2025年高考数学模拟试卷2【上海卷】及答案

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2025年高考数学模拟试卷02【上海卷】

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题,1-6题每题4分，7-12题每题5分）

1.己知集合/={*|%+2..0},N={x|x-l<0}.则MN=.

2.己知复数2=一围《是虚数单位），则彳=—.

1+Z

3.已知数列{%}的通项公式%=4〃-1,则它的第7项是,a2020-a2oi9=-

4.（尤+2）（x+l）4的展开式中项/的系数为.

6.定义在H上的奇函数/⑴满足/（1+尤）=〃1-尤），并且当既k1时，/（x）=2'-l,则/（123）=

7.设有12件药品，其中4件是次品，现进行两次无放回抽样，即每次抽一件不放回去，则两次都抽到正

品的概率是.

8.已矢口圆尤2+丁=1与圆（彳一2）2+丁=/（。>0）相切，贝|“=.

9.已知不等式少T>4的解集是—.

10.交通锥，又称锥形交通路标，如图1,常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员

及道路使用者的人身安全等.某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该

交通锥筒放倒在地面上，如图2,使交通锥筒在地面上绕锥顶点S滚动，当这个交通锥筒首次转回到原位置

时，交通锥筒本身恰好滚动了3周.若将该交通锥筒近似看成圆锥，将地面近似看成平面，测得该圆锥的

底面半径为15缶相，则该圆锥的侧面积为arc（交通锥筒的厚度忽略不计）.

图1图2

22

11.过双曲线C：3-2=l（a>0力>0）右焦点/作直线/,且直线/与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为

ab

A,直线/与另一条渐近线交于点已知O为坐标原点，若AQ4B的内切圆的半径为避二则双曲线

2

C的离心率为.

12.已知点尸为正四面体的外接球上的任意一点，正四面体ABCD的棱长为2,则的取值范

围为—.

二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5

13.已知直线4:3x-（“+2）y+6=0,直线/2：依+（2a-3）y+2=0,则“a=-9”是“4//乙”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

14.已知正实数a,b,满足（。一以+（6—1）3..2—。一6,则6+/的最小值为（）

A.2B.1C.-D.4

2

15.如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下

女童身高（长）的中位数散点图，下列可近似刻画身高y随年龄x变化规律的函数模型是（）

A.y=mx+n(m>0)B.y=my[x+n(m>0)

x

C.y=ma+n(m>0,a>V)D.y=mlog4x+nm>0,a>\

2

16.已知函数f(x)=-----(XGR),若等比数列｛%｝满足4a2020=1，则/(%)+/(。2)+>(/)++/(。2020)=(

1+%

)

A.2020B.型次C.2D.-

22

三、解答题(本大题78分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

17.(14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为菱形，PE//平面MCD,过PE的平面交

平面于3D,PE=BD=PB=2.

(1)证明：PC//平面ADE；

(2)若平面BDEP_L平面A5cD,ZPBD=60°,四棱锥尸-ABCD的体积为2TL求平面PBC与平面AEP

夹角的余弦值.

18.(14分)在AABC中，角A、B、C的对边分别为b、c,cos2B-sin2B=--.

2

⑴求角3,并计算sin(B+q)的值；

(2)若6=6，且AABC是锐角三角形，求o+2c的最大值.

19.（14分）某微信群群主为了了解微信随机红包的金额拆分机制，统计了本群最近一周内随机红包（假

设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如图频率分布直方图.

频率

I獭

0.066_।

0.054[-J—

0.040-4-------

0.032卜--------

0.00814-|」一|-1.

0510152025余额（单位：元）

（1）根据频率分布直方图估计红包金额的平均值与众数；

（2）群主预告今天晚上7点将有3个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包.小明是

该群的一位成员，以频率作为概率，求小明至少两次抢到10元以上金额的红包的概率.

（3）在春节期间，群主为了活跃气氛，在群内发起抢红包游戏.规定：每轮“手气最佳”者发下一轮红包，

每个红包发出后，所有人都参与抢红包.第一个红包由群主发.根据以往抢红包经验，群主自己发红包时，

抢到“手气最佳”的概率为工；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为工.设前〃轮中群主发红包

42

的次数为X,第〃轮由群主发红包的概率为匕.求匕及X的期望E（X）.

