2025年高考数学模拟试卷1（全国卷理科）详细解析

2025年高考数学模拟试卷01(全国卷理科)

理科数学

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共60分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知集合4=凶一1<%<2},8=卜卜=k>g3(«+3)},则AB=()

A.(-2,1)B.(—1J)C.[1,2)D.(l,+oo)

3+4i

2-(3-02,)

11111.

A.—B.-iC.—iD.-+-i

22222

3.如图，在平行四边形ABCD中，E为线段3c的中点，AB=3,AD=26.,NS4D=45。，则AC.AE=()

A.20B.22C.24D.25

4.在-吹］(〃eN+)的展开式中，所有的二项式系数之和为32,则所有项系数和为()

A.32B.-32C.0D.1

则cos(8+兀)Tin]

5.已知直线/：2x+3y-l=0的倾斜角为6,

99-66

A.—B.一C.—D.——

13131313

6.如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥A-E『G,且及尸,G分别为

棱4AA综A，靠近A的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为

()

2cm3

A.B.36jtcm3

2

C.--------7icm3D.727ccm3

2

若4=0.31",/,=bg3i2,c=log26,d=『g,则有()

7.

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

8.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它

使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.研究发

现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间f和放电电流

/之间关系的经验公式：C=Pt,其中X为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容

量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h,则

该蓄电池的Peukert常数4约为（参考数据：lg2BQ301,1g3^0.477）（）

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.15

9.已知点A（3,0）,点尸是抛物线C：V=4x上任一点，尸为抛物线C的焦点，则的最小值为（）

|尸勺+1

A2后口2a「取#7

A.D.C.nU.

17171717

-<、11111

10.设S〃为等比数列｛〃〃｝的前〃项和，52023=200,4012=1。，则一+—+—+---+----+----=（）

%〃2。3。2022”2023

A.20B.10C.5D.2

22

11.已知双曲线E:鼻-2的焦点恰好为矩形ABCD的长边中点，且该矩形的顶点都在双曲

cib

线上，矩形的长宽比为2:1,则双曲线的离心率为（）

A.2+20B.3+2应C.1+72D.272-2

12.己知函数〃x)=2,-丘-6恰有一个零点看,且6>%>0,则%的取值范围为()

第二部分(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.有5位大学生要分配到AB,C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位

学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位学生实习的不同分配方案有

种.(用数字作答)

14.定义在R上的函数的导函数为尸(x),且有"-3)=-l2J(f)+〃x)=0,且对任意xeR都有

f(x)>3,则使得f(e，)-3e-320成立的x的取值范围是.

15.在平面直角坐标系中，P的坐标满足“J+2),feR,已知圆C:(x-3y+y2=l,过尸作圆C的两条切

线，切点分别为A2,当NAPB最大时，圆C关于点尸对称的圆的方程为.

16.如图，在长方体ABCD-A4GA中，AB=3,BC=CC1=2,M,N分别为BC,CC；的中点，点P在

矩形BCGBi内运动(包括边界)，若AP〃平面AMN,则4尸取最小值时，三棱锥尸一肠\8的体积为

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.(12分)己知在四边形ABCQ中，为锐角三角形，对角线AC与8。相交于点O,

AD=2,AC=4,BD=y[6,ZABD=-.

4

⑴求A3；

⑵求四边形ABCD面积的最大值.

18.(12分)远程桌面连接是一种常见的远程操作电脑的方法，除了windows系统中可以使用内置的应用程

序，通过输入IP地址等连接到他人电脑，也可以通过向日葵，anyviewer等远程桌面软件，双方一起打

开软件，通过软件随机产生的对接码，安全的远程访问和控制另一台电脑.某远程桌面软件的对接码是

一个由“1,2,3”这3个数字组成的五位数，每个数字至少出现一次.

(1)求满足条件的对接码的个数；

(2)若对接码中数字1出现的次数为X,求X的分布列和数学期望.

