2025年高考数学模拟试卷2（全国卷理科）及参考答案

绝密★启用前

2025年高考数学模拟试卷02(全国卷理科)

理科数学

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合4=『工？0卜S={x|log2(^-1)<3},贝ij做A)cB=()

A.[3,9]B.(1,9]C.(1,3]D.(1,3)

2.已知复数z=*，贝氏的虚部为()

A.-1B.—iC.1D.i

3.设/,加是两条不同的直线，夕是两个不同的平面，若/ua,,a//p,则是“加_L£”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知函数的图象如图所示，则函数〃丈)的解析式可能为()

/\1V2

A./(x)=cos2x•)B./(x)=--ln——

XX+1

+e-xr2.+1

C./(x)=----------D./(x)=sin2x-ln——

XX2

5.已知平面向量a,b,c满足。+6+。=。,q=|“=1,|4=百，则4与b的夹角为()

6.已知/（x）+l在R上单调递增，且为奇函数.若正实数a,6满足/（a—4）+/（6）=—2,则:+：的最小值

为（）

A.—+B.—F近C.3+2A/2D.—FV2

4242

7.2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队

在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足

球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村

至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须

选同一个村，则不同的选法种数是（）

A.18B.36C.54D.72

血

8.已知sina+cos/?=飞-,cosa-sin4二：--,则cos(2a_20=()

A.LB.-工C.叵n5a

32323232

9.m^Da=sin0.5,Z?=305,c=logo30.5,则c的大小关系是()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

22

10.已知椭圆E：鼻+}=l(a>6>0）的左焦点为尸，如图，过点/作倾斜角为60。的直线与椭圆E交于A,

3两点，M为线段A3的中点，若5|引昌=|。目（。为坐标原点），则椭圆E的离心率为（）

R瓜

D.--------

3

11.在棱长为1的正方体ABCD-4耳CQ中，分别为4c的中点，点P在正方体的表面上运动,

且满足“PJ-av,则下列说法正确的是（）

D\

A.点P可以是棱8月的中点

C.点尸的轨迹是正方形D.点尸轨迹的长度为2+石

12.若函数/（尤）=。11吠+1^2-2尤有两个不同的极值点外,三，且二一/（不）+马＜/（当）一王恒成立，则实数f的

取值范围为（）

A.（-co,-5）B.（-co,-5]C.（-00,2-21n2）D.（YO,2—21n2]

第二部分（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.若数列｛%｝满足4=1,」用-%-1=2",则为=.

14.已知函数〃D=23（3-幻，其中。为常数，且。«0,6）,将函数的图象向左平移巳个单位所

得的图象对应的函数g（x）在x=。取得极大值，则。的值为.

15.已知函数/（"=-幺+2产x-2/+t的最大值为加，若函数gG）=M+』-〃?有三个零点，则实数小的取

值范围是.

16.己知四棱锥P-ABCD的高为2,底面ABCD为菱形，AB=AC=6E,尸分别为PAPC的中点，则四

面体EFBD的体积为；三棱锥P-ABC的外接球的表面积的最小值为.

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.已知ABC的内角ABC的对边分别为a,40,星=詈4.

c4b-a

(1)求sinC的值;

⑵若ASC的面积为叵，且4+5=2西C,求，ABC的周长.

23

18.某校高三年级进行班级数学文化知识竞赛，每班选三人组成代表队，其中1班和2班进入最终的决赛.决

赛第一轮要求两个班级的代表队队员每人回答一道必答题，答对则为本班得1分，答错或不答都得。分.已

知1班的三名队员答对的概率分别为:、：、k2班的三名队员答对的概率都是：，每名队员回答正确与

4323

否相互之间没有影响.用J、〃分别表示1班和2班的总得分.

⑴求随机变量4、7的数学期望后信),研〃)；

(2)若J+〃=2,求2班比1班得分高的概率.

19.如图，在圆柱。。中，一平面沿竖直方向截圆柱得到截面矩形A8与A,其中AA，8片为圆柱。。的母

线，点C在底面圆周上，且BC过底面圆心。，点。，E分别满足AD=2D4，AE=2EC,过。石的平面与8片

交于点尸，且BiF=2FB(4>0).

(1)当2=2时，证明:平面D£F//平面ABC；

(2)若例=2AB=2AC,AF与平面A.B.C所成角的正弦值为叵,求；I的值.

10

20.已知动圆E经过定点0(1,0),且与直线x=-l相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

(2)设过点尸(1,2)的直线乙，4分别与曲线C交于A,B两点,直线14的斜率存在，且倾斜角互补，求证:

直线A3的倾斜角为定值.

