2025年高考数学模拟试卷3（全国卷理科）详细解析

2025年高考数学模拟试卷03（全国卷理科）

数学（理科）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.若集合A={xeN|y=百=I},8={0』},则集合AcB的真子集的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

abz—i

2.定义运算，=。〃-历，则满足b=0（i为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（）

ca1-1-21

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量力=（3,3）石=（苍-3）,则+是“x=-3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.执行如图所示的程序框图，若输出的V的值为4,则输入的x的可能值有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动

至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）

A.AB.Ac.2D.»

1825259

6.若x=a+ln6,y=a+glnb,z=a+21n60wl）成等比数歹!],则公比为（）

A.—2B.—3C.—D.2

15

7.已知圆。的方程为：Y+>2=1,点4（2,0）,8（0,2）,尸是线段AB上的动点，过P作圆。的切线，切

点分别为C,D,现有以下四种说法：①四边形尸COD的面积的最小值为1；②四边形尸COD的面积的最

3

大值为6；③卮.丽的最小值为-1;④定.厢的最大值为成.其中所有正确说法的序号为（）

A.①③④B.①②④C.②③④D.①④

8.已知函数〃元）=sin◎r+2cos2号（。>0）在[0,可上有且仅有4个零点.则图象的一条对称轴可能的

直线方程为（）

9.已知函数〃x）=（依+1产，给出下列4个图象:

其中，可以作为函数“X）的大致图象的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

10.中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究,中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”

主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式,例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公

式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.右图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.E对应的是

正四棱台中间位置的长方体，B、。、H、产对应四个三棱柱，A、C、/、G对应四个四棱锥.若

这四个三棱柱的体积之和等于长方体E的体积，则四棱锥/与三棱柱H的体积之比为（）

A.3:1B.1:3C.2:3D.1:6

22

11.已知双曲线C：a-方=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为耳、F2,双曲线C的离心率为e,在第一

象限存在双曲线上的点P,满足e-sin/P「K=l,且以4雕=4a②，则双曲线C的渐近线方程为（）

A.2x±y=0B.x±2y=0

C.3x±y=0D.x±3y=0

12.己知方程e2x-axeA+9eV=0有4个不同的实数根，分别记为国,々，鼻,匕，则

A.（0,16e4）B.（0,12e4）C.（0,4e4）D.（0,8e4）

第二部分（非选择题共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从

参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）.其

中，成绩分组区间为[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100）,

[100,110）,[110,120）,[120,130）,[130,140）,[140,150].用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计

值为______

14.已知函数”X）是奇函数，当尤>0时，〃x）=x"+l,则的图象在点（-lj（-l））处的切线斜率

为.

x-y+l>0

15.已知实数尤,V满足,3x-y-3W。，则2元+y的最小值为.

x+y-l>0

16.已知圆台。02的轴截面是梯形A3CO,AB//CD,BC=5拒,CD=2AB,圆台的底面圆周都在

球。的表面上，点0在线段。。2上，且。。1=2。。2,则球。的体积为.

三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题

考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分.

17.(12分)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足6cosc+csin3=0.

(I)求角C的大小；

(II)若4=正，b=M，线段8C的中垂线交AB于点。，求线段8。的长.

18.(12分)如图，在三棱柱ABC-480］中，平面ACG4,平面

⑴若分别为4£,3片的中点，证明：肱V〃平面ABC；

(2)当直线\B与平面ACQA所成角的正弦值为g时，求平面ABC与平面夹角的余弦值.

19.(12分)甲、乙、丙、丁四人练习传球，每次由一人随机传给另外三人中的一人称为一次传球，已知甲

首先发球，连续传球〃(〃eN*,”N3)次后，记事件“乙、丙、丁三人均被传到球”的概率为2.

(1)当”=4时，求球又回到甲手中的概率；

(2)当〃=4时，记乙、丙、丁三人中被传到球的人数为随机变量X,求X的分布列与数学期望；

(3)记Q,=E,-$r-l,求证：数列｛0｝从第3项起构成等比数列，并求尸”.