19.（12分）如图，在直角梯形ABC。中，AB//CD,ZABC=90°,AB=3DC=3BC,DE上AB于E,

沿。E将VADE折起，使得点A到点尸位置，NPEB=90°,N是棱8C上的动点(与点8,C不重合).

(1)判断在棱尸2上是否存在一点使平面平面尸3C,若存在，求二若不存在，说明理由;

BP

(2)当点冗N分别是尸8,BC的中点时，求平面E/W和平面PDE的夹角的余弦值.

22

20.(12分)已知椭圆C:1r+%=1(。>6>0)的左、右焦点分别为居，外，抛物线「：V=4x的焦点与尸2重

合，若点尸为椭圆c和抛物线r在第一象限的一个公共点，且了。用的面积为如，其中。为坐标原点.

3

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的上顶点8作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点RE,求忸。|+忸国的最大值.

21.(12分)已知函数g(x)=+2alnx-4).

⑴讨论函数y=g(x)的单调性；

(2)设函数〃x)=g(x)-4x+2,若函数y=〃x)的导函数有两个不同的零点%x2(xl<x2),证明：

f(^)+/(x)Ino

2〉J.

2----2

(二)选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.(10分)在直角坐标系x°y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标

方程为0cos0+22sin。-90=0,曲线C的极坐标方程为p2cos26,+4p2sin26)=4.

(1)求直线/的直角坐标方程和曲线C的参数方程；

(2)若点尸为曲线C上任意一点，点尸到直线/的距离为d,求d的取值范围.

选修4-5：不等式选讲

23.(10分)已知函数〃x)=|x-a|+k-l|的最小值为3,其中a>0.

⑴求不等式〃x)V5的解集；

⑵若关于x的方程/(0=法+1有实数根，求实数6的取值范围.

2025年高考数学模拟试卷01（全国卷理科）

详细解析

第一部分（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

123456789101112

CBBDBBBDADCA

1.【答案】C

【解析】由«+323,^y=log3(Vx+3)>l,故3={y|”l},

即Ac3={x|"x<2}.

故选：C.

2.【答案】B

3+4i_3+4i_(3+4i)(4+3i)25i1.

1

［解析］-8_6i-2(4-3i)(4+3i)-50-2)

故选：B.

3.【答案】B

【解析】由题意可得AC=AB+AD,AE=AB+BE=AB+^AD,

所以94£=(42+犯142+：4可

.231-2

=AB+-ABAD+-AD

22

因为AB=3,AD=2yf2,ZBAD=45°,所以AB?=9,AD”=8,AB.AD=6，

所以AOAE=22.

故选：B

4.【答案】D

【解析】依题，C°+C>+C：=2”=32,解得〃=5,则二项式-五］的所有项系数之和为亚1=1.

故选：D.

5.【答案】B

2

【解析】由题意可知，tan^=-|,71

2,71

.2V13.A2在

sin。2asine=-------sin，=---------

1313

则cos33,解得,或，（舍）,

23岳，A3岳

sine+cos20=1cosea=---------cose=-------

I1313

所以cos(6+兀)•sin]]-6=-cos20=--—

13

故选：B

6.【答案】B

.................3

【解析】由题意4石=4尸=AG=],设点A到平面EFG的距离为d,

而EF=EG=FG=K^

2

2

c」3夜（3忘）18小

S.EFG=]X^-X2

2216

7

，得，133业,

由VE—AG[F=^A^-EFGx—x—x—x—=—xd,解得d=

322223162

棱长为6的正方体的正方体的内切球的半径为3,

棱长为6的正方体体对角线的长度为6石,

因为W*乎>3,

所以所求球形体积最大时即为棱长为6的正方体的正方体的内切球,

4

则该球形饰品的体积的最大值为]兀X33=36兀cm3.

故选：B.

7.【答案】B

【解析】a=0.311-3<0.31°=1,所以0<a<l,d=

b=log312=1+log34>2,c=log26=l+log23>2,

2

In4+ln2

又因为log4_In41n2<2(ln2同

3<r

log23ln3-ln3ln3•ln3(ln3)2

所以d<a<b<c.