21.已知函数/(x)=xe*-2ov(a>0).

⑴若函数/(x)在x=l处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为］,求。的值;

(2)若函数/(X)的最小值为-e,求a的值.

(-)选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的

x=m+J3cosa

极坐标方程为0=2sin。；在平面直角坐标系宜万中，曲线C?的参数方程为厂（a为参数）,

y=J3sina

点A的极坐标为且点A在曲线C2上.

(1)求曲线G的普通方程以及曲线C2的极坐标方程;

⑵已知直线-后y=0与曲线GC分别交于P，。两点，其中P,。异于原点。，求的面积.

选修4-5：不等式选讲

23.已知函数〃。=国+值一2|+|尤一4.

⑴当a=2时，求不等式/(a414的解集；

(2)若小"次+—+16恒成立,求“的取值范围.

理科数学•全解全析

第一部分（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

123456789101112

CABDBABACBDB

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

⑶2"+〃—214.2

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

cosCcosAcosCcosA

17.【详解】⑴解:因为,由正弦定理得..................................1分

4b-asinC4sinB-sinA

可得4sinBcosC—sinAcosC=cosAsinC,

即4sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,.......................................................................3分

因为Bw(0,兀)，可得sin/>0,所以4cosc=1,BPcosC=-,

4

所以sinC=A/1-COS2C=...............................................................................................................................6分

4

(2)解：由(1)知sinC=巫，

4

因为若.ABC的面积为正，可得J_HsinC=姮，即巫=叵，解得必=4,..................8分

222242

又因为〃c，

3

由余弦定理得/=a2+b2—2az2cosC=(a+b，—2ab—=(Q+Z?)2——ab—(冬ec)?—10,

整理得。2=6,解得c=6，..............................................................................................................................10分

所以〃+/?=^^*#=4，

3

所以ABC的周长为〃+b+c=4+痛.......................................................12分

18.【详解】（1）依题意可得4的可能取值为0、1、2、3,

31

所以P（J=O）=11-|1-1

4241

尸«=1)11221-111

x-x1-|x—

3<43+-124

1232111

+1x1x—x—=——

2r3r43224

所以随机变量4的分布列为

40123

1£11£

P

244244

3分

1111173

所以位=0xhlx：+2xh3x：==.................................................................................................4分

v724424412

又2班的总得分〃满足〃〜«3,2，则矶/7)=3xg=2...............................................................................6分

(2)设“J+〃=2”为事件A,“2班比1班得分高”为事件8,...................................................................7分

则尸（A）=[xC

59

..............................................................................................................................................................9分

24x27

所以网3体）=常124x2712

——x-----------...................................................................................................11分

545959

所以2班比1班得分高的概率为百.........................................................12分

UUUUUUULULU1UUUJUUL1ULU

19.【详解】（1）当4=2时，得B尸=2FB,又4£）=2ZM,B[E=2EC,

所以£>F〃AB,EF//BC,.................................................................................................................................2分

DBS平面ABC,ABu平面ABC,「〃平面ABC,

同理得EF〃平面ABC,.....................................................................................................................................4分

因为EF,DE是平面DEF内两条相交直线，

所以平面DEF//平面ABC..................................................................................................................................5分

(2)因为B瓦为圆柱。。i的母线，所以A4|垂直平面ABC,又点C在底面圆周上，且BC过底面圆心

O,

所以AB1AC,所以A民AC胡两两互相垂直.以点A为坐标原点，人民AC,A4,分别为反丁/轴，建立如图

空间直角坐标系，........................................................................6分

设AC=1,则4(0,0,0),3(1,0,0),C(0,l,0),4(。，。，2),耳。,0,2),

所以AB=(1,0,0),=(0,0,2),44=(1，。，。)，4C=(O,1,_2),7分

因为男尸=2EB(2>0),所以3户=工BB]=0,0,-^-

,则

/t+1X+1

AF=AB+BF=(1,0,0)+10,0,-^-

8分

设平面44c的一个法向量为n=(x,y,z),

…=。，即x=0人

则1Z=。'令z=l,解得x=°'i

〃TC=o

所以〃=(O,2,l),...................................................................................................................................................10分

।1AF-n.+]

cosn

所以"与平面A^c所成角的正弦值为|\=戛==i/、2—，

网.同瓦彳苻

2_

1+1M

•,I/9=15"，角军得2=1或-3,..............................................................................................11分