20.在直角坐标系中，设下为抛物线C：V=2px(p>0)的焦点，M为C上位于第一象限内一点.当

砺./=0时，△<?根的面积为1.

⑴求C的方程；

（2）当赤.两=_3时，如果直线/与抛物线C交于A,B两点，直线M4,MB的斜率满足=-2.

证明直线/是恒过定点，并求出定点坐标.

21.（12分）已知函数/（x）=e'+（a-l）x—l,其中qeR.

⑴讨论函数的单调性；

（2）当a＞1时，证明：/（x）＞xlnx-ocosx.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做。则按所做的第一题记分.

22.（10分）在直角坐标系中，曲线G的参数方程为1=4/’•为参数），以坐标原点为极点，左轴的

正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为mGcosP-2sinP）=2.

（1）写出曲线G的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）若射线OA/nalvavgp.q与曲线C?相交于点A,将。4逆时针旋转90。后，与曲线G相交于

点、B,且[08|=2百|OA|,求a的值.

23.（10分）已知函数〃x）=|x+2|+|2x—3].

（1）求不等式〃无）＞6的解集；

/+-1八4币

（2）若函数“X）的最小值为例正实数a,b满足"十不一’”，证明：。石-7.

数学（理科）•详细解析

第一部分（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求

的。

123456789101112

DDBCCBBDDBAA

1.【答案】D

【详解】因为A={xwN|3rNO}={O,l,2,3},B={O,1},所以4口3={0,1},

所以集合AcB的真子集的个数为22-1=3.

故选:D.

2.【答案】D

z-i__/、

【详解】由题意，]_j_公=。可化为-2边+i。—i）=。，

所以z二l±i=（"”T）=L」i,

2i-2i222

所以z在复平面内对应的点的坐标为

所以复数Z在复平面内对应的点在第四象限.

故选：D.

3.【答案】B

【详解】由题意1（3,3）,]=（x,—3）,贝心+,=（3+x,0）,而（：+.）+4力=x（x+3）=0o尤=0或

x=-3f

所以“（I+力）J”是“x=—3”的必要不充分条件.

故选：B.

4.【答案】C

工4,%,0

0<x<2x..2

【详解】由题意得y=e4~2\0<x<2若输出的y的值为4,则

fIn2x=4

In2x,x..2

解得尤=-0或x=2-ln2或x=/,所以输入的关的可能值有3个.故选：C

5.【答案】C

【详解】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3,1,1,第二类分法是2,2,1,再分配到三项活动中,

总方法数为A；=150,

因甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同，故只需先把甲，乙，丙三人在三项活动上安排好，再让丁，戊两人

分别在三项活动中选择,

549

其方法数为A；C；C；=54.故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为2=恚=弓.

故选:C.

6.【答案】B

【详解】"，Lz成等比数列.，应=/,

2

即(a+lnb)(a+21nb)=a+~InZ?

/,a2+3alnb+2(ln/?)2=a2+alnb+—()nb)2,1.

4

817.八—InZ?

:.--a=lnb,..公比为2公，

7----------=-3

a+\nb

故选：B.

7.【答案】B

【详解】如图，当点尸是AB的中点时，此时OP1AB,|。目最短，最小值为夜,

当点尸与点A或点B重合时，此时|。目最长，最大值为2,

因为PC,尸£＞是圆。的切线，所以PCLOC,PDLOD,

则四边形PCOD的面积为|PC||OC|=\PC\=yl\POf~1,

所以四边形尸COD的面积的最小值为"工=1,最大值为"斤=若，故①②正确;

2

PC-PD=|PC||PD|COSZCPD=|PC|x(2cos2ZOPC-1),

__,22(PO2-1V

PC

同X2——y

国

+百一"阿e[2,4],

设>=/+：一3/e[2,4],函数单调递增，最小值为0,最大值为:，故③错误，④正确.