故选：B.

8.【答案】D

【解析】由题意知。=7.5'*60=25，*15,

所以=||=4,两边取以10为底的对数，得21gl=21g2,

21g22x0.301

所以彳=“15

l-lg31-0.477

故选：D.

9.【答案】A

【解析】由题意得户（1,0）,抛物线C的准线方程为尤=-1,

设尸（x,y）,贝“依|=尤+1,1PAi=4x-3）2+/=3）2+4尤=Jx-Zx”，

枕-2X+9

X|PF|+rx+2,

令x+2=〃，贝lJx=〃-2,由得4>2,

所以1PAi=J（4_2）2_2（〃_2）+3=J42_64+]7=但_g+],

|PF|+I〃〃]〃2〃

令，=彳，则0<4vg,所以^^='17万一6—+1=

"2|PF|+1

故当4即x=?时，尚事取得最小值岑・

故选：A.

10.【答案】D

【解析】法一：因为｛%｝是等比数列，设其公比为夕，由题意得4*1,

所以数列是首项为，，公比为，的等比数列.

[a„]«iq

nlq（l-产）3%（产3Tion

贝U$2023=-------------------------=----------------------------=200，11012=4〃=1°.

1-qq—\

设数列[I]的前〃项和为T-，

1(1x2023

则T]/(产7：]”产-1)=邑期=200：2.

i——q-idM2q-i娠)i2i。。

q

\111111ii

法二：设数列《一｝的前〃项和为，，贝！J5023=—+—+—+—+…+------+-------,

[J%%〃3〃4”2022”2023

则立2023=

2(q+%+々3+〃4*■〃2022+〃2023)_2512023_400_日n丁_n

=2-=77^7=4,即12023-2­

%〃2023“10121UU

故选：D.

n.【答案】c

【解析】解法一：由题可得，矩形ABCZ）的宽为2c（c>0）,则长为4c,

双曲线E以矩形长边中点为焦点，过顶点ABC,。，如图所示,

则C（c,2c）,代入双曲线E的方程，得!一壬=1,即。2（/一4〃）=/62.

又因为°2=储+廿,所以（6+/）伊一4叫=/〃，即

等式两边同时除以否2得_4勺〃2+勺h2—4=0.

ba

h11

设^■=/>（）,贝！j—4一+%—4=。，即『―小一4=0,

a2t

解得f=2+2正或f=2-2也（不合题意，舍去），即==2+2应，

a

所以e=£=JlH——-=Jl+2+2\/^=1+^2.

a\a

故选：C.

解法二：连接C%由题意知C(c,2c),则|C6|=2c,|耳阊=2C,磔|=2缶,

则由双曲线的定义知|C耳HCE|=2。，即2缶-2c=2。，。=(近一1',

所以双曲线的离心率e=£=V2+1.

12.【答案】A

【解析】由〃力=。可得7=履+6,要使〃尤)恰有一个零点，只需函数g(x)=2'的图象与直线>=h+方相

切.

设切点坐标为(无。,2跖).由g(x)=2，，可得g，(x)=2，ln2,则切线方程为y-2%=2而ln2.(x-%)，即

,0?%

j=(2ln2)x+2(l-xoln2),

故需使左=2*M2]=2%(1—x0ln2).

由b>上〉0可得2*(1—x°ln2)>2%ln2,解得/.

故选：A

第二部分(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.【答案】50

【解析】根据特殊元素“甲同学”分类讨论，

当A单位只有甲时，其余四人分配到反C,不同分配方案有C；C；A；+C；C；=14种；

当A单位不只有甲时，其余四人分配到A5C,不同分配方案有弋产A；=36种;

A?

合计有50种不同分配方案,

故答案为：50.

14.【答案】［ln3,y)

【解析】由〃-x)+/(x)=0知"力是奇函数,.••/(3)=-/(-3)=12,

设g(x)=〃x)-3x,则8闭=〃3)-3*3=12—9=3©(力=广(%)—3>0,

g(x)在R上单调递增，由/(e“)-31-320得/(e，)-31>3,

即g(e*"g⑶，得x21n3,x的取值范围是［ln3,+oo).