X石

A>0,X=1....................................................................................................................................................12分

zA

20.【详解】(1)因为动圆E经过定点。(1,0),且与直线尤=-1相切,

即动圆圆心E到点0)的距离与到直线x=-1的距离相等,1分

又点。(1,0)不在直线X=-1上，

由抛物线的定义可知动圆圆心E是以。(1,0)为焦点，直线x=T为准线的抛物线，...............3分

所以动圆圆心E的轨迹为y2=4x...............................................................4分

(2)依题意设直线4方程为y=依尤—1)+2(Z70),

直线4，4的斜率存在，且倾斜角互补,

的方程为,=_依彳_1)+2.

fy=k(x—V)+2

联立方程组{2/，消元得左_(2/_4左+4)%+(左—2)2=0,

[y=4x

A=(2左2—4上+4)2—4%2(上一2)2=16(左一I)?>0,...............................................6分

因为此方程的一个根为1,设8(孙为)，

则飞=出3=三上，同理可得3=产+}+4，........................................8分

2人2+8—8k—8

・‘石十%=一，石一马二•

2k2+8Q

/.yl—y2=[左(%-1)+2]-[—k(x2-1)+2]=左(玉+/)_2左二——---2k=—.

^AB=―—区=-1,...........................................................................10分

%~X2

4

设直线A3的倾斜角为凡贝!jtane=T,又840,兀)，所以。=?7r,...........................11分

■■■直线AB的斜率为定值-1,倾斜角为定值3乎71..............................................12分

4

21.【详解】(1)因为/(x)=xe，-2依(。＞0),所以r(x)=(x+l)e*-2a,

贝|/'(l)=2e—2a,又〃l)=e-2a,

所以函数/(x)在x=l处的切线方程为V—e+2a=(2e—2a)(x-l)................................2分

由题意，显然"e,令x=0得y=-e,令、=0得》=—?—,

2e-2a

iee

所以函数/(x)在X=1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为s=片h-x/el=7，

22e—2〃2

所以|2e—2o|=e,解得或........................................................4分

(2)由(1)知/'(x)=(x+l)e*-2a,令g(x)=/'(x)=(x+l)e，-2a(a>0),

所以g©)=(x+2)e，，当x<-2时,g'(x)<O,g(x)在2)上单调递减,

当天>-2时，g'(x)>0,g(x)在(一2,+⑹上单调递增.........................................6分

因为。>0,所以当xW-2时，g(x)=(x+l)e*-2a<0,

又g(2a)=(2。+1)，"-2a>2a+l-2a-1>0,

所以g(x)在(-2,+向上必存在唯一零点七,使得g(%)=0....................................8分

当x<xO时，g(x)<0,即y'(x)<0J(x)在(ro,龙0)上单调递减，

当4时,g(x)>0,即尸⑺>O,f(x)在小,4w)上单调递增.

所以/'(x)在x=七处取得最小值，

即/(x)1nin=/(不)=入户—2办0，且(国)=0,即2a=(%+l)e&,

所以)(尤)min=%e--2ax0=%e8-(x0+l)e%=-x；e拓=-e...................................10分

--x2ex(x>-2),所以//(x)=-x(x+2)e£,

当xe(-2,0)时，”(x)>O，Mx)单调递增，Mx)>M_2)=q>U-=-e,

当xe[0,+oo)时,h'(x)<0,〃(x)单调递减，/z(x)</?(O)=O,

又/z(l)=-e,所以函数/©)在(-2,+向上存在唯一的x=l,使得-de，=_e成立，

所以％=1,所以2。=(七+l)e"=2e,即a=e...............................................12分

(二)选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.【详解】(1)因为曲线G的极坐标方程为夕=2sin6,所以"=2psin。,

x=QCOSS

由y=/7sin0,得曲线G的直角坐标方程为/+y2-2y=0；

4=Y+y2

JQ—m+J3cosa

由曲线G的参数方程为厂(。为参数)，又cos2c+sin2a=l,

y=A/3sina

得+,2=3,.......................................................................2分

因为，P.e,所以（夕858-m）2+（夕5]!1夕）2=3,即夕2一2加夕cose+苏=3,

即曲线G的极坐标方程为「之一Impcos6+/=3.

又点A[痛,在曲线G上，所以6-2鬲+/=3,解得切=6，

所以曲线。2的极坐标方程为夕=2指cos。；.................................................4分

X=A/6COS—=A/3

4，即点A的直角坐标为（若,退）,

（2）因为点5分

y=指sin;=括

由（1）得曲线C?的直角坐标方程为（X-有『+产=3,

3出

x-j3y=0x=---…/3g3)

X=0T2

联立(r-\2，解得"0或，所以Q~2~9^