故选：B

8.【答案】D

【详解】“X)=sin®x+2cos2m=sinox+l+cosox=0sin［<wx+2j+l,

令/(x)=0,得sin10x+：)=,

「17T7T7T

因为0,兀，所以。X+-.COTI+-,

L」4|_44_

若“X)在［0,兀］上有且仅有4个零点，则手45+：〈子，解得：W0<5,

人兀7兀72/日4A71+717„7

令cox+—=kn+—,keZ,得力=-----,kGZ因为4V<y<5,

422

LLi、r4E+714fal+7l,4E+兀,r7171

所以「k<一1—4一，1eZ.当k=0,——<X<——,

204G142014

当』，卜，喘，当仁"守X"?只有D符合•

故选：D.

9.【答案】D

【详解】由题意知，“X)定义域为R,

当。=0时，/(x)=e*,由指数函数的单调性可知函数/'(x)单调递增，可对应①;

当a>0时，/'(x)=(ox+a+l)e",令/'(x)=0可得：x=-^-<0,所以当时，/,(x)<0,

当时，/'(x)>0,所以，函数“X)先减后增，且当时，/(x)<0,此时可对应②;

当“<0时，/'(x)=(ox+a+l)eX,当/'(x)=0时x=_^l,当时，/(同>0,当

寸，/，(%)<0,所以，函数/(x)先增后减，

当a<-L时，尤=-史工<0,且此时0<二<1,所以可对应③，

aa

当一1<°<0时，尤=一但>0,止匕时一所以可对应④.

a

故选：D.

10.【答案】B

如图，令四棱锥的底面边长为“，高为"三棱柱的高为6,

所以三棱柱的体积为[a泌，

长方体的体积为因为四个三棱柱的体积之和等于长方体E的体积,

所以42a/76=b%,所以8=2a,

2

因为四棱锥的体积为:

-a2h]

所以四棱锥/与三棱柱H的体积之比为-=--

故选：B.

11.【答案】A

【详解】

设「周=乙则|P词=f—2a,而e.sin/PT花=1,所以sin/P7笆=：=’,

所以点尸到月居的距离为|P周sinNP丹外=《，

又|耳周=2c,所以S*%=：2c-q=4a2,

解得/=4a,即|P4|=4a,从而|尸闵=2a,

又因为sin/尸耳月=1=3,

ec

所以cos/P£g=,1-

在△尸片居中，由余弦定理有COSNP7隹=2=14+(2。)2-(24,

c2.4Q.2C

一h2Ah

所以4〃。=4々2+，一〃2=。2+4Q2,即---+4=0,

aa

b

解得2=2,双曲线C的渐近线方程为2x土y=0.

a

故选：A.

12.【答案】A

【详解】易知％=0不是方程e2x-axtx+9e2^2=0的根，

故当工。0时，e2'—oxe"+9e2%2=。可化为(土］-tz—+9e2=0,

I%Jx

令才=J,得/-成+9e?=0.

x

设/(x)=E,则/(x)=£^l,

XX

令/'(x)<。，可得x<0或0cx<1,令用x)>。，可得X>1,

故〃x)在(-8,0)和(0,1)上单调递减，在(L+s)上单调递增，〃l)=e,

作出的大致图象，如图,

数形结合可得方程产-S+9e2=0有两个不相等的实数根，设为％,4，

则4+，2=丫2=9e〜，且%>e,L>e,

A=a2-36e2>0

贝U,解得6e<a<10e,

—2

e2-ae+9e2>0

则

=(桃-M-%+e2)=(10e2-Qe),

由6evavl0e,可得0<(10匕2-oej<16e4.

故选：A.

第二部分(非选择题共90分)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.【答案】114

【详解】观察频率分布直方图，得数学成绩在区间［60,110)的频率为(0.01+0.005+0.01+0.015)x10=0.4,

数学成绩在区间［60,120)的频率为0.4+0.025x10=0.65,

因此数学成绩的中位数机e(110,120),且("-110)x0.025=0.1,解得“2=114,

所以这次考试数学成绩的中位数的估计值为114.