20（18分）已知椭圆C：7+y2=l«>l）的左、右焦点分别为耳，F2,直线/:丫=入+砥加=0）与椭圆C交

于V、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E.

（1）当7=2时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求AAf；8的周长；

（2）当f=3且直线/过点。（-1,0）时，设后设=/1£»加，EN=fiDN,求证：4+〃为定值，并求出该值；

（3）若椭圆C的离心率为走，当G为何值时，恒为定值；并求此时AMON面积的最大值.

2

21.(18分)已知函数y=/(x)及其导函数y=f'｛x)的定义域均为。.设与《，曲线y=f(x)在点(x0,/(%))

处的切线交x轴于点(占，0).当加.1时，设曲线y=/(x)在点(五,/(七))处的切线交x轴于点(x“M,0).依

此类推，称得到的数列｛/｝为函数y=/(x)关于%,的“N数列”.

(1)若/'(x)=/nr,｛x.｝是函数y=/(x)关于%=」的"N数列”，求网的值；

e

(2)若/(无)=炉-4,｛4｝是函数y=/(x)关于无。=3的“N数列”,记4=1隔2^,证明：&｝是等比

Xn-2

数列，并求出其公比；

(3)若/则对任意给定的非零实数°,是否存在％W0,使得函数y=〃尤)关于4的“N数列

a+x

‘‘｛%｝为周期数列？若存在，求出所有满足条件的/;若不存在，请说明理由.

数学.参考答案

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题,1-6题每题4分，7-12题每题5分,

1.{x\-2,,x<\]2.l-2z3.274.14

7.好

5.-0.676.-18.1或3

33

或空

9.(-s,T)D(3,+s)10.1350万11.2

3

12.[1-73,1+73]

二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5

分。

13141516

CABA

三、解答题（本大题78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

17.（14分）（1）证明：因为PE//平面覆CD,过PE的平面PEDB交平面ABCD于3D,

即PEu平面PEQB,平面PEDBC平面ABCD=BD,

所以PE//BD,又PE=BD,所以四边形3DEP为平行四边形，

所以PB//DE,

又DEu平面ADE,P3U平面ADE,所以P3//平面ADE,

四边形ABCD为菱形，则3C//AD,ADu平面ADE,3CU平面ADE,

故3C//平面AQE,又PB=B,BC,PBu平面BCP,

所以平面BCP//平面ADE.

又PCu平面3CP,所以尸C//平面ADE.

（2）解：由（1）知四边形BDEP为平行四边形，又PE=PB,所以四边形瓦）EP为菱形，

因为NPBD=60。，所以APBD为等边三角形.

连接AC交3。于O,连接尸O,则PO±BD,

因为平面3DEP_L平面MCD,平面BDEPC平面ABCD=8D,

又尸Ou平面3DEP,所以PO_L平面ABCD,

因为ACu平面TWCD,所以尸O_LAC.

因为四棱锥P—ABCD的体积为2百，即§x^8Z>ACOP=24，

又BD=PB=2,ZPBD=&)。,所以OP=G,所以AC=6,

以O为坐标原点，OA,OB,OP所在的直线分别为X轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(3,0,0),5(0,1,0),尸(0,0,5,£(0,-2,与C(-3,0,0),

所以尸2=(0,l,-73),CB=(3,1,0),EP=(0,2,0),PA=(3,0,-A).

n-CB=3x+y=0

设平面P8C的一个法向量〃=（x,y,z）,则＜

nPB=y_岛=0'

令z=6，则x=—1,>=3,所以〃=(一1,3,6),

m•EP=2b=0

设平面AEP的一个法向量相=Q6,c),则<

m•PA=3a-N3c=0

令c=6，解得a=l,b=0,所以加=(1,0,百)，

设平面府与平面但的夹角为e,夹角范围是（。，f],

|功力|_2

所以cos0=|cos(m,n)|=

\m\-\n\2x71313

18.（14分）解：（1）因为cos?5-sir?5=—（=cos25且5为三角形内角,

所以3=9或底夸’

、【/n万n-U•/r,兀、•冗

当B——时*,sin(5H—)—sin——1,

362

、【/n2乃..,_TC..5万1

当J5=——时，sin(BH——)=sin——=—；

3662

(2)由题意结合(1)得A+C=q,

0<A<-

2/口TC.71

所以解得，-<A<-,

CA兀62

0<A<—

32

因为人二当，

a_c_b_y/3

由正弦定理得，sinAsinCsin56

2

所以a=2sinA,c=2sinC=2sin(与-A)=>/3cosA+sinA,

所以a+2c=4sinA+2GcosA=2y/1sinA+^^-cosA)

J7*7

=2A/7sin(A+(p),cos(p=,sin(p=,

则W(H),A+°£(f,斗)，

o434

jr

故当A+O=5时，a+2c取得最大值2近.