故答案为：［ln3,+e)

15.【答案】(x+2『+(y-5)2=l

【解析】依题意，点尸的轨迹为直线/：丁=尤+2上，显然NAPB=2NCP3,要/APB最大，当且仅当NCPB

最大，

在R3CPB中，==而正弦函数y=sinx在(0,g)上单调递增，

I卜。IInI2

则只需sin/CP?最大，即圆心。到点尸的距离最小，因此CP，/,又圆心。(3,0),

fy=x+215

此时直线CP的方程为y=-x+3,由一。解得点尸(不!)，

［y=-x+322

于是圆心C关于点尸对称的点的坐标为(-2,5),所以圆C关于点尸对称的圆的方程为(x+2)2+(y-5)2=l.

【解析】取的中点E,的中点F,连接EF,\E,AtF,

则易得砂//AW,HAM,

因为EFu平面AAW,MNu平面AWN,故EF〃平面AACV,

同理：A/〃平面AMN,又A/砂=尸，4££尸u平面A|EP,

所以平面AE〃〃平面又AP〃平面AMN,

所以4尸u平面AtEF,即点尸在平面AtEF与平面BCQBi的交线EF±,

当4尸，所时，A/取最小值.

易知4£=4/=回开=亚，故当4尸取最小值时，尸为E尸的中点，

133

此时一PBM的面积S△.=-xlx-=-,

133

则^P-MA,B~J-PBM=

—、3

故答案为：—.

4

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.（12分）

【解析】（1）

222

工人/口兀AB+BD-AD4皮+6一4

由余弦定理可得cos厂2AB-BD

2y/6AB

化简为AB?-2百AB+2=0,解得AB=V^+1或有一1,

（A/3-1）2+4-6

2-2百

当AB=6-I时,因为cos/BA。=<0,与△钿£>为锐角三角形不符合，故

2x2x（指-1）2x2x（痒1）

AB=V3+1.

（2）作垂直8。于日歹，设NAO3=N1,

则SABCD=sABD+SCBD=BD-AE+BD-CF=BD（AOsinZ1+COsinZl）=^BD-ACsin,当

sinZl=l^Zl=90°^AC±BD,四边形面积最大，最大面积为=x4x#=2疝

2

18.（12分）

【解析】（1）当对接码中一个数字出现3次，另外两个数字各出现1次时,

W占粕*C3A53x5x4x3x2xl

种数为：-7^-=—————-----=60,

A；3x2x1

当对接的中两个数字各出现2次，另外一个数字出现1次时,

种数为：笫3x5x4x3x2xl

---------------------=90,

A2A22xlx2xl

所有满足条件的对接码的个数为150.

（2）随机变量X的取值为1,2,3,其分布为:

c>L,C-Z1A-355

A；A；A；一7,_AX62,

尸（X=1）=p（x

15015I'15015-5

♦

尸—I端喑

故X的分布列为:

X123

722

p

15?15

7925

=—+2x—+3x—=-

19.（12分）

【解析】（1）存在，端1

5

理由如下：由PE_L£B,PELED,EBED=E,EB,皮）u平面£」BCD,

所以PE_L平面£BCD,又3Cu平面£BC£）,

故PE_L3C,又BC工BE,PEBE=E,PE,BEu平面PEB,故3C1平面尸£B,

又BCu平面P8C,故平面PBC_L平面FEB,又平面P3C平面PEB=PB,

EMu平面尸EB,作EM_LP3,则£M_L平面PBC,又EMu平面EMN,

故平面EMN_L平面尸BC,由题意，不妨设AB=3DC=33C=3,

则吊PEB中,PE=2,EB=LBP=区由等面积得011=胃*加所以EM弓,

22

1BM1

贝IjBM==『所SP以H二『二

V5BP5

(2)以E为原点，EB,ED,EP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

由⑴NRO；81,0,0),P(0,0,2),唱，。，1

瓯=[1，别,所吗,0,1),

设平面E7W的法向量为加=(x,y,z),

m•EF=—x+z=0

2

,取用=(2,-4,-1),

m-EN=x+—y=0

2

易知平面PZ汨的法向量为〃=(1,0,0),

2721

设平面EFN和平面PDE的夹角为仇故cos0=cos的〃)卜|同

21

20.(12分)

【解析】（1）设尸（如％）,由丁=4x,得焦点玛（1,0）,则可（TO）.