故答案为：114

14.【答案】2e

【详解】当X<0时，-x>0,贝I］/(-x)=t"，+1,止匕时/0)=-/(-力=那-'-1,所以r(x)=(l-x)ef,

所以r(-l)=2e.

故答案为：2e

15.【答案】1

x-y+\>Q

【详解】画出不等式组<3尤-y-3W0所表示的平面区域，如图所示，

x+y-120

设z=2x+y,可得y=-2;r+z,

结合图象可得，当直线>=-2元+z经过点A时，直线在>轴上的截距最小，

即z取得最小值，即目标函数z=2x+y取得最小值，

又由［|x+—yy+-l1=O。,解得所4=L

故答案为：1.

【详解】由题意可设圆台。。2的高为心上、下底面半径分别为八2小

球。的半径为H,因为。。1=2。。2，

所以oq=q2/,zOQ=h,

所以产=（2r）2=R2,

得h=3r,R=y/5r,

贝UBC=^/?2+（2r-r）2=VlOr=572,

所以r=A/5，R=5,

三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题

考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。

（-）必考题：共60分.

17.（12分）

【详解】(I)在△ABC中，・・・"cosC+csin8=0,

由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB=0

V0<B<ir,

/.sinB>0,于是cosC+sinC=0,即tanC=-1

V0<C<n

：.C=—

4

(II)由(I)和余弦定理知，c2=a2+b2-labcosC=(A/5)2+(^)2-2xx5/5x二25,

•・c=5,

.ca2+c2-b25+25-102石

..COSD=---------=-----==---=----

2ac2xj5x55

设BC的中垂线交5C于点E,

BE

•・•在中，cosB=——,

BD

好

•••如匹=与“

cosB2J54'

可

18.(12分)

【详解】（1）如图，取AC的中点尸，连接交AC于点Q,连接QB,

因为M是AG的中点，N是8片的中点,

所以BN//PM,BN=QM,所以四边形MNBQ是平行四边形，所以QBUMN,

又QBu平面ABC,MNU平面ABC,所以MN〃平面A^C.

（2）因为ABSAC,平面ACC]A_L平面ABC,平面ACGA0平面ABC=AC^u平面ABC,

所以ASI平面ACGA,

2

所以直线\B与平面ACC.A所成的角为^A\B,则sin/AAB=

在Rt^BAA中，不妨设AB=AC=2,则AB=3,A4,=行，连接CM,

因为A4]=AC=CC],所以CM_L4G.

又平面ABC//平面AB£，所以平面ACC0J_平面A笈G，

且平面ACGAn平面A4G=AG，CMu平面ACGA,故CM_L平面.

设3c的中点为E,连接ME,

以M为坐标原点，ME,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，

则4(。,T,。),c(o,0,2),4(2,—1,0),G(0,1,0),

则届=(0,1,2),前=而=(-2,2,0),

/、fAC-w=0fy+2z=0

设平面ABC的法向量为为=(x,y,z),贝°，，即‘

BCh=0[-2x+2y=U

不妨取x=2,则有拓=（2,2,-1）,

易知平面A片G的一个法向量为庆=（0,0,1）.

设平面AtBC与平面AB。的夹角为凡

|m-n\1

则cos3=|cos〈玩,n)|=

向I利722+22+(-1)23,

所以平面A.BC与平面A4G夹角的余弦值为1.

