosB=除

□D4Z3

易得sinZBAC=称.

另解：作M£)_LA2交于。，设MZ>=1,AM=3,A£>=2&,DB=x,BM=CM=Vx2+1,

用△OMB和ACAB相似解得x=&,则cosB=裳，易得sin/BAC=萼.故答案为：—

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.如图，矩形A3CD和梯形BEPC所在平面互相垂直，ZBCF=ZCEF=90°,AD=W,EF=2.

(I)求证：AE〃平面。CP；(II)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60。？

【答案】见试题解答内容

【解】(I)证明：过点E作EGLCF并b于G,连接DG,可得四边形BCGE为矩形.又ABCD为

矩形，所以从而四边形ADGE为平行四边形，故AE〃/5G.

因为AEC平面OCROGu平面。C凡所以AE〃平面OCF.

(II)解：过点3作BHLEP交尸E的延长线于连接

由平面ABCQ_L平面BEFG,AB1BC,得AB_L平面BEFC,从而A”_LEF,

所以NAHB为二面角A-EF-C的平面角.

在RSEFG中，因为EG=A£>=V^,EF=2,所以乙CFE=60°,FG=1.

又因为CE_LER所以C尸=4,从而BK=CG=3.于是BH=BE,sinNBEH=孚.

Q

因为AB=BH<anZAHB,所以当AB=即寸，二面角A-EF-G的大小为60°.

16.某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品.已知生产一件产品为一等品、二等品、三等品的概

率分别为尸1、尸2、尸3,Pl+P2+P3=l.从该工厂生产的产品中随机抽取〃件，设其中一等品的数量为X,

二等品的数量为Y.

(1)若"=10,已知X的数列期望E(X)=4,X的方差。(X)=2.4,求尸1的值.

(2)若”=20,且y服从二项分布8(20,p2).已尸(y=6)=P(y=8),求2的值.

(3)已知尸1=0.4,P2=0.3,在抽取的〃件商品中，一等品和二等品的数量之和为M.求当力为何值

时，M的数学期望取得最大值？

【答案】(1)0.4；(2)P,=2客-4；(3)”取工厂的总产量时，E(M)取最大值.

【解】：(!)由题意知X〜2(1。,B),则牖晨款/匕)=2.4,解得尸产04

(2)由y〜2(20,尸2),则P(y=k)=C%P九1—P2)2°T(k=o，1，2,…，20),

1412

由p(y=6)=p(y=8)得，c%•p%QL-p2)=c品-pf-(1-p2),

化简可得粤=———，即&=———,解得P2=*i

2

Cf0(1-P2)213(1-P2)

(3)由题意知，M〜B(w,P1+P2)，又尸1=0.4,22=0.3,

所以M〜B(九，0.7),则E(M)=O.7n,

当〃增大时，E(M)也增大，所以，当"T+OO,E(M)一+8,故M的数学期望没有最大值.

但在实际情境中，w的取值是有限的，比如取工厂的总产量时，E(M)取最大值.

17.已知函数/(x)aGR.