19.（14分）解：（1）由频率分布直方图可得，红包金额的平均值为：

x=0.066x5x-+0.054x5x—+0.040x5x—+0.032x5x—+0.008x5x—=9.05,

22222

众数为最高矩形的中点坐标，即为2.5；

（2）由题可知，每个红包抢到10元以上金额的概率为（0.040+0.032+0.008）x5=0.4,且3次红包相互独

立，

44

由独立重复试验概率公式，至少两次抢到10元以上金额的概率为C；X0.42X0.6+C；X0.43=0.352=E；

（3）由题意，片=1,

由《用_（2=_;1（只_2$,

23

又片「

所以优2是以13为首项，1为公比的等比数列，

所以月_|=1x（-5i，所以只=|+]x（-，

设部为第k轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，

故获服从两点分布：尸砥=1）=6，P（^=O）=l-n-k=l,2,3

所以E（盘）=lx£+Ox（l-用）=久,

由已知X=馅+刍+女++短,

则E（X）=E&+>+>++4）=石©）+石（4）+石63）++石（④）=《+£+月++月

In121

~5+京口一（一小

20.（18分）解：（1）当/=2时，椭圆C：++y2=l,的周长为|M|+|AK|+W4|=2四+2；

⑵证明：当〜且直线/过点吸1,。）时，椭圆U；+y*，直线斜率存在，…x+D,

----1-V2=1

联立《3，消去y得：（3左2+1）尤2+6严尤+3公一3=0,4=（642）2一4（3公一3）（3公+1）=24/+12>0恒

y=后（x+1）

成立，

6k2

x,+x=----；——

1?23k2+1

设〃（占，/），N（尤2,%），则

3k2-3

由EM=ADM,EN=juDN，点E的横坐标为0,

考虑向量横坐标得到玉=〃石+1）,无2=〃（尤2+1），

从而2+〃='^+」2T

玉+1x2+1

一/二+2

=2-（—+^―）=2———+%+2=2__23/+12——

玉+1%+1再/+玉+%+13k—36k+]

3V+1-3F+1

2一

=2-=3,所以丸+4为定值3；

-3+1

1厂y=kx+m

(3)e=』?=E，解得=4,故椭圆方程工+9=1,联立f

业24——+y=1

14

消元得(4左之+1)%?++4加?—4=。，△=64Zr2m2-16(4^2+l)(m2—1)>0,BP4A:2—m2+1>0,

设,>1),N(%2，%)，则%+%2=T727'玉,入2=2，

4K+14K+1

v2九23

贝+|0恒2=才+]_十+写+]_才=2+不(菁+%2)2_2须%2]

_24k2m2-6m2+24k2+66m2(4k2-1)+6(4^2+1)

=十(4/+1)2=+(47+1)2，

当|OM『+|ON|2为定值时，即与「无关，故必2—1=0,得左=±±，

2

222m

止匕时|MN|=y/k+1^(%]+x2)-4XJX2=4y/k+1x*=下x^2-m

,Iml21ml

又点O到直线/的距离4=才十二卡，

所以S^MON=；XdxIMN1=1m\.,2-m2,,加+；加=1,

即加=±1时，等号成立,

经检验，此时△＞（）成立，所以AMON面积的最大值为1.

11

21.（18分）解：⑴曲线y=，加在点（%,牡））处的切线斜率为一，又加-=-1,

/e

所以曲线、=/我在点d,-l）处的切线方程为y+l=e（尤-3，

ee

令y=o,解得了=女2，所以±=23；

ee

（2）证明：y=/（x）在斗处的切线方程为（斗）=（（匕）（龙-马）,

f（x）x2+4

令y=0,可得X用=七一今昔，即心-