由5寸”=乎，得gxlx%=手，解得为=当，代入抛物线方程V=4x,得毛=|,即尸

‘巫22/6?

所以2a=|尸闾+|「周==4,即〃=2,所以/?=代,

尸

22

所以椭圆C的方程为上+±=1.

43

（2）设直线OE的方程为y二丘+“加。若），。（七,乂），£（马，％），\BD\=dx,\BE\=d2,

《+《=］

联立43-'7肖去》整理得（4左2+3）*2+8万7氏+4m2-12=0,

y=kx+m,

8km4m2-12

所以玉+%2=—--——,XX=——z------

4左2+3124左2+3

因为应所以2»2E=0，又8（0,@,所以3。=",%-⑹9二卜％-⑹,

所以玉％2+卜1一百X%一班）=0，玉42+（优+根_班）（5+加_百）=0，

即（1+左2）玉%2+左（加一石）（玉+%2）+（加一班）二°，

即（1+公）•梨5+左仅一石）［:纥）+（加一百『=0,化简得7根2-6A-3=0.

因为冽力石，所以加=一《3,8瓜576

此时％+%=7（4左2+3）’""一49（4左2+3）'

7

所以|DE\=|xj-X2\-Jl+%2=J（尤］+%）2,Jl+%2

i——12I-----------------

8限/576寸8.'一+33…）

（7（4公+3）］49（叱+3）73（4人？+3『

令止+3=叱3）,则|叶券巴严'=苧产河4坪,

当且仅当r=3,即左=0时，等号成立.

因为力+屏=0同2,所以4+q4应|。回4竺普,

当且仅当4=%，%=0时，等号成立,

故忸。+忸£|的最大值为史聋.

21.(12分)

【解析】(1)由已知函数y=g(x)的定义域为(0,+8),又/⑺=%+q=三出

XX

当时，g[x)>0,函数g(x)在(0,+8)上是增函数；

当"0时，g'(x)=0解得x=或x=(舍去)，

所以当尤>，工时g'(x)>0,函数g(x)在(右,+8)上是增函数；

当OvxcQ时g'(x)<0,函数g(x)在(。,二)上是减函数；

综上所述：当.20时，函数g(x)在(0,+。)上单调递增；

当a<0时,函数g(x)在(J二,+8)上单调递增，在(O.J-卜单调递减.

(2)由已矢口/(x)=g(x)-4无+2,即/(x)=—+2tzlnx-4)-4x+2=—x2+tzlnx-4x,

可得八同7+4_4=/4』,

函数/(X)有两个极值点不,々(玉<*2)，即尤2-4尤+O=0在(0,+8)上有两个不等实根，

/、/z(0)=a>0

令//(%)=尤7-4x+a,只需_4n，故

拉|，J—CL—4<U

又为+占=4,=a,

1

所以/（再）+/（工2）=]+〃1叫—4xJ+|+alwc2-

2

=—4（石+々）+a（1叫+lnx2）+—（才+4）=Qlni-a—8,

要证〃xj+〃xj>也一5,

22

即证alna—a—8>lna—10,々£（0,4）,

只需iIE(l—a)lna+a—2<0,〃£(0,4),

令m(a)=(l-a)lna+a-2,Q£(0,4),

]-Q।

贝(]机'(〃)=_InQ~\-----F1——Ina,

aa

令"(a)=加(a),贝!|"'(a)=-，一，<。恒成立，

所以加(a)在ae(0,4)上单调递减，又根[1)=1>0,加(2)=；-ln2<0,

由零点存在性定理得，^0«