2025版高考数学大二轮复习专题三立体几何第二讲立体几何中的综合问题限时规范训练文

PAGE1-其次讲立体几何中的综合问题1．(2024·江苏二模)如图，在三棱锥ABC­A1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1，(1)DE∥平面ACC1A1(2)AE⊥平面BCC1B1.证明：(1)连接A1B，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1∥BB1，且AA1＝BB1，∴四边形AA1B1B是平行四边形，又∵D是AB1的中点，∴D是BA1的中点，在△BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，∴DE∥A1C，∵DE⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，∴DE∥平面ACC1A1.(2)∵A1C⊥BC1，AB1⊥BC1又由(1)知DE∥A1C，∴BC1⊥DE.又AB1∩DE＝D，∴BC1⊥平面ADE，∵AE⊂平面ADE，∴AE⊥BC1，在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中点，∴AE⊥BC，∵BC1∩BC＝B，∴AE⊥平面BCC1B1.2．(2024·呼和浩特一模)如图，平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2eq\r(2)，沿BD折起，使AC＝2eq\r(2).(1)证明：△ACD为直角三角形；(2)设B在平面ACD内的射影为P，求四面体PBCD的体积．解析：(1)证明：在Rt△ABD中，AB⊥BD，AB＝2，BD＝2eq\r(2)，∴AD＝eq\r(AB2＋BD2)＝eq\r(4＋8)＝2eq\r(3)，∵AC＝2eq\r(2)，CD＝2，∴AC2＋CD2＝AD2，∴AC⊥CD，∴△ACD是直角三角形．(2)由(1)知CD⊥AC，CD⊥BC，∵AC∩BC＝C，∴CD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD，其交线为AC，故过B点作AC的垂线，垂足为P，点P即为B在平面BCD内的射影，P为AC的中点，∴四面体PBCD的体积：VP­BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×1＝eq\f(2,3).3．(2024·内蒙古一模)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AD＝PD，E、F分别是CD、PB的中点．(1)求证：EF⊥平面PAB；(2)设AB＝eq\r(3)BC＝3，求三棱锥P­AEF的体积．解析：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD＝AD，底面ABCD是矩形，BA⊥AD，∴BA⊥平面PAD，则平面PBA⊥平面PAD，∵AD＝PD，取PA的中点G，连接FG，DG，则DG⊥PA，∴DG⊥平面PAB.又E、F分别是CD、PB的中点，G是PA的中点，底面ABCD是矩形，∴四边形EFGD为矩形，则DG∥EF，∴EF⊥平面PAB.(2)由AB＝eq\r(3)BC＝3，得BC＝eq\r(3)，AB＝3，AD＝AP＝eq\r(3)，且F是PB的中点．∴VP­AEF＝VB­AEF＝VF­ABE＝eq\f(1,2)VP­ABE＝eq\f(1,2)·eq\f(1,3)S△ABE·PD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,4).4．(2024·成都模拟)如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB，CD的中点，CD＝2AB＝2EF＝4，M为DF中点．现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC⊥平面AEFD，得到如图②所示的多面体．在图②中，(1)证明：EF⊥MC；(2)求三棱锥M­ABD的体积．解析：(1)证明：由题意，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EF⊥AB，EF⊥CD，∴折叠后，EF⊥DF，EF⊥CF，∵DF∩CF＝F，∴EF⊥平面DCF，又MC⊂平面DCF，∴EF⊥MC.(2)由已知可得，AE＝BE＝1，DF＝CF＝2，∵DM＝1，∴MF＝1＝AE，又AE∥MF，∴四边形AEFM为平行四边形，∴AM∥EF，故AM⊥DF.∵平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD＝EF，且BE⊥EF，∴BE⊥平面AEFD，∴VM­ABD＝VB­AMD＝eq\f(1,3)S△AMD·BE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×1＝eq\f(1,3).即三棱锥M­ABD的体积为eq\f(1,3).5．(2024·兰州模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△PCD为正三角形，∠BAD＝30°，AD＝4，AB＝2eq\r(3)，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．(1)证明：BE⊥PC；(2)求多面体PABED的体积．解析：(1)证明：∵BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝4，∴BD＝2，∴∠ABD＝90°，∴BD⊥CD，∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴BD⊥平面PCD，∴BD⊥PC，∵△PCD是正三角形，E为PC的中点，∴DE⊥PC，∴PC⊥平面BDE，∴BE⊥PC.(2)作PF⊥CD，EG⊥CD，F，G为垂足，∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PF⊥平面ABCD，EG⊥平面ABCD，∵△PCD是正三角形，CD＝2eq\r(3)，∴PF＝3，EG＝eq\f(3,2)，∴VP­ABCD＝eq\f(1,3)×2×2eq\r(3)×3＝4eq\r(3)，VE­BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×eq\f(3,2)＝eq\r(3)，∴多面体PABED的体积V＝VP­ABCD－VE­BCD＝4eq\r(3)－eq\r(3)＝3eq\r(3).6．(2024·汕尾一模)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝AC＝2AA1＝2，D是BC(1)证明：A1B∥平面ADC1；(2)线段BC1是否存在点N，使三棱锥N­ADC1的体积为eq\f(\r(3),12)？若存在，确定点N的位置；若不存在，说明理由．解析：(1)证明：如图，连接A1C，与AC1交于点O，连接OD，在△CA1B中，O和D分别是CA1和CB的中点，则OD∥A1B，又OD⊂平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.(2)连接BC1，假设线段BC1上存在点N，使得三棱锥N­ADC1的体积为eq\f(\r(3),12)，设N到平面ADC1的距离为h，由题意可知，△ABC为等边三角形，又D为BC的中点，∴AD⊥BC.又三棱柱ABC­A1B1C1为直三棱柱，∴BB1⊥AD，故AD⊥平面BCC1B1，∴△ADC1为直角三角形，AD＝eq\r(3)，DC1＝eq\r(2)，∴△ADC1的面积为eq\f(\r(6),2)，由三棱锥的体积公式可知，VN­ADC1＝eq\f(1,3)S△ADC1·h＝eq\f(\r(3),12)，∴h＝eq\f(\r(2),4).又AD⊥平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面ADC1，故点N到平面ADC1的距离与点N到直线DC1的距离相等，又△DCC1为