19.（12分）

【详解】（1）传球的过程中，不考虑第四次传给谁，有3x3x3x3=81种;

传球的过程中不传给甲，第四次传给甲，有3x2x2x1=12种,

传球的过程中传给甲，有3xlx3xl=9种;

12+97

故传球4次，球又回到甲手中的概率为

8127

（2）根据题意可得X=2,3,4,

3xlx3xl3xlx3x2+3x2xlx3+3x2x2xl4816

尸(X=2)=尸(X=3)=

81818127

3x2x2x2248

p(X=4)=

8181-27,

故X的分布列如下所示:

X234

J_168

P(x)

92727

则E(X)=2xg+3X"+4X§坐

272727

（3）"次传球后,乙、丙、丁三人中被传到球，有两种情况:

第一种，“24时,1次传球后，此3人均接过他人传球，则其概率为匕一；

第二种，时,”-1次传球后，此3人中只有2人接过他人传球，则第〃次传球时将球传给剩余的1人,

1

其概率为：l-Ei-3xx—•

3'

1_1201

所以当“24时，匕=只-+|1-

故月_&_1=:3x2x18

，因为巴=a=H---I

3x3x393339

所以数列｛2„｝从第3项起构成等比数列,

匕一工一1二一久仔］二则上W+L

"3"-19⑴3"-1

20.（12分）

【详解】（1）由标•赤=0，所以设y0>0,

•••SVOFM=；x5xp=l,解得°=2,

所以抛物线C的方程为y2=4x.

(2)如图，设n>0,.•.砺=11一],一"],诙=(1,0),

“2

1---=—3,解得〃=4,

4

所以点M的坐标为(4,4).

由题意直线/的斜率不为0,^l：x=my+t,A&,y),3(孙％),

[x=my+t.

联立《2：，消去x整理得必一4wy-书=0,

[y~=4x

则%+%=4，〃，%%=-由，A=16(〃，+。＞o,

因为右屋右B=-2,所以"x&^=-2,

A1一今X2一今

2%-4―2

即犬」代J，整理得乂%+4(%+%)=-24,

-------

44

将％+%=4%，乂％二-由代入上式，

：.t=4m+6,满足A〉0,

所以直线/为x="(y+4)+6,恒过定点(6,-4).

21.(12分)

【详解】(1)因为/(x)=e*+(a—1卜一1,所以7•'(*=1+々一1,

当。时，/,(x)=ev+a-l>0,函数/■(*)在R上单调递增;

当a<1时，由/''(X)=e*+a—1>。，得x>ln(l—a),

函数/(X)在区间(ln(l-a),+8)上单调递增，

由尸(*=/+(。-1)<0,得x<ln(l—a),函数〃尤)在区间(f,ln(l-a))上单调递减.

(2)要证/(%)>%lnx-acosux,即证e*+(<2-l)x-l>xlnx-6Zco&r,XG(0,+a?),

即证e，+Q(X+COSX)—九一l—%lnx>0,A：£(0,十8),

设左(九)=x+cosx,Z:f(x)=l-sinx>0,

故左⑺在(o,+。)上单调递增，又左(0)=1>0,所以左(力>1,

又因为”>1,所以Q(%+COSX)>X+COSX,

所以e"+tz(x+cosx)—x—1-xlnx>ex+cosx-l-xlnx,

①当0<%<1时，因为e"+cosx—l>0,xlnxW0,所以eX+cos%—l—%lnx>0;

②当%>1时，令且(％)=。"+<：05%—%111^—1,贝Ugr(x)=ex-lnx-sinx-1,

设/i(x)=g'(x)，则“(x)=ex----cosx,设m(x)=ex---cosx,

XX

则加(%)=1+4+5欣，因为％〉1,所以病(％)>0,

所以机(x)即h\x)在(1,+oo)上单调递增，

所以“(%)>"⑴=e-1一cosl>0,所以/z(%)在(1,+oo)上单调递增，

所以。(x)>/z(l)=e-sinl-l>0,即g'(x)>0,

所以g(x)在(L+oo)上单调递增,g(x)>g(l)=e+cosl-l>0,

即ex+cosx-l-xlnx>0.

综上可知，当时，ex+d5(x+cosx)—x—l-xlnx>e^+cosx—1—xlnx>0,

即/(九)>%lnx-QcoSuX.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做。则按所做的第一题记分.

22.(10分)

j%=4/

【详解】(1)由曲线G的参数方程为［1书，('为参数)，